2020高考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí) 數(shù)列（通用）

1、數(shù)列數(shù)列 【考綱解讀考綱解讀】 1.理解數(shù)列的概念，了解數(shù)列通項(xiàng)公式的意義，了解遞推公式是給出數(shù)列的一種方法， 并能根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項(xiàng). 2.理解等差數(shù)列的概念，掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前 n 項(xiàng)和公式，并能運(yùn)用公式解答 簡單的問題. 3.理解等比數(shù)列的概念，掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前 n 項(xiàng)和公式，并能運(yùn)用公式解決 簡單的問題. 【考點(diǎn)預(yù)測(cè)考點(diǎn)預(yù)測(cè)】 1.等差（比）數(shù)列的基本知識(shí)是必考內(nèi)容，這類問題既有選擇題、填空題，也有解答題；難 度易、中、難三類皆有. 2.數(shù)列中an與Sn之間的互化關(guān)系也是高考的一個(gè)熱點(diǎn). 3.函數(shù)思想、方程思想、分類討論思想等數(shù)學(xué)思想方法在解決問題中常常用到

2、，解答試題時(shí) 要注意靈活應(yīng)用. 4.解答題的難度有逐年增大的趨勢(shì),還有一些新穎題型,如與導(dǎo)數(shù)和極限相結(jié)合等. 因此復(fù)習(xí)中應(yīng)注意： 1.數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，學(xué)習(xí)時(shí)要善于利用函數(shù)的思想來解決.如通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公 式等. 2.運(yùn)用方程的思想解等差（比）數(shù)列，是常見題型，解決此類問題需要抓住基本量 a1、d（或q） ，掌握好設(shè)未知數(shù)、列出方程、解方程三個(gè)環(huán)節(jié)，常通過“設(shè)而不求，整體代 入”來簡化運(yùn)算. 3.分類討論的思想在本章尤為突出.學(xué)習(xí)時(shí)考慮問題要全面，如等比數(shù)列求和要注意q=1 和 q1 兩種情況等等. 4.等價(jià)轉(zhuǎn)化是數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中常常運(yùn)用的，數(shù)列也不例外.如an與Sn的轉(zhuǎn)化；將一些數(shù)列轉(zhuǎn)化成

3、 等差（比）數(shù)列來解決等.復(fù)習(xí)時(shí)，要及時(shí)總結(jié)歸納. 5.深刻理解等差（比）數(shù)列的定義，能正確使用定義和等差（比）數(shù)列的性質(zhì)是學(xué)好本章的 關(guān)鍵. 6.解題要善于總結(jié)基本數(shù)學(xué)方法.如觀察法、類比法、錯(cuò)位相減法、待定系數(shù)法、歸納法、 數(shù)形結(jié)合法，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，定能達(dá)到事半功倍的效果. 7數(shù)列應(yīng)用題將是命題的熱點(diǎn)，這類題關(guān)鍵在于建模及數(shù)列的一些相關(guān)知識(shí)的應(yīng)用. 【要點(diǎn)梳理要點(diǎn)梳理】 1.證明數(shù)列 n a是等差數(shù)列的兩種基本方法：（1）定義法： 1nn aad 為常數(shù)； （2）等差中項(xiàng)法： 11 2(2) nnn aaan . 2.證明數(shù)列 n a是等比數(shù)列的兩種基本方法：（1）定義法： 1n n

4、 a q a (非零常數(shù))； （2）等差中項(xiàng)法： 2 11( 2) nnn aaan . 3.常用性質(zhì):(1)等差數(shù)列 n a中,若mnpq,則 mnpq aaaa; (2)等比數(shù)列 n a中,若mnpq,則 mnpq aaaa. 4.求和: (1)等差等比數(shù)列,用其前 n 項(xiàng)和求出; (2)掌握幾種常見的求和方法:錯(cuò)位相減法、裂項(xiàng)相消法、分組求和法、倒序相加法; (3)掌握等差等比數(shù)列前 n 項(xiàng)和的常用性質(zhì). 【考點(diǎn)在線考點(diǎn)在線】 考點(diǎn)考點(diǎn) 1 1 等差等比數(shù)列的概念及性質(zhì)等差等比數(shù)列的概念及性質(zhì) 在等差、等比數(shù)列中，已知五個(gè)元素 1n a ,a ,n,d或q， n S中的任意三個(gè)，運(yùn)用方程

5、的思想，便 可求出其余兩個(gè)，即“知三求二” 。本著化多為少的原則，解題時(shí)需抓住首項(xiàng) 1 a和公差（或 公比q） 。另外注意等差、等比數(shù)列的性質(zhì)的運(yùn)用.例如 （1）等差數(shù)列 n a 中，若mnpq，則 mnpq aaaa；等比數(shù)列 n a中，若 mnpq，則 mnpq a aa a . （2）等差數(shù)列 n a 中， n2nn3n2nknk n 1 S ,SS ,SS ,SS, 成等差數(shù)列。其中 n S是等差數(shù)列的 前 n 項(xiàng)和；等比數(shù)列 n a 中（q1 ） ， n2nn3n2nknk n 1 S ,SS ,SS ,SS, 成等比數(shù)列。其中 n S是等比數(shù)列的前 n 項(xiàng)和； （3）在等差數(shù)列 n

