第三章 應(yīng)變理論

1、第三章 應(yīng)變理論 Theory of Strains,應(yīng)變理論,Chapter 4,位移和應(yīng)變 剛體轉(zhuǎn)動 應(yīng)變協(xié)調(diào)方程 位移場的單值條件 由應(yīng)變求位移 正交曲線坐標(biāo)系中的幾何方程 例題和作業(yè),Chapter 4.1,位移,位移和應(yīng)變,Chapter 4.1,位移的描述 剛體位移：整個物體在空間做剛體運(yùn)動引起的，包括平動和轉(zhuǎn)動。,變形：物體形狀變化引起的位移，位移發(fā)生時不僅改變物體的絕對位置，而且改變了物體內(nèi)部各個點(diǎn)的相對位置。 一般來說，剛體位移和變形是同時出現(xiàn)的。,位移和應(yīng)變,Chapter 4.1,位移,位移和應(yīng)變,Chapter 4.1,位移,分量形式：,或,位移和應(yīng)變,Chapter

2、4.1,單軸應(yīng)變,F,位移和應(yīng)變,Chapter 4.1,單軸應(yīng)變,微元的長度變化：,Taylor 級數(shù)展開：,位移和應(yīng)變,Chapter 4.1,單軸應(yīng)變,略去高階項：,單軸應(yīng)變（工程應(yīng)變）定義為：,位移和應(yīng)變,應(yīng)變分量 平行六面體(稱為微元體),Chapter 4.1,位移和應(yīng)變,應(yīng)變分量,Chapter 4.1,位移和應(yīng)變,Chapter 4.1,位移和應(yīng)變,Chapter 4.1,正應(yīng)變(相對伸長度),位移和應(yīng)變,Chapter 4.1,切應(yīng)變(剪應(yīng)變),位移和應(yīng)變,Chapter 4.1,工程剪應(yīng)變,位移和應(yīng)變,u,y,x,位移和應(yīng)變,由于位移是坐標(biāo)值的連續(xù)函數(shù)，所以P點(diǎn)在x及y軸上

3、的位移分量為u，v，則A點(diǎn)及B點(diǎn)的位移分量為,Chapter 4.1,A:,B:,A:,B:,位移和應(yīng)變,按照多元函數(shù)Taylor級數(shù)展開，并利用小變形假設(shè)而略去二階以上的無窮小量，則得A點(diǎn)及B點(diǎn)的位移分量為,Chapter 4.1,位移和應(yīng)變,Chapter 4.1,u,適用條件 ？,位移和應(yīng)變,Chapter 4.1,位移和應(yīng)變,小應(yīng)變情況下，應(yīng)變和位移的關(guān)系：,Chapter 4.1,幾何方程,位移和應(yīng)變,小應(yīng)變情況下，應(yīng)變和位移的關(guān)系：,Chapter 4.1,幾何方程,位移和應(yīng)變,指標(biāo)形式為:,小應(yīng)變情況下，工程應(yīng)變和位移的關(guān)系：,Chapter 4.1,幾何方程,位移和應(yīng)變,Cha

4、pter 4.2,位移和應(yīng)變,小應(yīng)變張量 e 的幾何意義是：,當(dāng)指標(biāo)i=j 時， 表示沿坐標(biāo)軸i方向的線元工程正應(yīng)變，以伸長為正，縮短為負(fù)；,當(dāng)指標(biāo)(ij)時， 的兩倍表示坐標(biāo)軸 i 與 j 方向兩個正交線元間的工程剪應(yīng)變。以銳化（直角減小）為正，鈍化（直角增加）為負(fù)。,Chapter 4.2,新老坐標(biāo)中的應(yīng)變張量分量 與 滿足轉(zhuǎn)軸公式 由此可根據(jù)應(yīng)變分量 ij 求出任意方向的正應(yīng)變和剪應(yīng)變。因而小應(yīng)變張量完全表征了一點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)。,位移和應(yīng)變,應(yīng)變張量在每點(diǎn)存在三個相互正交的主方向 設(shè) v 為主方向的單位矢量，則按張量主方向的定義有 標(biāo)量 稱為應(yīng)變張量的主值，即沿主方向 v 的主應(yīng)變。 與主

