偶圖的算法及應(yīng)用.ppt

1、A,1,偶圖的算法及應(yīng)用,南京師范大學(xué)附屬中學(xué) 孫方成,A,2,目錄,匹配的概念 偶圖的定義和判定 偶圖的最大匹配 偶圖的最小覆蓋問(wèn)題 偶圖的最佳匹配問(wèn)題 小結(jié),A,3,匹配的概念(1),A,4,匹配的概念(2),A,5,偶圖的定義,A,6,偶圖的判定,A,7,偶圖的最大匹配,Edmonds于1965年提出了解決偶圖的最大匹配的匈牙利算法：,A,8,偶圖的最小覆蓋問(wèn)題,一般圖的最小覆蓋問(wèn)題是一個(gè)已被證明的NPC問(wèn)題。換一句話說(shuō)，一般圖的最小覆蓋問(wèn)題，是沒(méi)有有效算法的圖論模型。所以，將一個(gè)實(shí)際問(wèn)題抽象成最小覆蓋問(wèn)題，是沒(méi)有任何意義和價(jià)值的。 但是，如果問(wèn)題可以抽象成偶圖的最小覆蓋問(wèn)題，結(jié)局就不一

2、樣了。由于偶圖的特殊性，偶圖的最小覆蓋問(wèn)題存在多項(xiàng)式算法。,A,9,最大匹配與最小覆蓋的關(guān)系,在證明這個(gè)定理的過(guò)程中，要用到Hall婚姻定理：,1931年Knig給出最大匹配與最小覆蓋的關(guān)系定理如下：,A,10,偶圖的最佳匹配問(wèn)題,由于引入了權(quán)，所以最佳匹配不能直接套用最大匹配算法進(jìn)行求解。同時(shí)，由于對(duì)最佳匹配的定義是建立在完全加權(quán)偶圖的基礎(chǔ)上的，對(duì)于不完全圖，可以通過(guò)引入權(quán)為0（或是其他不影響最終結(jié)果的值），使得偶圖稱為完全偶圖，從而使用最佳匹配算法來(lái)解決。,A,11,KM算法前的準(zhǔn)備,在介紹求最佳匹配的KM算法前，首先介紹一些相關(guān)的概念：,可以證明，Gl的完備匹配即為G的最佳匹配。,以此為

3、基礎(chǔ)，1955年Kuhn，1957年Munkres給出修改頂標(biāo)的方法，使新的相等子圖的最大匹配逐漸擴(kuò)大，最后出現(xiàn)相等子圖的完備匹配。 這就是KM算法。,A,12,KM算法,A,13,一個(gè)例題,某公司有工作人員x1,x2,xn ，他們?nèi)プ龉ぷ鱵1,y2,yn ，每個(gè)人都能做其中的幾項(xiàng)工作，并且對(duì)每一項(xiàng)工作都有一個(gè)固定的效率。問(wèn)能否找到一種合適的工作分配方案，使得總的效率最高。要求一個(gè)人只能參與一項(xiàng)工作，同時(shí)一項(xiàng)工作也必須由一個(gè)人獨(dú)立完成。不要求所有的人都有工作。,A,14,一個(gè)實(shí)例,若工人x完全不能參與工作y，則w(x,y)=0,A,15,流程(1),首先，選取可行頂標(biāo)l(v)如下：,構(gòu)造Gl，

4、并求其最大匹配：（其流程過(guò)長(zhǎng)，此處略）,A,16,流程(2),其最終得到的最大匹配如圖所示：,圖中粗點(diǎn)劃線構(gòu)成最大匹配。,A,17,流程(3),Gl中無(wú)完備匹配，故修改頂標(biāo)。,A,18,流程(4),根據(jù)新的頂標(biāo)構(gòu)造Gl ，并求其上的一個(gè)完全匹配如圖所示：,圖中粗點(diǎn)劃線給出了一個(gè)最佳匹配，其最大權(quán)為4241314。題目完成。,A,19,小結(jié),偶圖是一種特殊的圖，所以它不但具備了信息量豐富這個(gè)圖模型共有的優(yōu)點(diǎn)，同時(shí)它也具備了大量一般圖所不具備的內(nèi)涵和算法優(yōu)勢(shì)。 偶圖的結(jié)點(diǎn)分成兩個(gè)部分，這就是它和自然界、數(shù)學(xué)界的對(duì)應(yīng)關(guān)系，或者說(shuō)匹配關(guān)系有著深刻的聯(lián)系。因此，匹配的算法是所有偶圖算法的核心。 如果能將實(shí)際問(wèn)題，通過(guò)合理的抽象，變成兩種事物之間的矛盾，則這種問(wèn)題就可以抽象成偶圖的模型。所以，偶圖的模型有著廣泛的應(yīng)用。同時(shí)，偶圖的算法有著高效實(shí)用的特點(diǎn)，所以也使通過(guò)偶圖模型解決問(wèn)題成為可能。 綜上所述，我認(rèn)為