6、 a 中，項(xiàng)數(shù) n 成等差的項(xiàng) n a也稱等差數(shù)列. （4）在等差數(shù)列 n a 中， 2n 1n S2n1 a ； 2nnn 1 Sn aa . 在復(fù)習(xí)時(shí)，要注意深刻理解等差數(shù)列與等比數(shù)列的定義及其等價(jià)形式.注意方程思想、整體 思想、分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用. 例例 1.1. (2020(2020 年高考重慶卷理科年高考重慶卷理科 11)11)在等差數(shù)列 n a中， 37 37aa，則 2468 aaaa . 【答案答案】74 【解析解析】 284637 37aaaaaa，故 2468 2 3774aaaa 【名師點(diǎn)睛名師點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì). 【備考提示備考提示】：熟練掌握等

7、差等比數(shù)列的概念與性質(zhì)是解答好本類題的關(guān)鍵. 考點(diǎn)考點(diǎn) 2 2 數(shù)列的遞推關(guān)系式的理解與應(yīng)用數(shù)列的遞推關(guān)系式的理解與應(yīng)用 在解答給出的遞推關(guān)系式的數(shù)列問題時(shí)，要對(duì)其關(guān)系式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，轉(zhuǎn)化為常見的 類型進(jìn)行解題。如“逐差法”若 nn 1 aan, 且 1 a1；我們可把各個(gè)差列出來進(jìn)行求和， 可得到數(shù)列 n a的通項(xiàng). nnn 1n 1n 2211 aaaaaaaa n n1 nn12 1. 2 再看“逐商法”即 n 1 n a n1 a 且 1 a1，可把各個(gè)商列出來求積。 nn 12 n1 n 1n 21 aaa aan n1n22 1n! aaa AA AA A 另外可以變形轉(zhuǎn)化為等

8、差數(shù)列與等比數(shù)列，利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì)解決問題. 例例 2.2.（20202020 年高考四川卷文科年高考四川卷文科 9)9)數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和為 Sn，若 a1=1, an+1 =3Sn(n 1),則 a6=( ) （A）3 44 （B）3 44+1 (C) 44 （D）44+1 【答案答案】A 【解析解析】由題意，得 a2=3a1=3.當(dāng) n 1 時(shí)，an+1 =3Sn(n 1) ，所以 an+2 =3Sn+1 ， -得 an+2 = 4an+1 ，故從第二項(xiàng)起數(shù)列等比數(shù)列，則 a6=3 44. 【名師點(diǎn)睛名師點(diǎn)睛】本小題主要考查 n a與與 n S的關(guān)系： 1 n nn 1

9、S n=1 a SS n2 ，數(shù)列前 n 項(xiàng)和 n S和通項(xiàng) n a是數(shù)列中兩個(gè)重要的量，在運(yùn)用它們的關(guān)系式 nnn 1 aSS 時(shí)，一定要注意條件n2，求 通項(xiàng)時(shí)一定要驗(yàn)證 1 a是否適合。解決含 n a與與 n S的式子問題時(shí)，通常轉(zhuǎn)化為只含 n a或者轉(zhuǎn)化 為只 n S的式子. 【備考提示備考提示】：遞推數(shù)列也是高考的內(nèi)容之一,要熟練此類題的解法,這是高考的熱點(diǎn). 練習(xí)練習(xí) 2.2.（20202020 年高考遼寧卷文科年高考遼寧卷文科 5)5)若等比數(shù)列an滿足 anan+1=16n，則公比為（ ）Z （A）2 （B）4 （C）8 （D）16 【答案答案】B 【解析解析】設(shè)公比是 q，根

10、據(jù)題意 a1a2=16 ，a2a3=162 ，得 q2=16 .因?yàn)?a12q=160, a120，則 q0，q=4. 考點(diǎn)考點(diǎn) 3 3 數(shù)列的通項(xiàng)公式數(shù)列的通項(xiàng)公式 n a與前與前 n n 項(xiàng)和公式的應(yīng)用項(xiàng)和公式的應(yīng)用 等差、等比數(shù)列的前 n 項(xiàng)和公式要深刻理解，等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和公式是關(guān)于 n 的二次函數(shù).等 比數(shù)列的前 n 項(xiàng)和公式 n 1 n11 n a 1q aa Sq 1q1q1q （q1） ，因此可以改寫為 n n Saqb (ab0)是關(guān)于 n 的指數(shù)函數(shù)，當(dāng)q1時(shí)， n1 Sna. 例例 3.(20203.(2020 年高考江蘇卷年高考江蘇卷 13)13)設(shè) 721 1a

