第三章 應(yīng)變理論

1、第三章 應(yīng)變理論 Theory of Strains,應(yīng)變理論,Chapter 4,位移和應(yīng)變 剛體轉(zhuǎn)動(dòng) 應(yīng)變協(xié)調(diào)方程 位移場(chǎng)的單值條件 由應(yīng)變求位移 正交曲線(xiàn)坐標(biāo)系中的幾何方程 例題和作業(yè),Chapter 4.1,位移,位移和應(yīng)變,Chapter 4.1,位移的描述 剛體位移：整個(gè)物體在空間做剛體運(yùn)動(dòng)引起的，包括平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)。,變形：物體形狀變化引起的位移，位移發(fā)生時(shí)不僅改變物體的絕對(duì)位置，而且改變了物體內(nèi)部各個(gè)點(diǎn)的相對(duì)位置。 一般來(lái)說(shuō)，剛體位移和變形是同時(shí)出現(xiàn)的。,位移和應(yīng)變,Chapter 4.1,位移,位移和應(yīng)變,Chapter 4.1,位移,分量形式：,或,位移和應(yīng)變,Chapter

2、4.1,單軸應(yīng)變,F,位移和應(yīng)變,Chapter 4.1,單軸應(yīng)變,微元的長(zhǎng)度變化：,Taylor 級(jí)數(shù)展開(kāi)：,位移和應(yīng)變,Chapter 4.1,單軸應(yīng)變,略去高階項(xiàng)：,單軸應(yīng)變（工程應(yīng)變）定義為：,位移和應(yīng)變,應(yīng)變分量 平行六面體(稱(chēng)為微元體),Chapter 4.1,位移和應(yīng)變,應(yīng)變分量,Chapter 4.1,位移和應(yīng)變,Chapter 4.1,位移和應(yīng)變,Chapter 4.1,正應(yīng)變(相對(duì)伸長(zhǎng)度),位移和應(yīng)變,Chapter 4.1,切應(yīng)變(剪應(yīng)變),位移和應(yīng)變,Chapter 4.1,工程剪應(yīng)變,位移和應(yīng)變,u,y,x,位移和應(yīng)變,由于位移是坐標(biāo)值的連續(xù)函數(shù)，所以P點(diǎn)在x及y軸上

3、的位移分量為u，v，則A點(diǎn)及B點(diǎn)的位移分量為,Chapter 4.1,A:,B:,A:,B:,位移和應(yīng)變,按照多元函數(shù)Taylor級(jí)數(shù)展開(kāi)，并利用小變形假設(shè)而略去二階以上的無(wú)窮小量，則得A點(diǎn)及B點(diǎn)的位移分量為,Chapter 4.1,位移和應(yīng)變,Chapter 4.1,u,適用條件 ？,位移和應(yīng)變,Chapter 4.1,位移和應(yīng)變,小應(yīng)變情況下，應(yīng)變和位移的關(guān)系：,Chapter 4.1,幾何方程,位移和應(yīng)變,小應(yīng)變情況下，應(yīng)變和位移的關(guān)系：,Chapter 4.1,幾何方程,位移和應(yīng)變,指標(biāo)形式為:,小應(yīng)變情況下，工程應(yīng)變和位移的關(guān)系：,Chapter 4.1,幾何方程,位移和應(yīng)變,Cha

4、pter 4.2,位移和應(yīng)變,小應(yīng)變張量 e 的幾何意義是：,當(dāng)指標(biāo)i=j 時(shí)， 表示沿坐標(biāo)軸i方向的線(xiàn)元工程正應(yīng)變，以伸長(zhǎng)為正，縮短為負(fù)；,當(dāng)指標(biāo)(ij)時(shí)， 的兩倍表示坐標(biāo)軸 i 與 j 方向兩個(gè)正交線(xiàn)元間的工程剪應(yīng)變。以銳化（直角減?。檎?，鈍化（直角增加）為負(fù)。,Chapter 4.2,新老坐標(biāo)中的應(yīng)變張量分量 與 滿(mǎn)足轉(zhuǎn)軸公式 由此可根據(jù)應(yīng)變分量 ij 求出任意方向的正應(yīng)變和剪應(yīng)變。因而小應(yīng)變張量完全表征了一點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)。,位移和應(yīng)變,應(yīng)變張量在每點(diǎn)存在三個(gè)相互正交的主方向 設(shè) v 為主方向的單位矢量，則按張量主方向的定義有 標(biāo)量 稱(chēng)為應(yīng)變張量的主值，即沿主方向 v 的主應(yīng)變。 與主

