高三數學第一輪復習 第84課時復數的有關概念教案（通用）

1、第84課時 課題：復數的有關概念一教學目標：1使學生了解擴充實數集的必要性，正確理解復數的有關概念掌握復數的代數、幾何、三角表示及其轉換；2掌握復數的運算法則，能正確地進行復數的運算，并理解復數運算的幾何意義；3掌握在復數集中解實數系數一元二次方程和二項方程的方法4通過內容的闡述，帶綜合性的例題和習題的訓練，繼續(xù)提高學生靈活運用數學知識解題的能力5通過數的概念的發(fā)展，復數、復平面內的點及位置向量三者之間的聯系與轉換的復習教學，繼續(xù)對學生進行辯證觀點的教育二教學重點：復數三角形式表示法及復數的運算法則，復數與實數的區(qū)別和聯系。三教學過程：（一）主要知識：1.數的概念的發(fā)展，復數的有關概念（實數、

2、虛數、純虛數、復數相等、共軛復數、模）；2.復數的代數表示與向量表示；3.復數的加法與減法，復數的乘法與除法，復數的三角形式，復數三角形式的乘法與乘方，復數三角形式的除法與開方；4.復數集中解實系數方程（包括一元二次方程、二項方程）。復數在過去幾年里是代數的重要內容之一，涉及的知識面廣，對能力要求較高，是高考熱點之一。但隨著新教材對復數知識的淡化，高考試題比例下降，因此考生要把握好復習的尺度。從近幾年的高考試題上看：復數部分考查的重點是基礎知識題型和運算能力題型?；A知識部分重點是復數的有關概念、復數的代數形式、三角形式、兩復數相等的充要條件及其應用，復平面內復數的幾何表示及復向量的運算。主要

3、考點為復數的模與輻角主值，共軛復數的概念和應用。若只涉及到一、二個知識點的試題大都集中在選擇題和填空題；若涉及幾個知識點的試題，往往是中、高檔題目，解答此類問題一般要抓住相應的概念進行正確的變換，對有些題目，往往用數形結合可獲得簡捷的解法。有關復數n次乘方、求輻角（主值）等問題，涉及到復數的三角形式，首先要將所給復數轉化為三角形式后再進行變換。復數的運算是高考中復數部分的熱點問題。主要考查復數的代數和三角形式的運算，復數模及輻角主值的求解及復向量運算等問題?；谏鲜銮闆r，我們在學習“復數”一章內容時，要注意以下幾點：（1）復數的概念幾乎都是解題的手段。因此在學習復數時要在深入理解、熟練掌握復數

4、概念上下功夫。除去復數相等、模、輻角、共軛復數的三角形式和代數式，提供了將“復數問題實數化”的手段。復數的幾何意義也是解題的一個重要手段。（2）對于涉及知識點多，與方程、三角、解析幾何等知識綜合運用的思想方法較多的題型，以及復數本身的綜合題，一直成為學生的難點，應掌握規(guī)律及典型題型的技巧解法，并加以強化訓練以突破此難點；(3)重視以下知識盲點：不能正確理解復數的幾何意義，常常搞錯向量旋轉的方向；忽視方程的虛根成對出現的條件是實系數；盲目地將實數范圍內數與形的一些結論，不加懷疑地引用到復數范圍中來；容易混淆復數的有關概念，如純虛數與虛數的區(qū)別問題，實軸與虛軸的交集問題，復數輻角主值的范圍問題等。

5、（二）知識點詳析1知識體系表解2復數的有關概念和性質：(1)i稱為虛數單位，規(guī)定，形如a+bi的數稱為復數，其中a，bR(2)復數的分類(下面的a，b均為實數)(3)復數的相等設復數，那么的充要條件是：(4)復數的幾何表示復數z=a+bi（a，bR）可用平面直角坐標系內點Z(a，b)來表示這時稱此平面為復平面，x軸稱為實軸，y軸除去原點稱為虛軸這樣，全體復數集C與復平面上全體點集是一一對應的復數z=a+bi在復平面內還可以用以原點O為起點，以點Z(a，b)向量所成的集合也是一一對應的(例外的是復數0對應點O，看成零向量)(7)復數與實數不同處任意兩個實數可以比較大小，而任意兩個復數中至少有一個

6、不是實數時就不能比較大小實數對于四則運算是通行無阻的，但不是任何實數都可以開偶次方而復數對四則運算和開方均通行無阻3有關計算：怎樣計算？（先求n被4除所得的余數，）是1的兩個虛立方根，并且：3 復數集內的三角形不等式是：，其中左邊在復數z1、z2對應的向量共線且反向（同向）時取等號，右邊在復數z1、z2對應的向量共線且同向（反向）時取等號。4 棣莫佛定理是：5 若非零復數，則z的n次方根有n個，即：它們在復平面內對應的點在分布上有什么特殊關系？都位于圓心在原點，半徑為的圓上，并且把這個圓n等分。6 若，復數z1、z2對應的點分別是A、B，則AOB（O為坐標原點）的面積是。7 =。8 復平面內復