11、aa，其中 7531 ,aaaa成公比為 q 的等比 數(shù)列， 642 ,aaa成公差為 1 的等差數(shù)列，則 q 的最小值是 . 【答案答案】 3 3 【解析解析】由題意： 23 1212121 112aaa qaa qaa q ， 2 2222 1,12aqaaqa 【答案答案】A 【解析解析】通過 25 80aa，設(shè)公比為q，將該式轉(zhuǎn)化為08 3 22 qaa，解得q=-2，帶入 所求式可知答案選 A，本題主要考察了本題主要考察了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前 n 項(xiàng)和公式. 考點(diǎn)考點(diǎn) 4.4. 數(shù)列求和數(shù)列求和 例例 4.4. ( (山東省濟(jì)南市山東省濟(jì)南市 20202020 年年 2 2 月高三

12、教學(xué)質(zhì)量調(diào)研理科月高三教學(xué)質(zhì)量調(diào)研理科 2020 題題) ) 已知 n a為等比數(shù)列，256, 1 51 aa； n S為等差數(shù)列 n b的前n項(xiàng)和，, 2 1 b 85 25SS . （1） 求 n a和 n b的通項(xiàng)公式； （2） 設(shè) n T nnb ababa 2211 ，求 n T. 【解析】 （1） 設(shè) n a的公比為q,由 4 51 aa q,得4.q 所以 1 4. n n a 設(shè) n b的公差為d，由 85 25SS 得32 2 3 2 3 1 ad, 所以 1 131. n bb ndn （2） n T 1 1 24 54 8431 n n 2 44 245431 n n T

13、n -得： 21 323 44.44312324 . nnn n Tnn 所以 22 4. 33 n n Tn 【名師點(diǎn)睛名師點(diǎn)睛】本小題主要考查等比等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前 n 項(xiàng)和公式、數(shù)列求和等基礎(chǔ)知 識(shí)，考查運(yùn)算能力、綜合分析和解決問題的能力. 【備考提示備考提示】：熟練數(shù)列的求和方法等基礎(chǔ)知識(shí)是解答好本類題目的關(guān)鍵. 練習(xí)練習(xí) 4.4. （20202020 年高考山東卷文科年高考山東卷文科 1818） 已知等差數(shù)列 n a滿足： 3 7a ， 57 26aa. n a的前 n 項(xiàng)和為 n S. （）求 n a 及 n S；（）令 2 1 1 n n b a （nN ）,求數(shù)列 n b的

14、前 n 項(xiàng)和 n T. 【解析解析】 （）設(shè)等差數(shù)列 n a的公差為 d，因?yàn)?3 7a ， 57 26aa，所以有 考點(diǎn)考點(diǎn) 5 5 等差、等比數(shù)列的綜合應(yīng)用等差、等比數(shù)列的綜合應(yīng)用 解綜合題要總攬全局，尤其要注意上一問的結(jié)論可作為下面論證的已知條件，在后面求解的 過程中適時(shí)應(yīng)用 例例 5 5(2020(2020 年高考浙江卷理科年高考浙江卷理科 19)19)已知公差不為 0 的等差數(shù)列 n a的首項(xiàng) 1 aa (aR),設(shè) 數(shù)列的前 n 項(xiàng)和為 n S，且 1 1 a ， 2 1 a ， 4 1 a 成等比數(shù)列（）求數(shù)列 n a的通項(xiàng)公式及 n S（）記 123 1111 . n n A

15、SSSS ， 2 12 22 1111 . n n B aaaa ，當(dāng)2n 時(shí)，試比 較 n A與 n B的大小. 當(dāng)2n 時(shí)， 2012 21 n nnnn CCCCn即 11 11 12nn ； 所以當(dāng)0a 時(shí)， nn AB；當(dāng)0a 時(shí)， nn AB . 【名師點(diǎn)睛名師點(diǎn)睛】本小題主要考查等差等比數(shù)列的通項(xiàng)與前 n 項(xiàng)和等基本知識(shí)，考查邏輯思維能 力、分析問題和解決問題的能力 【備考提示備考提示】：熟練掌握等差等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)是解決本類問題的關(guān)鍵. 練習(xí)練習(xí) 5.(20205.(2020 年高考天津卷文科年高考天津卷文科 20)20) 已知數(shù)列已知數(shù)列 n a與與 n b滿足滿足 11

16、( 2)1 n nnnn bab a , , 1 3( 1) , 2 n n bnN , ,且且 1 2a . . （）求）求 23 ,a a的值的值; ; ()()設(shè)設(shè) 2121nnn caa , ,nN, ,證明證明 n c是等比數(shù)列是等比數(shù)列; ; ()()設(shè)設(shè) n S為為 n a的前的前 n n 項(xiàng)和項(xiàng)和, ,證明證明 21212 12212 1 () 3 nn nn SSSS nnN aaaa . . 【解析解析】 （）由 1 3( 1) , 2 n n bnN ,可得 2, 1, n n b n 是奇數(shù) 是偶數(shù) , 11 ( 2)1 n nnnn bab a , 當(dāng) n=1 時(shí),