5、應(yīng)力類(lèi)似，主應(yīng)變也具有實(shí)數(shù)性，正交性和極值性。,Chapter 4.2,位移和應(yīng)變,Chapter 4.2,存在第一、第二和第三應(yīng)變不變量,系數(shù)行列式為零,其中： 分別稱(chēng)為第一、第二和第三應(yīng)變不變量。,位移和應(yīng)變,Chapter 4.2,應(yīng)變主軸沿每點(diǎn)應(yīng)變主方向的坐標(biāo)線(xiàn) 由應(yīng)變主軸組成的正交曲線(xiàn)坐標(biāo)系稱(chēng)為主應(yīng)變坐標(biāo)系。 最大工程剪應(yīng)變發(fā)生在主平面內(nèi)，其值為最大與最小主應(yīng)變之差。 等傾線(xiàn)元正應(yīng)變（又稱(chēng)八面體正應(yīng)變）等于平均正應(yīng)變0 。,位移和應(yīng)變,Chapter 4.2,八面體剪應(yīng)變是等傾面法線(xiàn)與等傾面上任意線(xiàn)元間之剪應(yīng)變的最大值。,位移和應(yīng)變,Chapter 4.2,應(yīng)變張量可分解為應(yīng)變球量和

6、應(yīng)變偏量之和,即,稱(chēng)為球形應(yīng)變張量，0 為平均正應(yīng)變。,位移和應(yīng)變,Chapter 4.2,將0ij代入上述兩式可得 因此應(yīng)變球量表示等向體積膨脹或收縮，它不產(chǎn)生形狀畸變。,位移和應(yīng)變,Chapter 4.2,稱(chēng)為應(yīng)變偏量。,即應(yīng)變偏量不產(chǎn)生體積變化，僅表示形狀畸變。,位移和應(yīng)變,Chapter 4.2,位移和應(yīng)變,Chapter 4.2,于是可得,位移和應(yīng)變,Chapter 4.2,純變形,位移和應(yīng)變,Chapter 4.2,常正應(yīng)變狀態(tài)是純變形的一例,位移和應(yīng)變,Chapter 4.2,均勻變形狀態(tài),位移和應(yīng)變,Chapter 4.2,直線(xiàn)在變形后仍為直線(xiàn)； 相同方向的直線(xiàn)以同樣比例伸縮；

7、 互相平行的直線(xiàn)變形后仍平行； 平面在變形后仍為平面； 平行平面變形后仍平行； 球面變形后成為橢球面。,位移和應(yīng)變,應(yīng)變理論,Chapter 4,位移和應(yīng)變 剛體轉(zhuǎn)動(dòng) 應(yīng)變協(xié)調(diào)方程 位移場(chǎng)的單值條件 由應(yīng)變求位移 正交曲線(xiàn)坐標(biāo)系中的幾何方程 例題和作業(yè),Chapter 4.3,剛體轉(zhuǎn)動(dòng),Chapter 4.3,由商判則可知，位移梯度u為一個(gè)二階張量。,剛體轉(zhuǎn)動(dòng),Chapter 4.3,將u分解成對(duì)稱(chēng)張量與反對(duì)稱(chēng)張量之和 對(duì)稱(chēng)部分即為小應(yīng)變張量 ，定義反對(duì)稱(chēng)部分為, 稱(chēng)為轉(zhuǎn)動(dòng)張量,剛體轉(zhuǎn)動(dòng),Chapter 4.3,代入,剛體轉(zhuǎn)動(dòng),Chapter 4.3,由反對(duì)稱(chēng)張量的性質(zhì)可知： 反對(duì)稱(chēng)張量只有三

8、個(gè)獨(dú)立分量12, 23和31,剛體轉(zhuǎn)動(dòng),Chapter 4.3,轉(zhuǎn)動(dòng)矢量, 稱(chēng)為張量 的反偶矢量,剛體轉(zhuǎn)動(dòng),Chapter 4.3,指標(biāo)形式為：,(b),剛體轉(zhuǎn)動(dòng),Chapter 4.3,剛體轉(zhuǎn)動(dòng),Chapter 4.3,圖3-8,剛體轉(zhuǎn)動(dòng),Chapter 4.3,剛體轉(zhuǎn)動(dòng),Chapter 4.3,對(duì)變形體來(lái)說(shuō)，轉(zhuǎn)動(dòng)矢量 和轉(zhuǎn)動(dòng)張量 都是隨點(diǎn)而異的。若考慮整個(gè)物體作剛體轉(zhuǎn)動(dòng)（0， =常數(shù)）的情況，則 這就是理論力學(xué)中熟知的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)公式：,剛體轉(zhuǎn)動(dòng),Chapter 4.3,小應(yīng)變假設(shè)：,所以線(xiàn)性彈性理論僅適用于應(yīng)變和轉(zhuǎn)動(dòng)都很小的情況。,剛體轉(zhuǎn)動(dòng),應(yīng)變理論,Chapter 4,位移和應(yīng)變 剛體轉(zhuǎn)動(dòng)

