第八章 第一節(jié)空間幾何體的結(jié)構(gòu)、三視圖和直觀圖、表面積和體積(往年真題集錦)

1、第八章 立體幾何第一節(jié) 空間幾何體的結(jié)構(gòu)、三視圖和直觀圖、表面積和體積第一部分 五年高考薈萃2009年高考題一、選擇題1. 一空間幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為( ).2 2 側(cè)(左)視圖 2 2 2 正(主)視圖 A. B. C. D. 【解析】:該空間幾何體為一圓柱和一四棱錐組成的,俯視圖 圓柱的底面半徑為1,高為2,體積為,四棱錐的底面邊長(zhǎng)為，高為，所以體積為所以該幾何體的體積為.答案:C【命題立意】:本題考查了立體幾何中的空間想象能力,由三視圖能夠想象得到空間的立體圖,并能準(zhǔn)確地計(jì)算出.幾何體的體積.2.一個(gè)棱錐的三視圖如圖，則該棱錐的全面積（單位：c）為（A）48+12

2、（B）48+24 （C）36+12 （D）36+243.正六棱錐P-ABCDEF中，G為PB的中點(diǎn)，則三棱錐D-GAC與三棱錐P-GAC體積之比為（A）1：1 (B) 1：2 (C) 2：1 (D) 3：24.在區(qū)間-1，1上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，的值介于0到之間的概率為( ).A. B. C. D. 【解析】:在區(qū)間-1，1上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x,即時(shí), 區(qū)間長(zhǎng)度為1, 而的值介于0到之間的區(qū)間長(zhǎng)度為,所以概率為.故選C答案 C【命題立意】:本題考查了三角函數(shù)的值域和幾何概型問(wèn)題,由自變量x的取值范圍,得到函數(shù)值的范圍,再由長(zhǎng)度型幾何概型求得.5. 如右圖，某幾何體的正視圖與側(cè)視圖都是邊長(zhǎng)為1的正方形，

3、且體積為。則該集合體的俯視圖可以是答案: C6.紙制的正方體的六個(gè)面根據(jù)其方位分別標(biāo)記為上、下、東、南、西、北?，F(xiàn)有沿該正方體的一些棱將正方體剪開(kāi)、外面朝上展平，得到右側(cè)的平面圖形，則標(biāo)“”的面的方位是A. 南 B. 北 C. 西 D. 下解：展、折問(wèn)題。易判斷選B7.如圖，在半徑為3的球面上有三點(diǎn)， 球心到平面的距離是，則兩點(diǎn)的球面距離是A. B. C. D. 答案 B8若正方體的棱長(zhǎng)為，則以該正方體各個(gè)面的中心為頂點(diǎn)的凸多面體的體積為 A. B. C. D. 答案 C9，如圖，已知三棱錐的底面是直角三角形，直角邊長(zhǎng)分別為3和4，過(guò)直角頂點(diǎn)的側(cè)棱長(zhǎng)為4，且垂直于底面，該三棱錐的主視圖是（ ）

4、答案 B二、填空題10.圖是一個(gè)幾何體的三視圖，若它的體積是，則a=_答案 11.如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，若它的體積是，則_12若某幾何體的三視圖（單位：）如圖所示，則此幾何體的體積是 答案 18【解析】該幾何體是由二個(gè)長(zhǎng)方體組成，下面體積為，上面的長(zhǎng)方體體積為，因此其幾何體的體積為1813.設(shè)某幾何體的三視圖如下（尺寸的長(zhǎng)度單位為m）。 則該幾何體的體積為 答案 414. 直三棱柱的各頂點(diǎn)都在同一球面上，若,，則此球的表面積等于 。 解:在中,可得,由正弦定理,可得外接圓半徑r=2,設(shè)此圓圓心為，球心為，在中，易得球半徑，故此球的表面積為. 15正三棱柱內(nèi)接于半徑為的球，若兩點(diǎn)的球面距離為

