山東臨清三中高中數(shù)學(xué) 4.1.2圓的一般方程教案 新人教A版必修2（通用）

1、4.1.2圓的一般方程【教學(xué)目標(biāo)】使學(xué)生掌握圓的一般方程的特點(diǎn)；能將圓的一般方程化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程從而求出圓心的坐標(biāo)和半徑；能用待定系數(shù)法，由已知條件導(dǎo)出圓的方程使學(xué)生掌握通過配方求圓心和半徑的方法，熟練地用待定系數(shù)法由已知條件導(dǎo)出圓的方法，熟練地用待定系數(shù)法由已知條件導(dǎo)出圓的方程，培養(yǎng)學(xué)生用配方法和待定系數(shù)法解決實(shí)際問題的能力通過對待定系數(shù)法的學(xué)習(xí)為進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和其他相關(guān)學(xué)科的基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法打下牢固的基礎(chǔ)【教學(xué)重難點(diǎn)】教學(xué)重點(diǎn)：(1)能用配方法，由圓的一般方程求出圓心坐標(biāo)和半徑；(2)能用待定系數(shù)法，由已知條件導(dǎo)出圓的方程教學(xué)難點(diǎn)：圓的一般方程的特點(diǎn)【教學(xué)過程】（一）情景導(dǎo)入、展示目標(biāo)前

2、面，我們已討論了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x-a)+(y-b)=r，現(xiàn)將展開可得x+y-2ax-2by+a+b-r=0可見，任何一個(gè)圓的方程都可以寫成x+y+Dx+Ey+F=0請大家思考一下：形如x+y+Dx+Ey+F=0的方程的曲線是不是圓？下面我們來深入研究這一方面的問題復(fù)習(xí)引出課題為“圓的一般方程”（二）檢查預(yù)習(xí)、交流展示1.寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.2.寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中的圓心與半徑.（三）合作探究、精講精練 探究一：圓的一般方程的定義1分析方程x+y+Dx+Ey+F=0表示的軌跡將方程x+y+Dx+Ey+F=0左邊配方得： (1)(1)當(dāng)D+E-4F0時(shí)，方程(1)與標(biāo)準(zhǔn)方程比較，可以看出方程半徑的圓；

3、(3)當(dāng)D+E-4F0時(shí)，方程x+y+Dx+Ey+F=0沒有實(shí)數(shù)解，因而它不表示任何圖形這時(shí)，教師引導(dǎo)學(xué)生小結(jié)方程x+y+Dx+Ey+F=0的軌跡分別是圓、法2引出圓的一般方程的定義當(dāng)D+E-4F0時(shí)，方程x+y+Dx+Ey+F=0稱為圓的一般方程探究二：圓的一般方程的特點(diǎn)請同學(xué)們分析下列問題：問題：比較二元二次方程的一般形式Ax+Bxy+Cy+Dx+Ey+F=0(2)與圓的一般方程x+y+Dx+Ey+F=0，(D+E-4F0)(3)的系數(shù)可得出什么結(jié)論？啟發(fā)學(xué)生歸納結(jié)論當(dāng)二元二次方程 Ax+Bxy+Cy+Dx+Ey+F=0具有條件：(1)x和y的系數(shù)相同，不等于零，即A=C0；(2)沒有xy

4、項(xiàng)，即B=0；(3)D+E-4AF0它才表示圓條件(3)通過將方程同除以A或C配方不難得出強(qiáng)調(diào)指出：(1)條件(1)、(2)是二元二次方程(2)表示圓的必要條件，但不是充分條件；(2)條件(1)、(2)和(3)合起來是二元二次方程(2)表示圓的充要條件例1 求下列圓的半徑和圓心坐標(biāo)：(1)x+y-8x+6y=0，(2)x+y+2by=0解析：先配方，將方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，再求圓心和半徑解：(1)圓心為(4，-3)，半徑為5；(2)圓心為(0，-b)，半徑為|b|，注意半徑不為b點(diǎn)撥：由圓的一般方程求圓心坐標(biāo)和半徑，一般用配方法，這要熟練掌握變式訓(xùn)練：方程x2y22kx4y3k8=0表示圓的充要條

5、件是（ ）k4或者k1 1k4 k=4或者k=1 以上答案都不對圓x2y2DxEyF=0與x軸切于原點(diǎn)，則有（ ）F=0，DE0 E2F2=0，D0 D2F2=0，E0 D2E2=0，F(xiàn)0答案：例2 求過三點(diǎn)O(0，0)、A(1，1)、B(4，2)的圓的方程解析：已知圓上的三點(diǎn)坐標(biāo)，可設(shè)圓的一般方程，用待定系數(shù)法求圓的方程解：設(shè)所求圓的方程為x+y+Dx+Ey+F=0，由O、A、B在圓上，則有解得：D=-8，E=6，F(xiàn)=0，故所求圓的方程為x+y-8x+6=0點(diǎn)撥：1用待定系數(shù)法求圓的方程的步驟：(1)根據(jù)題意設(shè)所求圓的方程為標(biāo)準(zhǔn)式或一般式；(2)根據(jù)條件列出關(guān)于a、b、r或D、E、F的方程；

6、(3)解方程組，求出a、b、r或D、E、F的值，代入所設(shè)方程，就得要求的方程2關(guān)于何時(shí)設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，何時(shí)設(shè)圓的一般方程：一般說來，如果由已知條件容易求圓心的坐標(biāo)、半徑或需要用圓心的坐標(biāo)、半徑列方程的問題，往往設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；如果已知條件和圓心坐標(biāo)或半徑都無直接關(guān)系，往往設(shè)圓的一般方程 變式訓(xùn)練： 求圓心在直線 l：x+y=0上，且過兩圓Cx+y-2x+10y-24=0和Cx+y+2x+2y-8=0的交點(diǎn)的圓的方程解：解方程組，得兩圓交點(diǎn)為（，），（，）設(shè)所求圓的方程為(x-a)+(y-b)=r，因?yàn)閮牲c(diǎn)在所求圓上，且圓心在直線l上所以得方程組為解得，故所求圓的方程為：(x+3)+(y-3)=