9、 應(yīng)變協(xié)調(diào)方程 位移場(chǎng)的單值條件 由應(yīng)變求位移 正交曲線(xiàn)坐標(biāo)系中的幾何方程 例題和作業(yè),小應(yīng)變情況下的幾何方程：,Chapter 4.4,應(yīng)變協(xié)調(diào)方程,任意給定應(yīng)變分量后，不一定能由上述方程積分求出位移，所以需要補(bǔ)充方程才能使原問(wèn)題有解。,對(duì)于連續(xù)體，相鄰微單元之間的變形必須互相協(xié)調(diào)。即必須滿(mǎn)足某些條件變形的連續(xù)條件。,應(yīng)變協(xié)調(diào)方程,Chapter 4.4,在 xy 平面內(nèi)各應(yīng)分量之間的關(guān)系,兩式相加后，得,Chapter 4.4,同理可以找出另外兩平面內(nèi)應(yīng)變分量間的關(guān)系式,應(yīng)變協(xié)調(diào)方程,Chapter 4.4,綜合起來(lái)可得以下方程：,應(yīng)變協(xié)調(diào)方程,Chapter 4.4,不同平面內(nèi)的應(yīng)變分量

10、也存在一定的關(guān)系,于是下面推導(dǎo)不同平面內(nèi)的應(yīng)變分量之間的關(guān)系,應(yīng)變協(xié)調(diào)方程,Chapter 4.4,同理，可以求出另外兩個(gè)關(guān)系式：,應(yīng)變協(xié)調(diào)方程,Chapter 4.4,共得到六個(gè)應(yīng)變協(xié)調(diào)方程：,應(yīng)變協(xié)調(diào)方程,Chapter 4.4,應(yīng)變協(xié)調(diào)方程是單連通域小變形位移連續(xù)的充分必要條件，這樣的六個(gè)應(yīng)變分量將不能任意給定，他們必須滿(mǎn)足以上六個(gè)約束方程。 以上六式不是完全獨(dú)立的，它們只相當(dāng)于三個(gè)獨(dú)立的方程。,應(yīng)變協(xié)調(diào)方程,應(yīng)變協(xié)調(diào)方程的另外一種推導(dǎo)方法 小應(yīng)變張量ij的二階偏導(dǎo)數(shù)為,Chapter 4.4,指標(biāo)符號(hào)互換：,應(yīng)變協(xié)調(diào)方程,同樣經(jīng)過(guò)指標(biāo)對(duì)換可以得到,Chapter 4.4,應(yīng)變協(xié)調(diào)方程,

11、當(dāng)位移場(chǎng)單值連續(xù)，并存在三階以上連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，根據(jù)偏導(dǎo)數(shù)與求導(dǎo)順序無(wú)關(guān)，可得,應(yīng)變協(xié)調(diào)方程：,Chapter 4.4,應(yīng)變協(xié)調(diào)方程,由于在推導(dǎo)中只用了連續(xù)函數(shù)的求導(dǎo)順序無(wú)關(guān)性，所以上式的本質(zhì)是變形連續(xù)條件，常稱(chēng)應(yīng)變協(xié)調(diào)方程。當(dāng)應(yīng)變分量不是任意指定，而是根據(jù)幾何方程由單值連續(xù)的位移場(chǎng)確定時(shí)，上式是各應(yīng)變分量二階偏導(dǎo)數(shù)間的恒等式，故又稱(chēng)為圣維南(Saint-Venant)恒等式。在數(shù)學(xué)上，上式是能由幾何方程積分出單值連續(xù)位移場(chǎng)的必要條件，簡(jiǎn)稱(chēng)可積條件。,Chapter 4.4,應(yīng)變協(xié)調(diào)方程,變形協(xié)調(diào)方程的數(shù)學(xué)意義 要使三個(gè)位移分量為未知函數(shù)的六個(gè)幾何方程不相矛盾，則應(yīng)變分量必須滿(mǎn)足的必要條件。 而

