江蘇南京湖濱高級中學2020屆高三數(shù)學第四次模擬考試試題（通用）

1、高淳縣湖濱高級中學2020屆高三年級第四次模擬考試數(shù)學試卷1(滿分160分,時間120分鐘)一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分請把答案直接填寫在答題卡相應位置上.1. 已知集合，則 .2. 若復數(shù)的實部為，模為，則復數(shù)的虛部是 .3. 有紅心1，2，3和黑桃4，5這5張撲克牌，現(xiàn)從中隨機抽取一張，則抽到的牌為紅心的概率是 .4. 已知，則 .5. 根據(jù)如圖所示的偽代碼，可知輸出的結果為 .6. 如圖，是某班一次競賽成績的頻數(shù)分布直方圖，利用組中值可估計其的平均分為 .I1While I8 IEnd WhilePrint S(第5題)（第6題）O 20 40 60 80 100

2、成績 6 42 108 人數(shù)7. 設向量，若與垂直，則實數(shù)的值為 .8. 已知點，若直線在軸與軸上的截距相等，則實數(shù)= .9. 已知數(shù)列的前項和，第項滿足，則 .10. 已知為正實數(shù)，滿足，則的最小值為 .11. 已知存在實數(shù)，滿足對任意的實數(shù)，直線都不是曲線的切線，則實數(shù)的取值范圍是 .12. 已知的周長為16，面積為6，且，則 13. 在平面直角坐標系中，以橢圓上的一點為圓心的圓與軸相切于橢圓的一個焦點，與軸相交于兩點，若ABC是銳角三角形，則該橢圓的離心率的取值范圍是 .14. 設函數(shù)對于任意，都有成立，則實數(shù)= .二、解答題：本大題共6小題，共90分請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應寫

3、出文字說明、證明過程或演算步驟15（本題滿分14分）已知且（1）求的值；（2）證明：16（本題滿分14分）（第16題圖）如圖，正方形所在的平面與三角形所在的平面交于，平面，且（1）求證：平面；（2）求證：平面平面； 17（本題滿分15分） 請你設計一個紙盒如圖所示，ABCDEF是邊長為30cm的正六邊形硬紙片，切去陰影部分所示的六個全等的四邊形，再沿虛線折起，正好形成一個無蓋的正六棱柱形狀的紙盒G、H分別在AB、AF上，是被切去的一個四邊形的兩個頂點，設AGAHx(cm)（1）若要求紙盒的側面積S(cm2)最大，試問x應取何值？（2）若要求紙盒的的容積V(cm3)最大，試問x應取何值？ABCD

4、EFGH（第17題圖）并求此時紙盒的高與底面邊長的比 18（本題滿分15分）在平面直角坐標系中，橢圓的離心率為，右頂點為，直線過原點，且點在x軸上方，直線與分別交直線：于點、.（1）若點，求ABC的面積；（2）若點為動點，設直線與的斜率分別為、.EFCxyABO（第18題） 試探究：是否為定值？若為定值，請求出；若不為定值，請說明理由； 求AEF的面積的最小值. 19（本題滿分16分） 設,其中()為常數(shù)數(shù)列an的首項，前n項和為對于任意的正整數(shù)n，都成立（1）若，求證：數(shù)列an是等比數(shù)列；（2）試確定所有的自然數(shù)k，使得數(shù)列an能成等差數(shù)列20（本題滿分16分） 已知函數(shù)，其中為常數(shù)（1）求

5、證：函數(shù)的圖象必過定點；（2）若在上為單調(diào)減函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；（3）是否存在正整數(shù)，使得的解集恰好為？若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由第2巻（附加題 共40分）【選做題】在A，B，C，D四小題中只能選做2題，每小題10分，共計20分解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟A選修41：幾何證明選講OABPEC如圖，AB為O的直徑，BC切O于B，AC交O于P，CE=BE，E在BC上求證：PE是O的切線B選修4-2：矩陣與變換在平面直角坐標系中，設橢圓在矩陣對應的變換作用下得到曲線F，求F的方程.C選修4-4：坐標系與參數(shù)方程在極坐標系中，A為曲線上的動點， B為直線上的動點，求AB的

6、最小值。D選修45：不等式選講設x，y，z為正數(shù)，證明：【必做題】第22題、第23題，每題10分，共計20分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。22學校文娛隊的每位隊員唱歌、跳舞至少會一項，已知會唱歌的有2人，會跳舞的有5人，現(xiàn)從中選2人設為選出的人中既會唱歌又會跳舞的人數(shù)，且（1）求文娛隊的隊員人數(shù)；（2）寫出的概率分布列并計算23. 在平面直角坐標系中，拋物線的頂點在原點，焦點的坐標為（1）求拋物線的標準方程；（2）設是拋物線的準線上的兩個動點，且它們的縱坐標之積為，直線,與拋物線的交點分別為點，求證：動直線恒過一個定點高淳縣湖濱高級中學2020屆高三年級