7、10 （四）反饋測試導(dǎo)學(xué)案當(dāng)堂檢測 （五）總結(jié)反思、共同提高1圓的一般方程的定義及特點(diǎn)；2用配方法求出圓的圓心坐標(biāo)和半徑；3用待定系數(shù)法，導(dǎo)出圓的方程【板書設(shè)計(jì)】一：圓的一般方程的定義1分析方程x+y+Dx+Ey+F=0表示的軌跡2圓的一般方程的定義二：圓的一般方程的特點(diǎn)(1)(2)(3)例1變式訓(xùn)練：例2變式訓(xùn)練：【作業(yè)布置】導(dǎo)學(xué)案課后練習(xí)與提高4. 1. 2圓的一般方程課前預(yù)習(xí)學(xué)案一預(yù)習(xí)目標(biāo)回顧圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，了解用圓的一般方程及其特點(diǎn)二預(yù)習(xí)內(nèi)容圓的標(biāo)準(zhǔn)方程形式是什么？圓心和半徑呢？圓的一般方程形式是什么？圓心和半徑呢？圓的方程的求法有哪些？3 提出疑惑同學(xué)們，通過你的自主學(xué)習(xí)，你還有那些疑

8、惑，請?zhí)钤谙旅娴谋砀裰幸苫簏c(diǎn)疑惑內(nèi)容課內(nèi)探究學(xué)案 一學(xué)習(xí)目標(biāo)掌握圓的一般方程的特點(diǎn)；能將圓的一般方程化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程從而求出圓心的坐標(biāo)和半徑；能用待定系數(shù)法，由已知條件導(dǎo)出圓的方程掌握通過配方求圓心和半徑的方法，熟練地用待定系數(shù)法由已知條件導(dǎo)出圓的方法，熟練地用待定系數(shù)法由已知條件導(dǎo)出圓的方程，培養(yǎng)用配方法和待定系數(shù)法解決實(shí)際問題的能力通過對待定系數(shù)法的學(xué)習(xí)為進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和其他相關(guān)學(xué)科的基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法打下牢固的基礎(chǔ)學(xué)習(xí)重點(diǎn)：(1)能用配方法，由圓的一般方程求出圓心坐標(biāo)和半徑；(2)能用待定系數(shù)法，由已知條件導(dǎo)出圓的方程學(xué)習(xí)難點(diǎn)：圓的一般方程的特點(diǎn)2 學(xué)習(xí)過程前面，我們已討論了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

9、(x-a)+(y-b)=r，現(xiàn)將展開可得x+y-2ax-2by+a2+b-r=0可見，任何一個(gè)圓的方程都可以寫成x+y+Dx+Ey+F=0請大家思考一下：形如x+y+Dx+Ey+F=0的方程的曲線是不是圓？下面我們來深入研究這一方面的問題復(fù)習(xí)引出課題為“圓的一般方程”探究一：圓的一般方程的定義1分析方程x+y+Dx+Ey+F=0表示的軌跡2引出圓的一般方程的定義探究二：圓的一般方程的特點(diǎn)請同學(xué)們分析下列問題：問題：比較二元二次方程的一般形式Ax+Bxy+Cy+Dx+Ey+F=0（）與圓的一般方程x+y+Dx+Ey+F=0，(D+E-4F0)（）的系數(shù)可得出什么結(jié)論？例1 求下列圓的半徑和圓心坐

10、標(biāo)：(1)x+y-8x+6y=0，(2)x+y+2by=0變式訓(xùn)練：方程x2y22kx4y3k8=0表示圓的充要條件是（ ）k4或者k1 1k4 k=4或者k=1 以上答案都不對圓x2y2DxEyF=0與x軸切于原點(diǎn)，則有（ ）F=0，DE0 E2F2=0，D0 D2F2=0，E0 D2E2=0，F(xiàn)0例2 求過三點(diǎn)O(0，0)、A(1，1)、B(4，2)的圓的方程變式訓(xùn)練： 求圓心在直線 l：x+y=0上，且過兩圓C1x+y-2x+10y-24=0和C2x+y+2x+2y-8=0的交點(diǎn)的圓的方程3 反思總結(jié)圓的一般方程成立的條件方程特征待定系數(shù)法法配方法四當(dāng)堂檢測方程表示的曲線是（ ）在x軸上

11、方的圓 在y軸右方的圓 x軸下方的半圓 x軸上方的半圓以（0，0）、（6，8）為直徑端點(diǎn)的圓的方程是 .求經(jīng)過兩圓x+y+6x-4=0和x+y+6y-28=0的交點(diǎn)，并且圓心在直線x-y-4=0上的圓的方程參考答案：x+y-x+y=0x+y-x+7y-32=0課后練習(xí)與提高方程x2y22(m3)x2(14m2)y16m4+9=0表示圓，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（ ）m1 1m m或m1 m1或m方程x2y2DxEyF=0（D2E24F0）表示的曲線關(guān)于直線xy=0對稱，則有（ ）DE=0 DF=0 EF=0 DEF=0經(jīng)過三點(diǎn)A(0，0)、B(1，0)、C(2，1)的圓的方程為（ ）x2y2x3y2=0 x2y23xy2=0 x2y2x3y=0