12、應(yīng)變協(xié)調(diào)方程的物理意義可以從彈性體的變形連續(xù)作出解釋。假如物體分割成無(wú)數(shù)個(gè)微分六面體單元，變形后每一單元體都發(fā)生形狀改變，如變形不滿(mǎn)足一定的關(guān)系，變形后的單元體將不能重新組合成連續(xù)體，其間將產(chǎn)生縫隙或嵌入現(xiàn)象。,Chapter 4.4,應(yīng)變協(xié)調(diào)方程,Chapter 4.4,應(yīng)變協(xié)調(diào)方程的個(gè)數(shù) 上式中含有四個(gè)自由指標(biāo)，共表示81個(gè)方程，但其 中有不少是恒等式。不難驗(yàn)證下述關(guān)系,關(guān)于j，k反對(duì)稱(chēng)：,81,27,9,6,關(guān)于i，l反對(duì)稱(chēng)：,關(guān)于ij，kl對(duì)稱(chēng)： Lmn為對(duì)稱(chēng)二階張量,應(yīng)變協(xié)調(diào)方程,Chapter 4.4,應(yīng)變協(xié)調(diào)方程的實(shí)體表示：,應(yīng)變協(xié)調(diào)方程,Chapter 4.4,應(yīng)變協(xié)調(diào)方程,C

13、hapter 4.4,在直角坐標(biāo)系中，表示為：,應(yīng)變協(xié)調(diào)方程,Chapter 4.4,小結(jié) 物體的變形可以用三個(gè)位移分量來(lái)描述，也可用六個(gè)應(yīng)變分量來(lái)描述。當(dāng)用位移描述時(shí)，只要位移函數(shù)連續(xù)且存在三階以上連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，協(xié)調(diào)方程就自動(dòng)滿(mǎn)足。當(dāng)用應(yīng)變描述時(shí)，六個(gè)應(yīng)變分量必須首先滿(mǎn)足協(xié)調(diào)方程。只有從協(xié)調(diào)的應(yīng)變場(chǎng)才能積分幾何方程，得到相應(yīng)的位移場(chǎng)。,應(yīng)變協(xié)調(diào)方程,應(yīng)變理論,Chapter 4,位移和應(yīng)變 剛體轉(zhuǎn)動(dòng) 應(yīng)變協(xié)調(diào)方程 位移場(chǎng)的單值條件 由應(yīng)變求位移 正交曲線(xiàn)坐標(biāo)系中的幾何方程 例題和作業(yè),Chapter 4.5,位移場(chǎng)的單值條件,概念 若域內(nèi)的任意閉曲線(xiàn)能通過(guò)在域內(nèi)的連續(xù)變形而收縮成一個(gè)點(diǎn)，則這種

14、域稱(chēng)為單連通域，否則為多連通域。 對(duì)二維問(wèn)題，單連通域就是實(shí)心域，多連通域?yàn)榭招挠?；但這個(gè)概念不能簡(jiǎn)單地推廣到三維問(wèn)題中去，例如內(nèi)含空洞的空心球體是一個(gè)單連通域，僅當(dāng)孔洞貫穿三維體成管道時(shí)才是多連通域 。,Chapter 4.5,單連通域:,多連通域:,位移場(chǎng)的單值條件,Chapter 4.5,n連通域有n個(gè)連接物體相鄰部分的通道，如果用橫貫通道的截面把n-1個(gè)通道切斷，就化為單連通域，簡(jiǎn)稱(chēng)基域。這些假想截面稱(chēng)為切口。所以一個(gè)n連通域就相當(dāng)于一個(gè)單連通的基域加n-1個(gè)切口。,位移場(chǎng)的單值條件,Chapter 4.5,位移場(chǎng)的單值條件 單連通域 上節(jié)從位移的單值連續(xù)性出發(fā)導(dǎo)出了應(yīng)變協(xié)調(diào)方程，從而

15、證明應(yīng)變協(xié)調(diào)是保證位移單值連續(xù)的必要條件。下面將證明單連通域中應(yīng)變協(xié)調(diào)方程是位移場(chǎng)函數(shù)單值的充分條件。,位移場(chǎng)的單值條件,Chapter 4.5,單連通域上位移場(chǎng)的單值條件,位移場(chǎng)的單值條件,Chapter 4.5,位移場(chǎng)的單值條件,Chapter 4.5,位移場(chǎng)的單值條件,Chapter 4.5,位移場(chǎng)的單值條件,Chapter 4.5,其中,單值性條件：,即：,位移場(chǎng)的單值條件,Chapter 4.5,由Stokes 公式：,位移場(chǎng)的單值條件,Chapter 4.5,因此，位移的單值性條件是應(yīng)變滿(mǎn)足協(xié)調(diào)方程。,或：,位移場(chǎng)的單值條件,Chapter 4.5,協(xié)調(diào)方程,位移場(chǎng)的單值條件,Ch

