高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)形成性考核冊及答案

1、高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)第一次作業(yè)第1章 函數(shù)第2章 極限與連續(xù)（一）單項(xiàng)選擇題 下列各函數(shù)對(duì)中，（ C ）中的兩個(gè)函數(shù)相等 A. ， B. ， C. ， D. ， 設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)的圖形關(guān)于（C）對(duì)稱 A. 坐標(biāo)原點(diǎn) B. 軸 C. 軸 D. 下列函數(shù)中為奇函數(shù)是（ B ） A. B. C. D. 下列函數(shù)中為基本初等函數(shù)是（C） A. B. C. D. 下列極限存計(jì)算不正確的是（ D ） A. B. C. D. 當(dāng)時(shí)，變量（ C ）是無窮小量 A. B. C. D. 若函數(shù)在點(diǎn)滿足（ A ），則在點(diǎn)連續(xù)。 A. B. 在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義 C. D. （二）填空題 函數(shù)的定義域是（3， +)

2、 已知函數(shù)，則 x2 - x e1/ 2 若函數(shù)，在處連續(xù)，則 e 函數(shù)的間斷點(diǎn)是x=0 若，則當(dāng)時(shí)，稱為 無窮小量 （三）計(jì)算題 設(shè)函數(shù) 求：解：f(-2) = - 2，f(0) = 0， f(1) = e 求函數(shù)的定義域 解：由解得x1/2，函數(shù)定義域?yàn)?-，0)(1/2，+) 在半徑為的半圓內(nèi)內(nèi)接一梯形，梯形的一個(gè)底邊與半圓的直徑重合，另一底邊的兩個(gè)端點(diǎn)在半圓上，試將梯形的面積表示成其高的函數(shù) 解：如圖梯形面積A=(R+b)h，其中求 求求求 求求 設(shè)函數(shù)討論的連續(xù)性，并寫出其連續(xù)區(qū)間解： 函數(shù)在x=1處連續(xù)不存在，函數(shù)在x=-1處不連續(xù)高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)第二次作業(yè)第3章 導(dǎo)數(shù)與微分（一）單項(xiàng)

3、選擇題 設(shè)且極限存在，則（ B ） A. B. C. D. 設(shè)在可導(dǎo)，則（D） A. B. C. D. 設(shè)，則（A） A. B. C. D. 設(shè)，則（D） A. B. C. D. 下列結(jié)論中正確的是（ C ） A. 若在點(diǎn)有極限，則在點(diǎn)可導(dǎo)B. 若在點(diǎn)連續(xù)，則在點(diǎn)可導(dǎo) C. 若在點(diǎn)可導(dǎo)，則在點(diǎn)有極限 D. 若在點(diǎn)有極限，則在點(diǎn)連續(xù) （二）填空題 設(shè)函數(shù)，則0 設(shè)，則 (2/x)lnx+5/x 曲線在處的切線斜率是1/2 曲線在處的切線方程是y=1 設(shè)，則2x2x(lnx+1) 設(shè)，則 1/x （三）計(jì)算題 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： y=(x3/2+3)ex，y=3/2x1/2ex+(x3/2+3)e

4、x=(3/2x1/2+x3/2+3)ex y=-csc2x + 2xlnx +x y=(2xlnx-x)/ln2x y=(-sinx+2xln2)x3-3x2(cosx+2x)/x6= y=4x3-cosxlnx-sinx/x y=(cosx+2x)3x-(sinx+x2)3xln3/32x=cosx+2x-(sinx+x2)ln3/3x y=extanx+exsec2x+1/x = ex(tanx+sec2x)+1/x求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： y=x7/8 y=(7/8)x -1/8 y=nsinn-1xcosxcosnx - nsinnxsin nx在下列方程中，是由方程確定的函數(shù)，求： 方程對(duì)

5、x求導(dǎo)：ycosx-ysinx=2 ye2yy=ysinx / (cosx-2e2y) 方程對(duì)x求導(dǎo)：y = y (-siny)lnx +(1/x)cosyy=(1/x)cosy / (1+sinylnx) 方程對(duì)x求導(dǎo)：2siny + y2xcosy=(2xy-x2 y)/y2y=2(xy y2siny) /(x2+2xy2cosy) 方程對(duì)x求導(dǎo)：y=1+ y/y， y=y /(y-1) 方程對(duì)x求導(dǎo)：1/x+ yey=2y y， y=1/x(2y-ey) 方程對(duì)x求導(dǎo)：2y y=exsiny + y excosyy= exsiny/(2y- excosy) 方程對(duì)x求導(dǎo)：yey =ex

6、-3y2 y， y=ex/ey+3y2 方程對(duì)x求導(dǎo)：y=5xln5 + y2yln2， y=5xln5 /(1-2yln2)求下列函數(shù)的微分： 求下列函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)：（四）證明題 設(shè)是可導(dǎo)的奇函數(shù)，試證是偶函數(shù)證明：由 f(x)= - f(-x) 求導(dǎo)f(x)= - f(-x)(-x)f(x)= f(-x)， f(x)是偶函數(shù)高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)第三次作業(yè)第4章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用（一）單項(xiàng)選擇題 若函數(shù)滿足條件（D），則存在，使得 A. 在內(nèi)連續(xù)B. 在內(nèi)可導(dǎo) C. 在內(nèi)連續(xù)且可導(dǎo)D. 在內(nèi)連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo) 函數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間是（D） A. B. C. D. 函數(shù)在區(qū)間內(nèi)滿足（A） A. 先單調(diào)下降再單調(diào)上