5、，則正三棱柱的體積為 答案 816體積為的一個(gè)正方體，其全面積與球的表面積相等，則球的體積等于 答案 17如圖球O的半徑為2，圓是一小圓，A、B 是圓上兩點(diǎn)，若A，B兩點(diǎn)間的球面距離為，則= .答案 18.已知三個(gè)球的半徑，滿(mǎn)足，則它們的表面積，滿(mǎn)足的等量關(guān)系是_. 答案 19.若球O1、O2表示面積之比，則它們的半徑之比=_.答案 2三、解答題20（本小題滿(mǎn)分13分） 某高速公路收費(fèi)站入口處的安全標(biāo)識(shí)墩如圖4所示。墩的上半部分是正四棱錐，下半部分是長(zhǎng)方體。圖5、圖6分別是該標(biāo)識(shí)墩的正（主）視圖和俯視圖。（1）請(qǐng)畫(huà)出該安全標(biāo)識(shí)墩的側(cè)（左）視圖； （2）求該安全標(biāo)識(shí)墩的體積；（3）證明：直線(xiàn)平面

6、. 【解析】(1)側(cè)視圖同正視圖,如下圖所示.（）該安全標(biāo)識(shí)墩的體積為： （）如圖,連結(jié)EG,HF及 BD，EG與HF相交于O,連結(jié)PO. 由正四棱錐的性質(zhì)可知,平面EFGH , 又 平面PEG 又 平面PEG； 20052008年高考題一、選擇題1.(2008廣東）將正三棱柱截去三個(gè)角（如圖1所示分別是三邊的中點(diǎn)）得到幾何體如圖2，則該幾何體按圖2所示方向的側(cè)視圖（或稱(chēng)左視圖）為（ ）EFDIAHGBCEFDABC側(cè)視圖1圖2BEABEBBECBED答案 A2.（2008海南、寧夏理）某幾何體的一條棱長(zhǎng)為，在該幾何體的正視圖中，這條棱的投影是長(zhǎng)為的線(xiàn)段，在該幾何體的側(cè)視圖與俯視圖中，這條棱的

7、投影分別是長(zhǎng)為a和b的線(xiàn)段，則a+b的最大值為（ ）A B C D答案 C【解析】結(jié)合長(zhǎng)方體的對(duì)角線(xiàn)在三個(gè)面的投影來(lái)理解計(jì)算。如圖設(shè)長(zhǎng)方體的高寬高分別為，由題意得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)。3.（2008山東）下圖是一個(gè)幾何體的三視圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，可得該幾何體的表面積是A.9 B.10C.11 D12答案 D【解析】考查三視圖與幾何體的表面積。從三視圖可以看出該幾何體是由一個(gè)球和一個(gè)圓柱組合而成的，其表面及為3. (2007寧夏理8) 已知某個(gè)幾何體的三視圖如下，根據(jù)圖中標(biāo)出的尺寸（單位：cm），可得這個(gè)幾何體的體積是（ ）102010202020俯視圖側(cè)視圖正視圖 答案B4. （2007陜西

8、理6）一個(gè)正三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為1的球面上，其中底面的三個(gè)頂點(diǎn)在該球的一個(gè)大圓上，則該正三棱錐的體積是（ ）A B C D 答案B5.（2006安徽）表面積為 的正八面體的各個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則此球的體積為A B C D答案 A【解析】此正八面體是每個(gè)面的邊長(zhǎng)均為的正三角形，所以由知，則此球的直徑為，故選A。6.（2006福建）已知正方體外接球的體積是，那么正方體的棱長(zhǎng)等于（ ）A.2 B. C. D.答案 D【解析】正方體外接球的體積是，則外接球的半徑R=2，正方體的對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)為4，棱長(zhǎng)等于，選D.7.（ 2006湖南卷）過(guò)半徑為2的球O表面上一點(diǎn)A作球O的截面，若OA與該截面所

9、成的角是60則該截面的面積是 ( ) A B.2 C.3 D.答案 A【解析】過(guò)半徑為2的球O表面上一點(diǎn)A作球O的截面，若OA與該截面所成的角是60，則截面圓的半徑是R=1，該截面的面積是，選A.8.（2006山東卷）正方體的內(nèi)切球與其外接球的體積之比為 ( )A. 1 B. 13 C. 13 D. 19答案 C【解析】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，則它的內(nèi)切球的半徑為，它的外接球的半徑為，故所求的比為13，選C.9.（2005全國(guó)卷）一個(gè)與球心距離為1的平面截球所得的圓面面積為，則球的表面積為 ( )A. B. C. D.答案B10.（2005全國(guó)卷）如圖，在多面體ABCDEF中，已知ABCD是邊長(zhǎng)為

