第三章 應(yīng)變理論_第1頁
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文檔簡介

1、第三章 應(yīng)變理論 Theory of Strains,應(yīng)變理論,Chapter 4,位移和應(yīng)變 剛體轉(zhuǎn)動 應(yīng)變協(xié)調(diào)方程 位移場的單值條件 由應(yīng)變求位移 正交曲線坐標(biāo)系中的幾何方程 例題和作業(yè),Chapter 4.1,位移,位移和應(yīng)變,Chapter 4.1,位移的描述 剛體位移:整個物體在空間做剛體運動引起的,包括平動和轉(zhuǎn)動。,變形:物體形狀變化引起的位移,位移發(fā)生時不僅改變物體的絕對位置,而且改變了物體內(nèi)部各個點的相對位置。 一般來說,剛體位移和變形是同時出現(xiàn)的。,位移和應(yīng)變,Chapter 4.1,位移,位移和應(yīng)變,Chapter 4.1,位移,分量形式:,或,位移和應(yīng)變,Chapter

2、4.1,單軸應(yīng)變,F,位移和應(yīng)變,Chapter 4.1,單軸應(yīng)變,微元的長度變化:,Taylor 級數(shù)展開:,位移和應(yīng)變,Chapter 4.1,單軸應(yīng)變,略去高階項:,單軸應(yīng)變(工程應(yīng)變)定義為:,位移和應(yīng)變,應(yīng)變分量 平行六面體(稱為微元體),Chapter 4.1,位移和應(yīng)變,應(yīng)變分量,Chapter 4.1,位移和應(yīng)變,Chapter 4.1,位移和應(yīng)變,Chapter 4.1,正應(yīng)變(相對伸長度),位移和應(yīng)變,Chapter 4.1,切應(yīng)變(剪應(yīng)變),位移和應(yīng)變,Chapter 4.1,工程剪應(yīng)變,位移和應(yīng)變,u,y,x,位移和應(yīng)變,由于位移是坐標(biāo)值的連續(xù)函數(shù),所以P點在x及y軸上

3、的位移分量為u,v,則A點及B點的位移分量為,Chapter 4.1,A:,B:,A:,B:,位移和應(yīng)變,按照多元函數(shù)Taylor級數(shù)展開,并利用小變形假設(shè)而略去二階以上的無窮小量,則得A點及B點的位移分量為,Chapter 4.1,位移和應(yīng)變,Chapter 4.1,u,適用條件 ?,位移和應(yīng)變,Chapter 4.1,位移和應(yīng)變,小應(yīng)變情況下,應(yīng)變和位移的關(guān)系:,Chapter 4.1,幾何方程,位移和應(yīng)變,小應(yīng)變情況下,應(yīng)變和位移的關(guān)系:,Chapter 4.1,幾何方程,位移和應(yīng)變,指標(biāo)形式為:,小應(yīng)變情況下,工程應(yīng)變和位移的關(guān)系:,Chapter 4.1,幾何方程,位移和應(yīng)變,Cha

4、pter 4.2,位移和應(yīng)變,小應(yīng)變張量 e 的幾何意義是:,當(dāng)指標(biāo)i=j 時, 表示沿坐標(biāo)軸i方向的線元工程正應(yīng)變,以伸長為正,縮短為負(fù);,當(dāng)指標(biāo)(ij)時, 的兩倍表示坐標(biāo)軸 i 與 j 方向兩個正交線元間的工程剪應(yīng)變。以銳化(直角減小)為正,鈍化(直角增加)為負(fù)。,Chapter 4.2,新老坐標(biāo)中的應(yīng)變張量分量 與 滿足轉(zhuǎn)軸公式 由此可根據(jù)應(yīng)變分量 ij 求出任意方向的正應(yīng)變和剪應(yīng)變。因而小應(yīng)變張量完全表征了一點的應(yīng)變狀態(tài)。,位移和應(yīng)變,應(yīng)變張量在每點存在三個相互正交的主方向 設(shè) v 為主方向的單位矢量,則按張量主方向的定義有 標(biāo)量 稱為應(yīng)變張量的主值,即沿主方向 v 的主應(yīng)變。 與主