7、升 B. 單調(diào)下降 C. 先單調(diào)上升再單調(diào)下降 D. 單調(diào)上升 函數(shù)滿足的點(diǎn)，一定是的（C） A. 間斷點(diǎn) B. 極值點(diǎn) C. 駐點(diǎn) D. 拐點(diǎn)設(shè)在內(nèi)有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，若滿足（C ），則在取到極小值 A. B. C. D. 設(shè)在內(nèi)有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，且，則在此區(qū)間內(nèi)是（A） A. 單調(diào)減少且是凸的 B. 單調(diào)減少且是凹的 C. 單調(diào)增加且是凸的 D. 單調(diào)增加且是凹的 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處取得極大值，則（ ） A. B. C. D. （二）填空題 設(shè)在內(nèi)可導(dǎo)，且當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，則是的 極小值 點(diǎn) 若函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)，且是的極值點(diǎn)，則 0 函數(shù)的單調(diào)減少區(qū)間是(-，0) 函數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間是(0，+) 若函數(shù)在內(nèi)

8、恒有，則在上的最大值是 f(a) 函數(shù)的拐點(diǎn)是 x=0 若點(diǎn)是函數(shù)的拐點(diǎn)，則 ， （三）計(jì)算題 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值 解：y=(x-5)2+2(x+1)(x-5)=3(x-1)(x-5)由y=0求得駐點(diǎn)x=1，5.列表 x(-，1)1(1，5)5(5，+)y+0 0+y Ymax=32Ymin=0(-，1)和 (5，+)為單調(diào)增區(qū)間， (1，5)為單調(diào)減區(qū)間，極值為Ymax=32，Ymin=0。 求函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的極值點(diǎn)，并求最大值和最小值解：y=2x-2，駐點(diǎn)x=1是極小值點(diǎn)，在區(qū)間0，3上最大值為y(3)=6，最小值為y(1)=2。x0(0，1)1(1，3)3y-0+y326 試確定函數(shù)中

9、的，使函數(shù)圖形過點(diǎn)和點(diǎn)，且是駐點(diǎn)，是拐點(diǎn) 求曲線上的點(diǎn)，使其到點(diǎn)的距離最短解：曲線y2=2x上的點(diǎn)(x，y)到點(diǎn)A(2，0)的距離 d 2=x2-2x+4，(d 2)=2x-2，由(d 2)=0求得x=1，由此得所求點(diǎn)有兩個(gè)：圓柱體上底的中心到下底的邊沿的距離為，問當(dāng)?shù)装霃脚c高分別為多少時(shí)，圓柱體的體積最大？解 右圖為圓柱體的截面，由圖可得R2=L2-H2圓柱體的體積V=R2H=(L2-H2)HV=(L2-3H2)，由V=0解得，此時(shí)，圓柱體的體積最大。一體積為V的圓柱體，問底半徑與高各為多少時(shí)表面積最??？ 解：圓柱體的表面積S=2R2+2RH由體積V=R2H解得H=V/R2 S=2R2+2V

10、/ RS=4R - 2V/ R2=2(2R3 - V) / R2由S=0解得，此時(shí)答：當(dāng)高與底面直徑相等時(shí)圓柱體表面積最小。欲做一個(gè)底為正方形，容積為62.5立方米的長方體開口容器，怎樣做法用料最省？解：設(shè)長方體底面邊長為a高為h表面積S=a 2+4aha 2h =62.5，h =62.5/ a 2S=a 2+250/a， S=2a - 250/a 2=(2a 3 250)/a 2，由S=0解得a =5m，h =2.5m，此時(shí)S=75m2最小，即用料最省。從面積為的所有矩形中，求其周長最小者從周長為的所有矩形中，求其面積最大者（四）證明題當(dāng)時(shí)，證明不等式證明：令f(x)=x-ln(1+x)，

11、f(x)=1-1/ (1+x)=x/ (1+x)當(dāng)x0時(shí)有f(x)0，f(x)為增函數(shù)，又f(0)=0當(dāng)x0時(shí)f (x)0，即xln(1+x)當(dāng)時(shí)，證明不等式證明：令f(x)=ex/ (x+1)，f(x)= ex(x+1)- ex/ (x+1)2=x ex/ (x+1)2當(dāng)x0時(shí)有f(x)0，f(x)為增函數(shù)，又f(0)=1當(dāng)x0時(shí)f (x)1，即exx+1高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)第四次作業(yè)第5章 不定積分第6章 定積分及其應(yīng)用（一）單項(xiàng)選擇題 若的一個(gè)原函數(shù)是，則（D） A. B. C. D. 下列等式成立的是（D） A. B. C. D. 若，則（B） A. B. C. D. （D） A. B. C. D. 若，則（B） A. B. C. D. 由區(qū)間上的兩條光滑曲線和以及兩條直線和所圍成的平面區(qū)域的面積是（ ） A. B. C. D. 下列無窮限積分收斂的是（D） A. B