5、應(yīng)力類似，主應(yīng)變也具有實數(shù)性，正交性和極值性。,Chapter 4.2,位移和應(yīng)變,Chapter 4.2,存在第一、第二和第三應(yīng)變不變量,系數(shù)行列式為零,其中： 分別稱為第一、第二和第三應(yīng)變不變量。,位移和應(yīng)變,Chapter 4.2,應(yīng)變主軸沿每點(diǎn)應(yīng)變主方向的坐標(biāo)線 由應(yīng)變主軸組成的正交曲線坐標(biāo)系稱為主應(yīng)變坐標(biāo)系。 最大工程剪應(yīng)變發(fā)生在主平面內(nèi)，其值為最大與最小主應(yīng)變之差。 等傾線元正應(yīng)變（又稱八面體正應(yīng)變）等于平均正應(yīng)變0 。,位移和應(yīng)變,Chapter 4.2,八面體剪應(yīng)變是等傾面法線與等傾面上任意線元間之剪應(yīng)變的最大值。,位移和應(yīng)變,Chapter 4.2,應(yīng)變張量可分解為應(yīng)變球量和

6、應(yīng)變偏量之和,即,稱為球形應(yīng)變張量，0 為平均正應(yīng)變。,位移和應(yīng)變,Chapter 4.2,將0ij代入上述兩式可得 因此應(yīng)變球量表示等向體積膨脹或收縮，它不產(chǎn)生形狀畸變。,位移和應(yīng)變,Chapter 4.2,稱為應(yīng)變偏量。,即應(yīng)變偏量不產(chǎn)生體積變化，僅表示形狀畸變。,位移和應(yīng)變,Chapter 4.2,位移和應(yīng)變,Chapter 4.2,于是可得,位移和應(yīng)變,Chapter 4.2,純變形,位移和應(yīng)變,Chapter 4.2,常正應(yīng)變狀態(tài)是純變形的一例,位移和應(yīng)變,Chapter 4.2,均勻變形狀態(tài),位移和應(yīng)變,Chapter 4.2,直線在變形后仍為直線； 相同方向的直線以同樣比例伸縮；

7、 互相平行的直線變形后仍平行； 平面在變形后仍為平面； 平行平面變形后仍平行； 球面變形后成為橢球面。,位移和應(yīng)變,應(yīng)變理論,Chapter 4,位移和應(yīng)變 剛體轉(zhuǎn)動 應(yīng)變協(xié)調(diào)方程 位移場的單值條件 由應(yīng)變求位移 正交曲線坐標(biāo)系中的幾何方程 例題和作業(yè),Chapter 4.3,剛體轉(zhuǎn)動,Chapter 4.3,由商判則可知，位移梯度u為一個二階張量。,剛體轉(zhuǎn)動,Chapter 4.3,將u分解成對稱張量與反對稱張量之和 對稱部分即為小應(yīng)變張量 ，定義反對稱部分為, 稱為轉(zhuǎn)動張量,剛體轉(zhuǎn)動,Chapter 4.3,代入,剛體轉(zhuǎn)動,Chapter 4.3,由反對稱張量的性質(zhì)可知： 反對稱張量只有三

8、個獨(dú)立分量12, 23和31,剛體轉(zhuǎn)動,Chapter 4.3,轉(zhuǎn)動矢量, 稱為張量 的反偶矢量,剛體轉(zhuǎn)動,Chapter 4.3,指標(biāo)形式為：,(b),剛體轉(zhuǎn)動,Chapter 4.3,剛體轉(zhuǎn)動,Chapter 4.3,圖3-8,剛體轉(zhuǎn)動,Chapter 4.3,剛體轉(zhuǎn)動,Chapter 4.3,對變形體來說，轉(zhuǎn)動矢量 和轉(zhuǎn)動張量 都是隨點(diǎn)而異的。若考慮整個物體作剛體轉(zhuǎn)動（0， =常數(shù)）的情況，則 這就是理論力學(xué)中熟知的剛體轉(zhuǎn)動公式：,剛體轉(zhuǎn)動,Chapter 4.3,小應(yīng)變假設(shè)：,所以線性彈性理論僅適用于應(yīng)變和轉(zhuǎn)動都很小的情況。,剛體轉(zhuǎn)動,應(yīng)變理論,Chapter 4,位移和應(yīng)變 剛體轉(zhuǎn)動