17、12 21,aa 由 1 2a ,得 2 3 2 a ; 當(dāng) n=2 時(shí), 23 25,aa可得 3 8a . ()證明:對(duì)任意nN, 21 212 221 n nn aa - 2 221 221 n nn aa - -得: 21 2121 3 2 n nn aa ,即 21 3 2 n n c ,于是 1 4 n n c c ,所以 n c是等比數(shù)列. ()證明: 1 2a ,由()知,當(dāng)kN 且2k 時(shí), 21131532123 ()()() kkk aaaaaaaa =2+3(2+ 3523 222 k )=2+ 1 21 2(1 4) 32 1 4 k k ,故對(duì)任意kN , , 由得

18、 2121 2 2221, kk k a 所以 21 2 1 2 2 k k a ,kN , 因此, 21234212 ()()() 2 kkk k Saaaaaa ,于是 2122kkk SSa 21 1 2 2 k k , 故 212 212 kk kk SS aa 21 21 1 2 2 2 k k k 21 2 1 2 2 k k = 2 22 12 221 k kk kk 1 1 44 (41) kkk k , 所以 21212 12212 1 () 3 nn nn SSSS nnN aaaa . 【易錯(cuò)專區(qū)易錯(cuò)專區(qū)】 問題：已知問題：已知 n S, ,求求 n a時(shí)時(shí), ,易忽視易

19、忽視1n 的情況的情況 例例. . （20202020 年高考上海卷文科年高考上海卷文科 2121） 已知數(shù)列 n a的前n項(xiàng)和為 n S，且585 nn Sna， * nN (1)證明：1 n a 是等比數(shù)列； (2)求數(shù)列 n S的通項(xiàng)公式，并求出使得 1nn SS 成立的最小正整數(shù)n. 【考題回放考題回放】 1.(2020(2020 年高考安徽卷文科年高考安徽卷文科 7)7)若數(shù)列 n a的通項(xiàng)公式是() () n an g,則 aaa L（ ） （A） 15 (B) 12 (C ) (D) 【答案】A 【解析】法一：分別求出前 10 項(xiàng)相加即可得出結(jié)論； 法二： 1234910 3aa

20、aaaa，故aaa L.故選 A. 2. （20202020 年高考江西卷文科年高考江西卷文科 5)5)設(shè) n a為等差數(shù)列，公差 d = -2， n S為其前 n 項(xiàng)和.若 1011 SS，則 1 a=（ ） A.18 B.20 C.22 D.24 【答案】B 【解析】 20,10 0, 1111 111110 adaa aSS . 3. (2020(2020 年高考江西卷理科年高考江西卷理科 5)5)已知數(shù)列 n a的前 n 項(xiàng)和 n S滿足： nmn m SSS ，且 1 a=1那么 10 a=（ ） A1 B9 C.10 D55 【答案】A 【解析】因?yàn)?nmn m SSS ,所以令1

21、nm,可得 21 22SS;令1,2nm,可得 312 3SSS;同理可得 42 24SS, 523 5SSS, 945 9SSS, 105 210SS,所以 10 a= 109 1SS,故選 A. 4. (2020(2020 年高考四川卷理科年高考四川卷理科 8)8)數(shù)列 n a的首項(xiàng)為3， n b 為等差數(shù)列且 1 (*) nnn baa nN .若則 3 2b ， 10 12b ，則 8 a ( ) （A）0 （B）3 （C）8 （D）11 【答案】B 【解析】由已知知 1 28,28, nnn bnaan 由疊加法 21328781 ()()()642024603aaaaaaaa .

22、5 （ 20202020 年高考全國年高考全國卷文科卷文科 4 4）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列 n a， 123 a a a=5， 789 a a a=10，則 456 a a a=（ ） (A) 5 2 (B) 7 (C) 6 (D) 4 2 【答案】A 【解析】由等比數(shù)列的性質(zhì)知 3 1231322 ()5a a aa aaaA， 3 7897988 ()a a aa aaaA10,所 以 1 3 28 50a a ,所以 1 333 6 456465528 ()()(50 )5 2a a aa aaaa aA. 6 （20202020 年高考全國卷年高考全國卷文科文科 6 6）如果等差數(shù)

23、列 n a中， 3 a+ 4 a+ 5 a=12，那么 1 a+ 2 a+ 7 a=（ ） （A）14 (B) 21 (C) 28 (D) 35 【答案】C C 【解析解析】 345 12aaa ， 4 4a 127174 1 7 ()728 2 aaaaaa 7.（20202020 年高考安徽卷理科第年高考安徽卷理科第 5 5 題）題）已知 n a為等差數(shù)列， 1 a+ 3 a+ 5 a=105， 246 aaa=99，以 n S表示 n a的前n項(xiàng)和，則使得 n S達(dá)到最大值 的n是高. （ ） 【解析】設(shè)公比為q,由已知得 284 111 2a qa qa q,即 2 2q ,因?yàn)榈缺葦?shù)