7、數z對應的點的幾個基本軌跡：軌跡為一條射線。軌跡為一條射線。軌跡是一個圓。軌跡是一條直線。軌跡有三種可能情形：a)當時，軌跡為橢圓；b)當時，軌跡為一條線段；c)當時，軌跡不存在。軌跡有三種可能情形：a)當時，軌跡為雙曲線；b)當時，軌跡為兩條射線；c)當時，軌跡不存在。4學習目標(1)聯系實數的性質與運算等內容，加強對復數概念的認識；(2)理順復數的三種表示形式及相互轉換：z=r(cos+isin)(Z(a,b)z=a+bi復數集純虛數集虛數集實數集(3)正確區(qū)分復數的有關概念；(4)掌握復數幾何意義,注意復數與三角、解幾等內容的綜合；(5)正確掌握復數的運算：復數代數形式的加、減、乘、除；

8、三角形式的乘、除、乘方、開方及幾何意義；虛數單位i及1的立方虛根的性質；模及共軛復數的性質；(6)掌握化歸思想將復數問題實數化（三角化、幾何化）；(7)掌握方程思想利用復數及其相等的有關充要條件，建立相應的方程，轉化復數問題。（三）例題分析：.2020年高考數學題選1. (2020年四川卷理3)設復數i，則1A.B.2C.D.2(2020重慶卷2）)設復數, 則 （ ）A3 B3 C3i D3i3. （2020高考數學試題廣東B卷14）已知復數z與 (z +2)2-8i 均是純虛數,則 z = .范例分析實數？虛數？純虛數？復數z是實數的充要條件是：當m2時復數z為實數復數z是虛數的充要條件：

9、當m3且m2時復數z為虛數復數z是純虛數的充要條件是：當m1時復數z為純虛數【說明】要注意復數z實部的定義域是m3，它是考慮復數z是實數，虛數純虛數的必要條件要特別注意復數za+bi(a，bR)為純虛數的充要條件是a0且b0，所以，代入得，故選解法3：選擇支中的復數的模均為，又，而方程右邊為2+i，它的實部，虛部均為正數，因此復數z的實部，虛部也必須為正，故選擇B【說明】解法1利用復數相等的條件；解法2利用復數模的性質；解法3考慮選擇題的特點求：z【分析】確定一個復數要且僅要兩個實數a、b，而題目恰給了兩個獨立條件采用待定系數法可求出a、b確定z運算簡化解：設z=x+yi(x，yR)將z=x+

10、yi代入|z4|z4i|可得xy，z=x+xi(2)當|z1|13時，即有xx6=0則有x=3或x=2綜上所述故z0或z=3+3i或z=-22i【說明】注意熟練地運用共軛復數的性質其性質有：(3)1+2i+3+1000【說明】計算時要注意提取公因式，要注意利用i的冪的周期性，(3)解法1：原式=(1+2i34i)+(5+6i78i)+(997+998i9991000i)=250(22i)=500500i解法2：設S1+2i+3+1000，則iSi+2+3+999+1000，(1i)S1+i+1000【說明】充分利用i的冪的周期性進行組合，注意利用等比數列求和的方法【例6】已知三邊都不相等的三角

11、形ABC的三內角A、B、C滿足、的值.【解】得3分上式化簡為6分9分當12分【例7】設z1=1-cos+isin，z2=a2+ai(aR)，若z1z20，z1z2+=0，問在（0，2）內是否存在使(z1-z2)2為實數？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由【分析】這是一道探索性問題可根據復數的概念與純虛數的性質及復數為實數的充要條件，直接進行解答【解】假設滿足條件的存在因z1z20，z1z2+=0，故z1z2為純虛數又z1z2=(1-cos+isin)(a2+ai)=a2(1-cos)-asin+a(1-cos)+a2sini，于是，由知a0因(0，2)，故cos1于是，由得a=另一方面，因

12、(z1-z2)2R，故z1-z2為實數或為純虛數又z1-z2=1-cos-a2+(sin-a)i，于是sin-a=0，或1-cos-a2=0若sin-a=0，則由方程組得=sin，故cos=0，于是=或=若1-cos-a2=0，則由方程組得()2=1-cos由于sin2=1-cos2=(1+cos)(1-cos)，故1+cos=(1-cos)2解得cos=0，從而=或=綜上所知，在(0，2)內，存在=或=，使(z1-z2)2為實數【說明】解題技巧：解題中充分使用了復數的性質：z0，z+=0z純虛數以及z2RzR或z純虛數（注：Re(z)，Im(z)分別表示復數z的實部與虛部）解題規(guī)律：對于“是