16、apter 4.5,多連通域位移場(chǎng)的單值條件,對(duì)于多連通域的情況，可先用n1個(gè)切口將連通域化為單連通的基域。根據(jù)以上討論，只要滿(mǎn)足協(xié)調(diào)方程，就能保證基域上位移場(chǎng)的單值連續(xù)性。但變形后，在切口處仍可能出現(xiàn)開(kāi)裂或重疊現(xiàn)象。所以對(duì)于多連通域，除了滿(mǎn)足協(xié)調(diào)方程外，還應(yīng)補(bǔ)充保證切口處位移單值連續(xù)的附加條件。,位移場(chǎng)的單值條件,Chapter 4.5,證明： n連通域中應(yīng)附加(n-1)個(gè)位移場(chǎng)函數(shù)的單值性條件,位移場(chǎng)的單值條件,Chapter 4.5,i =1,2,3, k =1,2n-1,位移場(chǎng)的單值條件,Chapter 4.5,轉(zhuǎn)動(dòng)單值性條件,位移場(chǎng)的單值條件,應(yīng)變理論,Chapter 4,位移和應(yīng)變

17、 剛體轉(zhuǎn)動(dòng) 應(yīng)變協(xié)調(diào)方程 位移場(chǎng)的單值條件 由應(yīng)變求位移 正交曲線(xiàn)坐標(biāo)系中的幾何方程 例題和作業(yè),Chapter 4.6,本節(jié)介紹笛卡爾坐標(biāo)系中，由應(yīng)變和幾何方程求位移分量u1, u2, u3的方法。,由應(yīng)變求位移,Chapter 4.6,線(xiàn)積分法 直接積分法,由應(yīng)變求位移,Chapter 4.6,線(xiàn)積分法 求位移分量,由于,因此只要導(dǎo)出u1三個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù) 用應(yīng)變分量的表達(dá)式，就可由上式積分出位移u1。,由應(yīng)變求位移,Chapter 4.6,由幾何方程得,已用應(yīng)變分量表示，但 和 中還含有未知的位移偏導(dǎo)數(shù)。先處理,由應(yīng)變求位移,Chapter 4.6,。,由應(yīng)變求位移,Chapter 4.6,

18、其中C1為待定積分常數(shù)。,由應(yīng)變求位移,Chapter 4.6,用同樣的思路可求得偏導(dǎo)數(shù) ，然后代入下式就能積分出位移分量u1(x1, x2, x3)。,只要應(yīng)變滿(mǎn)足協(xié)調(diào)方程，以上各式中的線(xiàn)積分均與路徑無(wú)關(guān)，一般取與坐標(biāo)軸平行的折線(xiàn)為積分路徑。 可用同樣的方法進(jìn)一步求得位移分量u2和u3。,由應(yīng)變求位移,Chapter 4.6,求位移 u1 的方法：,由應(yīng)變求位移,Chapter 4.6,(2) 求位移u2,由應(yīng)變求位移,Chapter 4.6,(3) 求位移u3,六個(gè)積分常數(shù) u10, u20, u30 和 C1, C2, C3 分別相應(yīng)于剛體平移和剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的六個(gè)自由度，須由外部約束條件來(lái)決

19、定。,由應(yīng)變求位移,Chapter 4.6,直接積分法 對(duì)某些應(yīng)變分量表達(dá)式較為簡(jiǎn)單的情況，也可以采用直接積分法。下面以無(wú)應(yīng)變狀態(tài)ij = 0為例，說(shuō)明處理積分常數(shù)時(shí)應(yīng)注意的問(wèn)題。當(dāng)應(yīng)變不為零時(shí)，處理過(guò)程類(lèi)似，只是多了一些來(lái)自非零應(yīng)變的積分項(xiàng)。,Chapter 4.6,由正應(yīng)變表達(dá)式 分別對(duì)積分 x1, x2, x3 一次得 代入剪應(yīng)變表達(dá)式,Chapter 4.6,得到,因f2與x2無(wú)關(guān)，由(a)式對(duì)x2求導(dǎo)得,Chapter 4.6,同理由(c)式有 代入f1表達(dá)式得,由應(yīng)變求位移,Chapter 4.6,上式對(duì)任意值x2均應(yīng)成立，因此,由應(yīng)變求位移,Chapter 4.6,同理可由,由,由應(yīng)變求位移,Chapter 4.6,代入,由應(yīng)變求位移,Chapter 4.6,于是獨(dú)立常數(shù)降為六個(gè)。原式簡(jiǎn)