9、 應(yīng)變協(xié)調(diào)方程 位移場的單值條件 由應(yīng)變求位移 正交曲線坐標(biāo)系中的幾何方程 例題和作業(yè),小應(yīng)變情況下的幾何方程：,Chapter 4.4,應(yīng)變協(xié)調(diào)方程,任意給定應(yīng)變分量后，不一定能由上述方程積分求出位移，所以需要補(bǔ)充方程才能使原問題有解。,對于連續(xù)體，相鄰微單元之間的變形必須互相協(xié)調(diào)。即必須滿足某些條件變形的連續(xù)條件。,應(yīng)變協(xié)調(diào)方程,Chapter 4.4,在 xy 平面內(nèi)各應(yīng)分量之間的關(guān)系,兩式相加后，得,Chapter 4.4,同理可以找出另外兩平面內(nèi)應(yīng)變分量間的關(guān)系式,應(yīng)變協(xié)調(diào)方程,Chapter 4.4,綜合起來可得以下方程：,應(yīng)變協(xié)調(diào)方程,Chapter 4.4,不同平面內(nèi)的應(yīng)變分量

10、也存在一定的關(guān)系,于是下面推導(dǎo)不同平面內(nèi)的應(yīng)變分量之間的關(guān)系,應(yīng)變協(xié)調(diào)方程,Chapter 4.4,同理，可以求出另外兩個關(guān)系式：,應(yīng)變協(xié)調(diào)方程,Chapter 4.4,共得到六個應(yīng)變協(xié)調(diào)方程：,應(yīng)變協(xié)調(diào)方程,Chapter 4.4,應(yīng)變協(xié)調(diào)方程是單連通域小變形位移連續(xù)的充分必要條件，這樣的六個應(yīng)變分量將不能任意給定，他們必須滿足以上六個約束方程。 以上六式不是完全獨(dú)立的，它們只相當(dāng)于三個獨(dú)立的方程。,應(yīng)變協(xié)調(diào)方程,應(yīng)變協(xié)調(diào)方程的另外一種推導(dǎo)方法 小應(yīng)變張量ij的二階偏導(dǎo)數(shù)為,Chapter 4.4,指標(biāo)符號互換：,應(yīng)變協(xié)調(diào)方程,同樣經(jīng)過指標(biāo)對換可以得到,Chapter 4.4,應(yīng)變協(xié)調(diào)方程,

11、當(dāng)位移場單值連續(xù)，并存在三階以上連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)時，根據(jù)偏導(dǎo)數(shù)與求導(dǎo)順序無關(guān)，可得,應(yīng)變協(xié)調(diào)方程：,Chapter 4.4,應(yīng)變協(xié)調(diào)方程,由于在推導(dǎo)中只用了連續(xù)函數(shù)的求導(dǎo)順序無關(guān)性，所以上式的本質(zhì)是變形連續(xù)條件，常稱應(yīng)變協(xié)調(diào)方程。當(dāng)應(yīng)變分量不是任意指定，而是根據(jù)幾何方程由單值連續(xù)的位移場確定時，上式是各應(yīng)變分量二階偏導(dǎo)數(shù)間的恒等式，故又稱為圣維南(Saint-Venant)恒等式。在數(shù)學(xué)上，上式是能由幾何方程積分出單值連續(xù)位移場的必要條件，簡稱可積條件。,Chapter 4.4,應(yīng)變協(xié)調(diào)方程,變形協(xié)調(diào)方程的數(shù)學(xué)意義 要使三個位移分量為未知函數(shù)的六個幾何方程不相矛盾，則應(yīng)變分量必須滿足的必要條件。 而