13、否型存在題型”，一般處理方法是首先假設結論成立，再進行正確的推理，若無矛盾，則結論成立；否則結論不成立【例8】設a為實數，在復數集C中解方程：z2+2|z|=a【分析】由于z2=a-2|z|為實數，故z為純虛數或實數，因而需分情況進行討論【解】設|z|=r若a0，則z2=a-2|z|0，于是z為純虛數，從而r2=2ra解得r=(r=0，不合，舍去)故z=()i若a0，對r作如下討論：（1）若ra，則z2=a-2|z|0，于是z為實數解方程r2=a-2r，得r=(r=0，不合，舍去)故z=()（2）若ra，則z2=a-2|z|0，于是z為純虛數解方程r2=2r-a，得r=或r=(a1)故z=()

14、i(a1)綜上所述，原方程的解的情況如下：當a0時，解為：z=()i；當0a1時，解為：z=()，z=()i；當a1時，解為：z=()【說明】解題技巧：本題還可以令z=x+yi(x、yR)代入原方程后，由復數相等的條件將復數方程化歸為關于x，y的實系數的二元方程組來求解【例9】（2004年上海市普通高校春季高考數學試卷18）已知實數滿足不等式，試判斷方程有無實根，并給出證明.【解】由，解得，.方程的判別式.，由此得方程無實根.【例10】給定實數a，b，c已知復數z1、z2、z3滿足求az1+bz2+cz3的值【分析】注意到條件(1)，不難想到用復數的三角形式；注意到條件（2），可聯想使用復數為

15、實數的充要條件進行求解【解】解法一由=1，可設=cos+isin，=cos+isin，則=cos(+)-isin(+)因=1，其虛部為0，故0=sin+sin-sin(+)=2sincos-2sincos=2sin（cos-cos）=4sinsinsin故=2k或=2k或+=2k，kZ因而z1=z2或z2=z3或z3=z1若z1=z2，代入（2）得=i，此時az1+bz2+cz3=|z1|a+bci=類似地，如果z2=z3，則az1+bz2+cz3=；如果z3=z1，則az1+bz2+cz3=解法二由（2）知R，故=，即=由（1）得=(k=1，2，3)，代入上式，得=，即z12z3+z22z1

16、+z32z2=z22z3+z32z1+z12z2，分解因式，得(z1-z2)(z2-z3)(z3-z1)=0，于是z1=z2或z2=z3或z3=z1下同解法一【說明】解題關鍵點是巧妙利用復數為實數的充要條件：zRz=，以及視，等為整體，從而簡化了運算解題易錯點是拿到問題不加分析地就盲目動筆，而不注意充分觀察題目的已知條件，結論特征等，從而使問題的求解或是變得異常的復雜，或干脆就無法解出最終的結果（四）鞏固練習：設復數z=3cos+2isin，求函數y=-argz(0)的最大值以及對應角的值【分析】先將問題實數化，將y表示成的目標函數，后利用代數法（函數的單調性、基本不等式等）以及數形結合法進行

17、求解解法一、由0，得tan0，從而0argz由z=3cos+2isin，得tan(argz)=tan0于是tany=tan(-argz)=當且僅當，即tan=時，取“=”又因為正切函數在銳角的范圍內為增函數，故當=arctan時，y取最大值為arctan解法二、因0，故cos0，sin0，0argz，且cos(argz)=，sin(argz)=顯然y(-，)，且siny為增函數siny=sin(-argz)=sincos(argz)-cossin(argz)=當且僅當，即tan=，取“=”，此時ymax=arctan9圖xargzyoZ1Z2Z解法三、設Z1=2(cos+isin)，Z2=co

18、s，則Z=Z1+Z2，而Z1、Z2、Z的輻角主值分別為、0，argz如圖所示，必有y=ZOZ1，且0y在ZOZ1中，由余弦定理得cosy=+當且僅當4+5cos2=6，即cos=時，取“=”又因為余弦函數在0為減函數，故當=arccos時，ymax=arccos【說明】解題關鍵點：將復數問題通過化歸轉化為實數問題，使問題能在我們非常熟悉的情景中求解解題規(guī)律：多角度思考，全方位探索，不僅使我們獲得了許多優(yōu)秀解法，而且還使我們對問題的本質認識更清楚，進而更有利于我們深化對復數概念的理解，靈活駕馭求解復數問題的能力解題易錯點：因為解法的多樣性，反三角函數表示角的不唯一性，因而最后的表述結果均不一樣，不要認為是錯誤的四課后作業(yè)：1、下列說法正確的是 A0i是純虛數B原點是復平面內直角坐標系的實軸與虛軸的公共點C實數的共軛復數一定是實數，虛數的共軛復數一定是虛數D是虛數2、下列命題中，假命題是 A兩個復數不可以比較大小B兩個實數可以比較大小C兩個虛數不可以比較大小D一虛數和一實數不可以比較大小3、已知對于x的方程+（12i）x+3mi=0有實根，則實數m滿足 4、復數1+i+等于 Ai B i C2i D2i5、已知常數，又復數z滿足，求復平面內z對應的點的軌