10、1的正方形，且均為正三角形，EFAB，EF=2，則該多面體的體積為 ( ) A. B.C. D.二、填空題11.（2008海南、寧夏理科）一個(gè)六棱柱的底面是正六邊 形，其側(cè)棱垂直底面已知該六棱柱的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，且該六棱柱的體積為，底面周長(zhǎng)為3，則這個(gè)球的體積為答案 【解析】令球的半徑為，六棱柱的底面邊長(zhǎng)為，高為，顯然有，且.12.（2008海南、寧夏文）一個(gè)六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直底面。已知該六棱柱的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，且該六棱柱的高為，底面周長(zhǎng)為3，那么這個(gè)球的體積為_(kāi)答案 【解析】正六邊形周長(zhǎng)為，得邊長(zhǎng)為，故其主對(duì)角線(xiàn)為，從而球的直徑 球的體積.13. （2007天津理

11、12）一個(gè)長(zhǎng)方體的各頂點(diǎn)均在同一球的球面上，且一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱的長(zhǎng)分別為1，2，3，則此球的表面積為答案 14.（2007全國(guó)理15）一個(gè)正四棱柱的各個(gè)頂點(diǎn)在一個(gè)直徑為2 cm的球面上。如果正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為1 cm，那么該棱柱的表面積為 cm2.答案 ABCPDEF15.（2006遼寧）如圖，半徑為2的半球內(nèi)有一內(nèi)接正六棱錐，則此正六棱錐的側(cè)面積是_答案 【解析】顯然正六棱錐的底面的外接圓是球的一個(gè)大圓，于是可求得底面邊長(zhǎng)為2，又正六棱錐的高依題意可得為2，依此可求得.第二部分 三年聯(lián)考匯編2009年聯(lián)考題一、 選擇題1.（2009棗莊市二模）一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的體

12、積等于（ ）ABC D 答案 D2.（2009天津重點(diǎn)學(xué)校二模） 如圖，直三棱柱的主視圖面積為2a2,則左視圖的面積為（ ） A2a2 Ba2 C D答案 C3. （2009青島二模）如下圖為長(zhǎng)方體木塊堆成的幾何體的三視圖，則組成此幾何體的長(zhǎng)方體木塊塊數(shù)共有( )A3塊 B4塊 C5塊 D6塊答案B正視圖側(cè)視圖俯視圖4. （2009臺(tái)州二模）如圖，一個(gè)空間幾何體的正視圖、側(cè)視圖都是面積為，且一個(gè)內(nèi)角為的菱形，俯視圖為正方形，那么這個(gè)幾何體的表面積為（ ）A. B.C . 4 D. 8答案 C5. （2009寧德二模）右圖是一個(gè)多面體的三視圖，則其全面積為( ) A B C Dr答案 C6. （

13、2009天津河西區(qū)二模）如圖所示，一個(gè)空間幾何體的正 視圖和側(cè)視圖都是底為1，高為2的矩形，俯視圖是一個(gè)圓，那么這個(gè)幾何體的表面積為( )AZ BC D答案B7. （2009湛江一模）用單位立方塊搭一個(gè)幾何體，使它的主視圖和俯視圖如右俯視圖主視圖圖所示，則它的體積的最小值與最大值分別為( )A與 B與 C與 D與答案 C8. （2009廈門(mén)大同中學(xué)）如果一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示(單位長(zhǎng)度: cm), 則此幾何體的表面積是( )2俯視圖主視圖左視圖212 A. B.21 cm C. D. 24 cm 答案 A9.（撫州一中2009屆高三第四次同步考試）下圖是一個(gè)幾何體的三視圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，可

14、得幾何體的表面積是( ) A.22 B.12 C.424 D.432答案 D二、填空題10.（遼寧省撫順一中2009屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次月考）棱長(zhǎng)為2的正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，若過(guò)該球球心的一個(gè)截面如圖，則圖中三角形(正四面體的截面)的面積是 .答案 11.（2009南京一模）如圖，在正三棱柱中，D為棱的中點(diǎn)，若截面是面積為6的直角三角形，則此三棱柱的體積為 .答案 12.（2009廣州一模）一個(gè)幾何體的三視圖及其尺寸(單位：cm)如圖所示，則該幾何體的側(cè)面積為_(kāi)cm2. 俯視圖正(主)視圖 8 5 5 8側(cè)(左)視圖 8 5 5答案 8013.(2009珠海二模)一個(gè)五面體的三