24、列 n a的公比為 正數(shù)，所以2q ,故 2 1 12 22 a a q ,選 B 9 （20202020 年高考湖南卷文科第年高考湖南卷文科第 3 3 題）題）設(shè) n S是等差數(shù)列 n a的前 n 項(xiàng)和，已知 2 3a ， 6 11a ，則 7 S等于( ) A13 B35 C49 D 63 【答案】C 【解析】 1726 7 7()7()7(3 11) 49. 222 aaaa S 故選 C. 或由 211 61 31 5112 aada aadd , 7 1 6 213.a 所以 17 7 7()7(1 13) 49. 22 aa S 故選 C. 10. （20202020 年高考福建卷

25、理科第年高考福建卷理科第 3 3 題）題）等差數(shù)列 n a的前 n 項(xiàng)和為 n S，且 3 S =6， 1 a=4， 則公差 d 等于( ) A1 B 5 3 C.- 2 D 3 【答案】C 【解析】 313 3 6() 2 Saa且 311 2 =4 d=2aad a.故選 C 11 （20202020 年高考江西卷理科第年高考江西卷理科第 8 8 題）題）數(shù)列 n a的通項(xiàng) 222 (cossin) 33 n nn an ，其前 n項(xiàng)和為 n S，則 30 S為( ) A470 B490 C495 D510 【答案】A 【解析】由于 22 cossin 33 nn 以 3 為周期,故 22

26、2222 222 30 12452829 (3 )(6 )(30 ) 222 S 22 1010 2 11 (32)(31)59 10 11 (3 ) 925470 222 kk kk kk 故選 A 12.12.（20202020 年高考湖北卷文科年高考湖北卷文科 9)9)九章算術(shù) “竹九節(jié)”問題：現(xiàn)有一根 9 節(jié)的竹子，自下 而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面 4 節(jié)的容積共 3 升，下面 3 節(jié)的容積共 4 升，則第 5 節(jié)的 容積為（ ） A. 1 升B. 67 66 升C. 47 44 升D. 37 33 升 【答案答案】D 【解析解析】設(shè) 9 節(jié)竹子的容積從上往下依次為a1,a2,a9

27、，公差為 d，則有a1+a2+a3+a4=3, a7+a8+a9=4,即4a5-10d=3,3a5+9d=4,聯(lián)立解得： 5 67 66 a ，所以選 B. 13. (2020(2020 年高考湖南卷理科年高考湖南卷理科 12)12)設(shè) n S是等差數(shù)列 Nnan的前n項(xiàng)和，且1 1 a， 7 4 a，則 5 S . 【答案】25 【解析】 因?yàn)? 1 a，7 4 a，所以2d，則25 2 45 5 15 daS.故填 25 14.14. (2020(2020 年高考廣東卷理科年高考廣東卷理科 11)11)等差數(shù)列 n a前 9 項(xiàng)的和等于前 4 項(xiàng)的和.若 14 1,0 k aaa，則k .

28、 【答案答案】10 【解析解析】由題得10 6 1 031) 1(1 2 34 4 2 89 9 kd ddk dd . 【解析】 2 (4)( ) 3 n n an n則 1 1 2 (1)(5)( ) 2(1)(5) 3 2 3 (4) (4)( ) 3 n n n n nn ann an n n n 于是 2 2(1)(5)3 (4)10nnn nn 令 2 100n得1010n，則 1 1 n n a a ， 4n 時(shí)遞增，令 2 100n得10n ，則 1 1 n n a a ，4n 時(shí)遞減，故4n 是最大項(xiàng)， 即4k . 17. （20202020 年高考江西卷文科年高考江西卷文科

29、 21)21) (本小題滿分 14 分） （1）已知兩個(gè)等比數(shù)列 nn ba ,，滿足3, 2, 1,0 3322111 abababaaa， 若數(shù)列 n a唯一，求a的值； （2）是否存在兩個(gè)等比數(shù)列 nn ba ,，使得 44332211 ,abababab成公差 不為0 的等差數(shù)列？若存在，求 nn ba , 的通項(xiàng)公式；若 不存在，說明理由 【解析】 （1） n a要唯一，當(dāng)公比0 1 q時(shí)，由 33221 3,2, 21ababab且 31 2 2 bbb0134312 1 2 1 2 1 2 1 aaqaqaqaaq， 0a，0134 1 2 1 aaqaq最少有一個(gè)根（有兩個(gè)根時(shí)

30、，保證僅有一個(gè)正根） 01401344 2 aaaaa，此時(shí)滿足條件的 a 有無數(shù)多個(gè)，不符合。 當(dāng)公比0 1 q時(shí)，等比數(shù)列 n a首項(xiàng)為 a，其余各項(xiàng)均為常數(shù) 0，唯一，此時(shí)由 0134312 1 2 1 2 1 2 1 aaqaqaqaaq，可推得 3 1 , 013aa符合 綜上： 3 1 a。 （2）假設(shè)存在這樣的等比數(shù)列 21 qq,，公比分別為 nn ba，則由等差數(shù)列的性質(zhì)可得： 44113322 abababab，整理得： 11 131231 qaaqbb 要使該式成立，則1 2 q=101 211 qqq或0 3131 aabb此時(shí)數(shù)列 22 ab ， 33 ab 公差為

