不定積分的概念與性質(zhì)

1、4.1 不定積分的概念與性質(zhì),一、原函數(shù)與不定積分的概念,二、基本積分表,三、不定積分的性質(zhì),一、原函數(shù)與不定積分的概念,原函數(shù)的概念 如果在區(qū)間I上, 可導(dǎo)函數(shù)F(x)的導(dǎo)函數(shù)為f(x), 即對任一xI, 都有 F (x)f(x)或dF(x)f(x)dx, 那么函數(shù)F(x)就稱為f(x)(或f(x)dx)在區(qū)間I上的原函數(shù).,原函數(shù)舉例,所以sin x是cos x的原函數(shù).,因?yàn)?sin x)cos x ,提問：,原函數(shù)存在定理,如果函數(shù)f(x)在區(qū)間I上連續(xù), 那么在區(qū)間I上存在可導(dǎo)函數(shù)F(x), 使對任一xI 都有 F (x)f(x). 簡單地說就是: 連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù).,兩點(diǎn)說明：

2、 1. 如果函數(shù)f(x)在區(qū)間I上有原函數(shù)F(x), 那么f(x)就有無限多個原函數(shù), F(x)C都是f(x)的原函數(shù), 其中C是任意常數(shù). 2. 函數(shù) f(x)的任意兩個原函數(shù)之間只差一個常數(shù), 即如果(x)和F(x)都是f(x)的原函數(shù), 則 (x)F(x)C (C為某個常數(shù)).,不定積分中各部分的名稱： - 稱為積分號, f(x) - 稱為被積函數(shù), f(x)dx - 稱為被積表達(dá)式, x - 稱為積分變量.,不定積分的概念,在區(qū)間I上, 函數(shù)f(x)的帶有任意常數(shù)項(xiàng)的原函數(shù)稱為f(x)(或f(x)dx )在區(qū)間I上的不定積分, 記作,根據(jù)定義, 如果F(x)是f(x)在區(qū)間I上的一個原

3、函數(shù), 那么F(x)C就是f(x)的不定積分, 即,在區(qū)間I上, 函數(shù)f(x)的帶有任意常數(shù)項(xiàng)的原函數(shù)稱為f(x)(或f(x)dx )在區(qū)間I上的不定積分, 記作,不定積分的概念,例1,因?yàn)閟in x 是cos x 的原函數(shù), 所以,如果F(x)是f(x)的一個原函數(shù), 則,合并上面兩式, 得到,解,如果F(x)是f(x)的一個原函數(shù), 則,因?yàn)?例3一曲線通過點(diǎn)(e2, 3), 且在任一點(diǎn)處的切線的斜率等于該點(diǎn)橫坐標(biāo)的倒數(shù), 求該曲線的方程. 解 設(shè)所求的曲線方程為yf(x), 則曲線上任一點(diǎn)(x, y)處的切線斜率為 , 即f(x)是 的一個原函數(shù).,故必有某個常數(shù)C使f(x) C, 即曲

4、線方程為y C. 因所求曲線通過點(diǎn)(e2, 3), 故 3=f(e 2)=ln|e 2|C=2C , C=3-2=1 . 于是所求曲線方程為y=ln|x|1 .,函數(shù)f(x)的積分曲線也有無限多. 函數(shù)f(x)的不定積分表示f(x)的一簇積分曲線，而f(x)正是積分曲線的斜率.,積分曲線 函數(shù)f(x)的原函數(shù)的圖形稱為f(x)的積分曲線.,2x的積分曲線,微分與積分的關(guān)系 從不定積分的定義可知,又由于F(x)是F (x)的原函數(shù), 所以,由此可見, 如果不計任意常數(shù), 則微分運(yùn)算與求不定積分的運(yùn)算是互逆的.,二、基本積分表,例5,例4,例6,三、不定積分的性質(zhì),這是因?yàn)? f(x)g(x).,性質(zhì)1,下頁,三、不定積分的性質(zhì),性質(zhì)1,性質(zhì)2,例7,例8,例10,三、不定積分的性質(zhì),性質(zhì)1,性質(zhì)2,例9,例11,例12,例13,tan x