12、應(yīng)變協(xié)調(diào)方程的物理意義可以從彈性體的變形連續(xù)作出解釋。假如物體分割成無數(shù)個微分六面體單元，變形后每一單元體都發(fā)生形狀改變，如變形不滿足一定的關(guān)系，變形后的單元體將不能重新組合成連續(xù)體，其間將產(chǎn)生縫隙或嵌入現(xiàn)象。,Chapter 4.4,應(yīng)變協(xié)調(diào)方程,Chapter 4.4,應(yīng)變協(xié)調(diào)方程的個數(shù) 上式中含有四個自由指標(biāo)，共表示81個方程，但其 中有不少是恒等式。不難驗證下述關(guān)系,關(guān)于j，k反對稱：,81,27,9,6,關(guān)于i，l反對稱：,關(guān)于ij，kl對稱： Lmn為對稱二階張量,應(yīng)變協(xié)調(diào)方程,Chapter 4.4,應(yīng)變協(xié)調(diào)方程的實體表示：,應(yīng)變協(xié)調(diào)方程,Chapter 4.4,應(yīng)變協(xié)調(diào)方程,C

13、hapter 4.4,在直角坐標(biāo)系中，表示為：,應(yīng)變協(xié)調(diào)方程,Chapter 4.4,小結(jié) 物體的變形可以用三個位移分量來描述，也可用六個應(yīng)變分量來描述。當(dāng)用位移描述時，只要位移函數(shù)連續(xù)且存在三階以上連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，協(xié)調(diào)方程就自動滿足。當(dāng)用應(yīng)變描述時，六個應(yīng)變分量必須首先滿足協(xié)調(diào)方程。只有從協(xié)調(diào)的應(yīng)變場才能積分幾何方程，得到相應(yīng)的位移場。,應(yīng)變協(xié)調(diào)方程,應(yīng)變理論,Chapter 4,位移和應(yīng)變 剛體轉(zhuǎn)動 應(yīng)變協(xié)調(diào)方程 位移場的單值條件 由應(yīng)變求位移 正交曲線坐標(biāo)系中的幾何方程 例題和作業(yè),Chapter 4.5,位移場的單值條件,概念 若域內(nèi)的任意閉曲線能通過在域內(nèi)的連續(xù)變形而收縮成一個點(diǎn)，則這種

14、域稱為單連通域，否則為多連通域。 對二維問題，單連通域就是實心域，多連通域為空心域；但這個概念不能簡單地推廣到三維問題中去，例如內(nèi)含空洞的空心球體是一個單連通域，僅當(dāng)孔洞貫穿三維體成管道時才是多連通域 。,Chapter 4.5,單連通域:,多連通域:,位移場的單值條件,Chapter 4.5,n連通域有n個連接物體相鄰部分的通道，如果用橫貫通道的截面把n-1個通道切斷，就化為單連通域，簡稱基域。這些假想截面稱為切口。所以一個n連通域就相當(dāng)于一個單連通的基域加n-1個切口。,位移場的單值條件,Chapter 4.5,位移場的單值條件 單連通域 上節(jié)從位移的單值連續(xù)性出發(fā)導(dǎo)出了應(yīng)變協(xié)調(diào)方程，從而

15、證明應(yīng)變協(xié)調(diào)是保證位移單值連續(xù)的必要條件。下面將證明單連通域中應(yīng)變協(xié)調(diào)方程是位移場函數(shù)單值的充分條件。,位移場的單值條件,Chapter 4.5,單連通域上位移場的單值條件,位移場的單值條件,Chapter 4.5,位移場的單值條件,Chapter 4.5,位移場的單值條件,Chapter 4.5,位移場的單值條件,Chapter 4.5,其中,單值性條件：,即：,位移場的單值條件,Chapter 4.5,由Stokes 公式：,位移場的單值條件,Chapter 4.5,因此，位移的單值性條件是應(yīng)變滿足協(xié)調(diào)方程。,或：,位移場的單值條件,Chapter 4.5,協(xié)調(diào)方程,位移場的單值條件,Ch