31、0 與題意不符，所以不存在這樣的等比數(shù)列 nn ba ,. 18. （20202020 年高考福建卷文科年高考福建卷文科 17)17)（本小題滿分 12 分） 已知等差數(shù)列an中，a1=1，a3=-3. （I）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式； （II）若數(shù)列an的前 k 項(xiàng)和 Sk=-35，求 k 的值. 【解析】 （I）設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,則 1 (1) n aand,由 1 1a ， 3 3a 可得 123d ，解得 2d ,從而1 (1) ( 2)32 n ann . （II）由（I）可知32 n an,所以 2 1 (32 ) 2 2 n nn Snn ,由 Sk=-35，可得 2 235

32、kk , 即 2 2350kk,解得7k 或5k ,又kN ,故7k . 19 （20202020 年高考湖南卷文科年高考湖南卷文科 20)20)（本題滿分 13 分） 某企業(yè)在第 1 年初購買一臺(tái)價(jià)值為 120 萬元的設(shè)備 M，M 的價(jià)值在使用過程中逐年減少，從 第 2 年到第 6 年，每年初 M 的價(jià)值比上年初減少 10 萬元；從第 7 年開始，每年初 M 的價(jià)值 為上年初的 75% （I）求第 n 年初 M 的價(jià)值 n a的表達(dá)式； （II）設(shè) 12 , n n aaa A n 若 n A大于 80 萬元，則 M 繼續(xù)使用，否則須在第 n 年初對(duì) M 更新，證明：須在第 9 年初對(duì) M

33、更新 【解析解析】 （I）當(dāng)6n 時(shí)，數(shù)列 n a是首項(xiàng)為 120，公差為10的等差數(shù)列 66 678 6 333 ()570704 1 ( )780210 ( ) 444 3 780210 ( ) 4 . nn nn n n SSaaa A n 因?yàn)?n a是遞減數(shù)列，所以 n A是遞減數(shù)列，又 8 69 6 89 33 780210 ( )780210 ( ) 4779 44 8280,7680, 864996 AA 所以須在第 9 年初對(duì) M 更新 20. （20202020 年高考四川卷文科年高考四川卷文科 20)20)（本小題共 12 分） 已知 n a是以a為首項(xiàng)，q 為公比的等比

34、數(shù)列， n S為它的前n項(xiàng)和. （）當(dāng) 134 ,S S S成等差數(shù)列時(shí)，求 q 的值； ()當(dāng) m S， n S， i S成等差數(shù)列時(shí)，求證：對(duì)任意自然數(shù), m kn ki k k aaa 也成等差數(shù)列. 【解析解析】 （）當(dāng)1q 時(shí)， 134 ,3 ,4Sa Sa Sa，因?yàn)?134 ,S S S成等差數(shù)列，所以 2 34aaa，解得0a ，因?yàn)?a ，故1q ； 當(dāng)1q 時(shí)， 34 134 (1)(1) , 11 aqaq Sa SS qq ，由 134 ,S S S成等差數(shù)列得 34 2 (1)(1) 11 aqaq a qq ，得 32 210qq ，即 2 110qqq， 15 2

35、 q . 21 （20202020 年高考天津卷文科年高考天津卷文科 2222） （本小題滿分 14 分） 在數(shù)列 n a中， 1 a=0，且對(duì)任意 k * N， 2k 12k2k+1 a,a,a 成等差數(shù)列，其公差為 2k. （）證明 456 a ,a ,a成等比數(shù)列；（）求數(shù)列 n a的通項(xiàng)公式； （）記 222 23 23 n n n T aaa A A A，證明 n 3 2nT2 n 2 （2）. 【解析解析】 （I）證明：由題設(shè)可知， 21 22aa， 32 24aa， 43 48aa， 54 412aa， 65 618aa.從而 65 54 3 2 aa aa ，所以 4 a， 5

36、 a， 6 a成等比數(shù)列. （II）解：由題設(shè)可得 2121 4 ,* kk aak kN 所以 2112121212331 . kkkkk aaaaaaaa 441.4 1kk 21 ,*k kkN. 由 1 0a ，得 21 21 k ak k ，從而 2 221 22 kk aakk . 所以數(shù)列 n a的通項(xiàng)公式為 2 2 1, 2 , 2 n n n a n n 為奇數(shù) 為偶數(shù) 或?qū)憺?2 11 24 n n n a ，*nN。 （III）證明：由（II）可知 21 21 k ak k ， 2 2 2 k ak， 以下分兩種情況進(jìn)行討論： （1）當(dāng) n 為偶數(shù)時(shí)，設(shè) n=2m*mN