7、第四次模擬考試數(shù)學試卷1答案1 2 3 4 5 6 7 8-391或8 10 11 12. 13. 14. 1 15、（1）將代入得（4分） 所以又， 解得（6分） （2）易得，又 所以，（8分） 由（1）可得，（10分） 所以（14分）（第16題圖）16、（1）正方形ABCD中， 又平面CDE， 平面CDE， 所以平面CDE（6分） （2）因為， 且， 所以，（8分） 又 且， ， 所以，（12分） 又， 所以（14分）ABCDEFGH（第17題圖）17、（本小題15分）（1）易得正六棱柱的底面正六邊形的邊長為，正六棱柱的高為， 所以紙盒的側面積S，（5分） 因為該二次函數(shù)開口向下，且對稱軸

8、方程為， 所以當cm時，側面積S最大 （7分）（2）紙盒的容積V，（10分） 由得，或（舍去），（12分）x5+0極大值9000 列表： 所以當cm時，容積V最大，此時紙盒的高與底面邊長的比為（15分）EFCxyABO（第18題）18、（1）由題意得解得， （3分）則ABC的面積；（5分）（2） 為定值，下證之： 證明：設，則，且， （7分） 而 由（1）得， 所以； （10分） 易得直線的方程為， 直線的方程為， 令得， 則AEF的面積， （13分） 因為點在x軸上方，所以， 由得（當且僅當時等號成立） 所以，AEF的面積的最小值為.（15分）19、（1）若，則即為常數(shù)，不妨設（c為常數(shù)）

9、因為恒成立，所以，即 而且當時， ， 得 若an=0，則，a1=0，與已知矛盾，所以 故數(shù)列an是首項為1，公比為的等比數(shù)列（6分） （2）(i) 若k=0，由（1）知，不符題意，舍去（8分） (ii) 若k=1，設（b，c為常數(shù)）， 當時， ， 得 要使數(shù)列an是公差為d（d為常數(shù)）的等差數(shù)列，必須有（常數(shù)）， 而a1=1，故an只能是常數(shù)數(shù)列，通項公式為an =1， 故當k=1時，數(shù)列an能成等差數(shù)列，其通項公式為an =1，此時（11分） (iii) 若k=2，設（，a，b，c是常數(shù)）， 當時， ， 得 ， 要使數(shù)列an是公差為d（d為常數(shù)）的等差數(shù)列，必須有，且 d=2a， 考慮到a1

10、=1，所以 故當k=2時，數(shù)列an能成等差數(shù)列，其通項公式為， 此時（a為非零常數(shù)）（14分） (iv) 當時，若數(shù)列an能成等差數(shù)列，則的表達式中n的最高次數(shù)為2， 故數(shù)列an不能成等差數(shù)列（14分） 綜上得，當且僅當k=1或2時，數(shù)列an能成等差數(shù)列（16分）20、（1）易得，即 所以yO-1（圖1）解得 故的圖象必過定點；（4分）x （2）判別式， 當時，即時， 函數(shù)0恒成立， 所以， 對稱軸方程為，所以當時符合題意（如圖1）， 此時；（7分） 當時，即時，方程的兩個實根為， yO-1x1（圖2）x不妨設，由題意及圖象得 或 即（如圖2） xO-1x1x2（圖3）y或 （如圖3） 解得，

11、此時， 綜上得m的取值范圍是（10分） （3）由題意得（12分） 所以a，b是方程的兩個不同的實數(shù)解， 由根與系數(shù)的關系得 消去m得，即 當時，上式顯然不可能成立，故，所以， 因為，所以是2的約數(shù)即a的所有可能值分別為0，2，-1，2，對應的b的所有可能值依次為0，4，1，3， 因為，所以（舍）或 對應的m的值為8， 經(jīng)檢驗，滿足， 所以即為所求（16分）高淳縣湖濱高級中學2020屆高三年級第四次模擬考試數(shù)學附加題答題卷B.是橢圓上任意一點，點在矩陣對應的變換下變?yōu)辄c 則有 ，即，所以， 又因為點在橢圓上，故，從而， 所以，曲線的方程是 C.方程為，圓心，直線方程為，圓心到直線的距離，所以22：設既會唱歌又會跳舞的有人，則文娛隊中共有（）人，只會一項的人數(shù)是（）人 (2分) (1