16、apter 4.5,多連通域位移場的單值條件,對于多連通域的情況，可先用n1個切口將連通域化為單連通的基域。根據(jù)以上討論，只要滿足協(xié)調(diào)方程，就能保證基域上位移場的單值連續(xù)性。但變形后，在切口處仍可能出現(xiàn)開裂或重疊現(xiàn)象。所以對于多連通域，除了滿足協(xié)調(diào)方程外，還應(yīng)補(bǔ)充保證切口處位移單值連續(xù)的附加條件。,位移場的單值條件,Chapter 4.5,證明： n連通域中應(yīng)附加(n-1)個位移場函數(shù)的單值性條件,位移場的單值條件,Chapter 4.5,i =1,2,3, k =1,2n-1,位移場的單值條件,Chapter 4.5,轉(zhuǎn)動單值性條件,位移場的單值條件,應(yīng)變理論,Chapter 4,位移和應(yīng)變

17、 剛體轉(zhuǎn)動 應(yīng)變協(xié)調(diào)方程 位移場的單值條件 由應(yīng)變求位移 正交曲線坐標(biāo)系中的幾何方程 例題和作業(yè),Chapter 4.6,本節(jié)介紹笛卡爾坐標(biāo)系中，由應(yīng)變和幾何方程求位移分量u1, u2, u3的方法。,由應(yīng)變求位移,Chapter 4.6,線積分法 直接積分法,由應(yīng)變求位移,Chapter 4.6,線積分法 求位移分量,由于,因此只要導(dǎo)出u1三個一階偏導(dǎo)數(shù) 用應(yīng)變分量的表達(dá)式，就可由上式積分出位移u1。,由應(yīng)變求位移,Chapter 4.6,由幾何方程得,已用應(yīng)變分量表示，但 和 中還含有未知的位移偏導(dǎo)數(shù)。先處理,由應(yīng)變求位移,Chapter 4.6,。,由應(yīng)變求位移,Chapter 4.6,

18、其中C1為待定積分常數(shù)。,由應(yīng)變求位移,Chapter 4.6,用同樣的思路可求得偏導(dǎo)數(shù) ，然后代入下式就能積分出位移分量u1(x1, x2, x3)。,只要應(yīng)變滿足協(xié)調(diào)方程，以上各式中的線積分均與路徑無關(guān)，一般取與坐標(biāo)軸平行的折線為積分路徑。 可用同樣的方法進(jìn)一步求得位移分量u2和u3。,由應(yīng)變求位移,Chapter 4.6,求位移 u1 的方法：,由應(yīng)變求位移,Chapter 4.6,(2) 求位移u2,由應(yīng)變求位移,Chapter 4.6,(3) 求位移u3,六個積分常數(shù) u10, u20, u30 和 C1, C2, C3 分別相應(yīng)于剛體平移和剛體轉(zhuǎn)動的六個自由度，須由外部約束條件來決

19、定。,由應(yīng)變求位移,Chapter 4.6,直接積分法 對某些應(yīng)變分量表達(dá)式較為簡單的情況，也可以采用直接積分法。下面以無應(yīng)變狀態(tài)ij = 0為例，說明處理積分常數(shù)時應(yīng)注意的問題。當(dāng)應(yīng)變不為零時，處理過程類似，只是多了一些來自非零應(yīng)變的積分項。,Chapter 4.6,由正應(yīng)變表達(dá)式 分別對積分 x1, x2, x3 一次得 代入剪應(yīng)變表達(dá)式,Chapter 4.6,得到,因f2與x2無關(guān)，由(a)式對x2求導(dǎo)得,Chapter 4.6,同理由(c)式有 代入f1表達(dá)式得,由應(yīng)變求位移,Chapter 4.6,上式對任意值x2均應(yīng)成立，因此,由應(yīng)變求位移,Chapter 4.6,同理可由,由,由應(yīng)變求位移,Chapter 4.6,代入,由應(yīng)變求位移,Chapter 4.6,于是獨(dú)立常數(shù)降為六個。原式簡