15、視圖如下，正視圖與側(cè)視圖是等腰直角三角形，俯視圖為直角梯形，部分邊長(zhǎng)如圖所示，則此五面體的體積為_(kāi) 答案 29月份更新一、選擇題1.（2009濱州一模）設(shè)、是兩個(gè)不同的平面，為兩條不同的直線(xiàn)，命題p：若平面，則；命題q：，則，則下列命題為真命題的是 （ ）Ap或qBp且qCp或qDp且q答案C2.（2009聊城一模）某個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是（ ）ABCD答案B3.（2009臨沂一模）一個(gè)幾何體的三視圖及長(zhǎng)度數(shù)據(jù)如圖， 則該幾何體的表面積與體積分別為A、 B、 C、 D、答案C4.（2009青島一模）如右圖，一個(gè)簡(jiǎn)單空間幾何體的三視圖其主視圖與左視圖都是邊長(zhǎng)為的正三角形,其

16、俯視圖輪廓為正方形，則其體積是A B. C D. 答案C俯視圖正(主)視圖側(cè)(左)視圖23225.（2009上海閘北區(qū)）右圖是一個(gè)幾何體的三視圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，可得該幾何體的表面積是（ ）A BC D答案C6.（2009泰安一模）一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的 體積等于 (A) 4 (B) 6 (C) 8 (D)12答案A7.（2009棗莊一模）一個(gè)幾何體的三視圖如右圖所示，則該幾何體外接球的表面積為（ ）ABCD以上都不對(duì)答案C二、填空題理第11題1.（2009上海八校聯(lián)考）已知一個(gè)球的球心到過(guò)球面上A、B、C三點(diǎn)的截面的距離等于此球半徑的一半，若，則球的體積為_(kāi)。答案 2.（2

17、009上海青浦區(qū)）如圖，用一平面去截球所得截面的面積為cm2，已知球心到該截面的距離為1 cm，則該球的體積是 cm3.答案 AOCB第19題圖三、解答題1.（2009上海普陀區(qū)）已知復(fù)數(shù)，（是虛數(shù)單位），且.當(dāng)實(shí)數(shù)時(shí)，試用列舉法表示滿(mǎn)足條件的的取值集合.解：如圖，設(shè)中點(diǎn)為，聯(lián)結(jié)、.由題意，,所以為等邊三角形，故，且.AOCB第19題圖D又，所以.而圓錐體的底面圓面積為,所以圓錐體體積.2.（2009上海奉賢區(qū)模擬考）在直三棱柱ABC-A1B1C1中,ABC=90, AB=BC=1. (1)求異面直線(xiàn)B1C1與AC所成角的大??；(2)若直線(xiàn)A1C與平面ABC所成角為45, 求三棱錐A1-ABC

18、的體積. （1）因?yàn)?，所以BCA（或其補(bǔ)角）即為異面直線(xiàn)與所成角 -(3分)ABC=90, AB=BC=1，所以， -(2分)即異面直線(xiàn)與所成角大小為。 -(1分)（2）直三棱柱ABC-A1B1C1中，所以即為直線(xiàn)A1C與平面ABC所成角，所以。 -(2分)中，AB=BC=1得到，中，得到， -(2分)所以 -(2分)3.（2009冠龍高級(jí)中學(xué)3月月考）在棱長(zhǎng)為2的正方體中，（如圖）ABCDA1B1C1FED1是棱的中點(diǎn)，是側(cè)面的中心（1） 求三棱錐的體積；求與底面所成的角的大?。ńY(jié)果用反三角函數(shù)表示）（1） （2）取的中點(diǎn)，所求的角的大小等于的大小， 中，所以與底面所成的角的大小是4. (2009閘北區(qū)) 如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，為的中點(diǎn)（）求四棱錐的體積；（）求異面直線(xiàn)OB與MD所成角的大小解：（）由已知可求得，正方形的面積，2分所以，求棱錐的體積 4分（）方法一（綜合法）設(shè)線(xiàn)段的中點(diǎn)為，連接，則為異面直線(xiàn)OC與所成的角（或其補(bǔ)角） .1分由已知，可得，為直角三角形