37、若1m ，則 2 2 22 n k k k n a ， 若2m ，則 22 222 11 2 21111 221 2214441 221 nmmmm kkkkk kkk kkkkkk aaakk k 2 11 11 4411 11 222 212121 mm kk kk mm k kk kkk 1131 22112 22 mmn mn . 所以 2 2 31 2 2 n k k k n an ，從而 2 2 3 22,4,6,8,. 2 n k k k nn a （2）當(dāng) n 為奇數(shù)時(shí)，設(shè)21*nmmN。 22 22 2 22 21 212131 4 2221 nm kk kkm mmkk m

38、 aaamm m 1131 42 22121 mn mn 所以 2 2 31 2 21 n k k k n an ，從而 2 2 3 22,3,5,7,. 2 n k k k nn a 綜合（1）和（2）可知，對(duì)任意2,*,nnN有 3 22. 2 n nT 22(2020(2020 年高考北京卷文科年高考北京卷文科 16)16)（本小題共 13 分） 已知| n a為等差數(shù)列，且 3 6a ， 6 0a 。 （）求| n a的通項(xiàng)公式； （）若等差數(shù)列| n b滿足 1 8b ， 2123 baaa，求| n b的前 n 項(xiàng)和公式 【解析解析】 （）設(shè)等差數(shù)列 n a的公差d。 23(202

39、0(2020 年高考江西卷文科年高考江西卷文科 22)22)（本小題滿分 14 分） 正實(shí)數(shù)數(shù)列 n a中， 1 1a ， 2 5a ，且 2 n a成等差數(shù)列 （1）證明數(shù)列 n a中有無窮多項(xiàng)為無理數(shù)； （2）當(dāng)n為何值時(shí)， n a為整數(shù)，并求出使200 n a 的所有整數(shù)項(xiàng)的和 【解析解析】證明：（1）由已知有： 2 124(1) n an ，從而124(1) n an， 方法一：取 21 124 k n ，則 2* 124() k n akN 用反證法證明這些 n a都是無理數(shù) 假設(shè) 2 124 k n a 為有理數(shù)，則 n a必為正整數(shù)，且24k n a ， 故241 k n a 2

40、41 k n a ，與(24 )(24 )1 kk nn aa矛盾， 所以 2* 124() k n akN都是無理數(shù)，即數(shù)列 n a中有無窮多項(xiàng)為 無理數(shù)； 方法二：因?yàn)?2 1 124 () n an nN ，當(dāng)n得末位數(shù)字是 3,4,8,9 時(shí)， 124n的末位數(shù)字是 3 和 7，它不是整數(shù)的平方，也不是既約分?jǐn)?shù)的平 方，故此時(shí) 1 124 n an 不是有理數(shù)，因這種n有無窮多，故這種無 理項(xiàng) 1n a 也有無窮多 （2）要使 n a為整數(shù)，由(1)(1)24(1) nn aan可知：1,1 nn aa同為 偶數(shù)，且其中一個(gè)必為 3 的倍數(shù)，所以有16 n am 或16 n am 當(dāng)

41、61 n am時(shí)，有 22 361211 12 (31)() n ammmmmN 又 (31)mm必為偶數(shù)，所以61() n ammN滿足 2 124(1) n an 即 (31) 1() 2 mm nmN 時(shí)， n a為整數(shù)；同理 * 61() n ammN有 22* 361211 12 (31)() n ammmmmN 也滿足 2 124(1) n an 即 * (31) 1() 2 mm nmN 時(shí)， n a為整數(shù)；顯然 * 61() n ammN和61() n ammN是數(shù)列中的不同項(xiàng)；所以 當(dāng) (31) 1() 2 mm nmN 和 * (31) 1() 2 mm nmN 時(shí)， n

42、a為 整數(shù)；由61200() n ammN 有033m， 由 * 61200() n ammN 有133m 設(shè) n a中滿足200 n a 的所有整數(shù)項(xiàng)的和為S，則 (5 11197)(1 7 13199)S 5 1971 199 33346733 22 24. (2020(2020 年高考浙江卷文科年高考浙江卷文科 19)19)（本題滿分 14 分）設(shè) a1，d 為實(shí)數(shù)，首項(xiàng)為 a1，公差為 d 的等差數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和為 Sn，滿足 56 S S+15=0. （）若 5 S=5，求 6 S及 a1；（）求 d 的取值范圍. 【解析解析】()解：由題意知S6= 5 -15 S =-3,

43、A6=S6-S5=-8 所以 1 1 5105, 58. ad ad 解得a1=7,所以S6= -3,a1=7 ()解：因?yàn)镾5S6+15=0,所以(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0,即 2a12+9da1+10d2+1=0. 【解析】通過 25 80aa，設(shè)公比為q，將該式轉(zhuǎn)化為08 3 22 qaa，解得q=-2，帶入 所求式可知答案選 A，本題主要考察了本題主要考察了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前 n 項(xiàng)和公式 2(2020(2020 年高考安徽卷文科年高考安徽卷文科 5)5)設(shè)數(shù)列 n a的前 n 項(xiàng)和 2 n Sn，則 8 a的值為( ) （A） 15 (B) 16 (C) 49

44、 （D）64 【答案】A 【解析】 887 644915aSS. 3 （20202020 年高考山東卷文科年高考山東卷文科 7 7）設(shè) n a是首項(xiàng)大于零的等比數(shù)列，則“ 12 aa”是“數(shù)列 n a是遞增數(shù)列”的( ) （A）充分而不必要條件 (B)必要而不充分條件 (C)充分必要條件 (D)既不充分也不必要條件 【答案】C 【解析】若已知 12 a a，則設(shè)數(shù)列 n a的公比為q，因?yàn)?12 a 0，所以數(shù)列 n a是遞增數(shù)列；反之，若數(shù)列 n a是遞增數(shù)列，則公比q1且 1 a 0，所以 11 a a q，即 12 a a，所以 12 a a是數(shù)列 n a是遞增數(shù)列的充分必要條件。 4

45、4(2020(2020 年高考江西卷文科年高考江西卷文科 7)7)等比數(shù)列 n a中， 1 1a ， 52 8aa ， 52 aa，則 n a A 1 ( 2)n B 1 ( 2)n C( 2)n D( 2)n 5 （20202020 年高考遼寧卷文科年高考遼寧卷文科 3 3）設(shè) n S為等比數(shù)列 n a的前n項(xiàng)和，已知 34 32Sa， 23 32Sa，則公比q ( ) （A）3 （B）4 （C）5 （D）6 【答案】B 【解析】兩式相減得， 343 3aaa， 4 43 3 4,4 a aaq a . 6 6 （20202020 年高考廣東卷文科年高考廣東卷文科 4 4）已知數(shù)列 n a為

46、等比數(shù)列， n S是它的前 n 項(xiàng)和，若 2 a a2a， 且 4 a與 7 2a的等差中項(xiàng)為 5 4 ，則 S5=w( ) A35 B33 C31 D29 7 （20202020 年高考重慶卷文科年高考重慶卷文科 2 2）在等差數(shù)列 n a中， 19 10aa，則 5 a的值為( ) （A）5 （B）6 （C）8 （D）10 【答案】A 【解析】由角標(biāo)性質(zhì)得 195 2aaa，所以 5 a=5. 8 8 （20202020 年高考湖北卷文科年高考湖北卷文科 7 7）已知等比數(shù)列 m a中，各項(xiàng)都是正數(shù)，且 1 a， 32 1 ,2 2 aa成 等差數(shù)列，則 910 78 aa aa ( )

47、A.12B. 12C. 32 2D32 2 【答案】C 二填空題：二填空題： 13 （20202020 年高考北京卷文科第年高考北京卷文科第 1010 題）題）若數(shù)列 n a滿足： 11 1,2() nn aaa nN ，則 5 a ；前 8 項(xiàng)的和 8 S .（用數(shù)字作答） 【答案答案】255】255 【解析解析】 121324354 1,22,24,28,216aaaaaaaaa， 易知 8 8 21 255 2 1 S . 1414 （20202020 年高考遼寧卷文科年高考遼寧卷文科 1414）設(shè) n S為等差數(shù)列 n a的前n項(xiàng)和，若 36 324SS， 則 9 a 。 【答案答案】

48、15】15 【解析解析】由 31 61 3 2 33 2 6 5 624 2 Sad Sad ,解得 1 1 2 a d ， 91 815.aad 15( (浙江省溫州市浙江省溫州市 20202020 年高三第一次適應(yīng)性測(cè)試?yán)砜颇旮呷谝淮芜m應(yīng)性測(cè)試?yán)砜? )已知數(shù)列 n a是公比為q的等比數(shù) 列，集合 1210 ,Aa aa，從A中選出 4 個(gè)不同的數(shù)，使這 4 個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，這樣得 到 4 個(gè)數(shù)的不同的等比數(shù)列共有 【答案答案】24 【解析解析】以公比為q的等比數(shù)列有 1234 ,a a a a 78910 ,a a a a共7組； 以公比為 2 q的等比數(shù)列有 1357 ,a a a

49、a 46810 ,a a a a共4組； 以公比為 3 q的等比數(shù)列有 14710 ,a a a a共1組. 再考慮公比分別為 23 111 , q qq 的情形，可得得到 4 個(gè)數(shù)的不同的等比數(shù)列共有24個(gè). 三三 解答題：解答題： 17.（20202020 年高考山東卷理科第年高考山東卷理科第 2020 題）題） （本小題滿分 12 分） 等比數(shù)列 n a的前 n 項(xiàng)和為 n S，已知對(duì)任意的nN ，點(diǎn)( ,) n n S，均在函數(shù) (01, ,) x ybr bbb r且均為常數(shù)的圖像上. （）求 r 的值； (文科)（）當(dāng) b=2 時(shí)，記 1( ) 4 n n n bnN a ,求數(shù)列 n b的前 n 項(xiàng)和 n T. (理科)（）當(dāng) b=2 時(shí)，記 2 2(log1)() nn banN ,證明：對(duì)任意的nN ，不等 式 12 12 111 1 n n bbb n bbb 成立 【解