5、應(yīng)力類似,主應(yīng)變也具有實數(shù)性,正交性和極值性。,Chapter 4.2,位移和應(yīng)變,Chapter 4.2,存在第一、第二和第三應(yīng)變不變量,系數(shù)行列式為零,其中: 分別稱為第一、第二和第三應(yīng)變不變量。,位移和應(yīng)變,Chapter 4.2,應(yīng)變主軸沿每點應(yīng)變主方向的坐標(biāo)線 由應(yīng)變主軸組成的正交曲線坐標(biāo)系稱為主應(yīng)變坐標(biāo)系。 最大工程剪應(yīng)變發(fā)生在主平面內(nèi),其值為最大與最小主應(yīng)變之差。 等傾線元正應(yīng)變(又稱八面體正應(yīng)變)等于平均正應(yīng)變0 。,位移和應(yīng)變,Chapter 4.2,八面體剪應(yīng)變是等傾面法線與等傾面上任意線元間之剪應(yīng)變的最大值。,位移和應(yīng)變,Chapter 4.2,應(yīng)變張量可分解為應(yīng)變球量和

6、應(yīng)變偏量之和,即,稱為球形應(yīng)變張量,0 為平均正應(yīng)變。,位移和應(yīng)變,Chapter 4.2,將0ij代入上述兩式可得 因此應(yīng)變球量表示等向體積膨脹或收縮,它不產(chǎn)生形狀畸變。,位移和應(yīng)變,Chapter 4.2,稱為應(yīng)變偏量。,即應(yīng)變偏量不產(chǎn)生體積變化,僅表示形狀畸變。,位移和應(yīng)變,Chapter 4.2,位移和應(yīng)變,Chapter 4.2,于是可得,位移和應(yīng)變,Chapter 4.2,純變形,位移和應(yīng)變,Chapter 4.2,常正應(yīng)變狀態(tài)是純變形的一例,位移和應(yīng)變,Chapter 4.2,均勻變形狀態(tài),位移和應(yīng)變,Chapter 4.2,直線在變形后仍為直線; 相同方向的直線以同樣比例伸縮;

7、 互相平行的直線變形后仍平行; 平面在變形后仍為平面; 平行平面變形后仍平行; 球面變形后成為橢球面。,位移和應(yīng)變,應(yīng)變理論,Chapter 4,位移和應(yīng)變 剛體轉(zhuǎn)動 應(yīng)變協(xié)調(diào)方程 位移場的單值條件 由應(yīng)變求位移 正交曲線坐標(biāo)系中的幾何方程 例題和作業(yè),Chapter 4.3,剛體轉(zhuǎn)動,Chapter 4.3,由商判則可知,位移梯度u為一個二階張量。,剛體轉(zhuǎn)動,Chapter 4.3,將u分解成對稱張量與反對稱張量之和 對稱部分即為小應(yīng)變張量 ,定義反對稱部分為, 稱為轉(zhuǎn)動張量,剛體轉(zhuǎn)動,Chapter 4.3,代入,剛體轉(zhuǎn)動,Chapter 4.3,由反對稱張量的性質(zhì)可知: 反對稱張量只有三

8、個獨立分量12, 23和31,剛體轉(zhuǎn)動,Chapter 4.3,轉(zhuǎn)動矢量, 稱為張量 的反偶矢量,剛體轉(zhuǎn)動,Chapter 4.3,指標(biāo)形式為:,(b),剛體轉(zhuǎn)動,Chapter 4.3,剛體轉(zhuǎn)動,Chapter 4.3,圖3-8,剛體轉(zhuǎn)動,Chapter 4.3,剛體轉(zhuǎn)動,Chapter 4.3,對變形體來說,轉(zhuǎn)動矢量 和轉(zhuǎn)動張量 都是隨點而異的。若考慮整個物體作剛體轉(zhuǎn)動(0, =常數(shù))的情況,則 這就是理論力學(xué)中熟知的剛體轉(zhuǎn)動公式:,剛體轉(zhuǎn)動,Chapter 4.3,小應(yīng)變假設(shè):,所以線性彈性理論僅適用于應(yīng)變和轉(zhuǎn)動都很小的情況。,剛體轉(zhuǎn)動,應(yīng)變理論,Chapter 4,位移和應(yīng)變 剛體轉(zhuǎn)動

9、 應(yīng)變協(xié)調(diào)方程 位移場的單值條件 由應(yīng)變求位移 正交曲線坐標(biāo)系中的幾何方程 例題和作業(yè),小應(yīng)變情況下的幾何方程:,Chapter 4.4,應(yīng)變協(xié)調(diào)方程,任意給定應(yīng)變分量后,不一定能由上述方程積分求出位移,所以需要補(bǔ)充方程才能使原問題有解。,對于連續(xù)體,相鄰微單元之間的變形必須互相協(xié)調(diào)。即必須滿足某些條件變形的連續(xù)條件。,應(yīng)變協(xié)調(diào)方程,Chapter 4.4,在 xy 平面內(nèi)各應(yīng)分量之間的關(guān)系,兩式相加后,得,Chapter 4.4,同理可以找出另外兩平面內(nèi)應(yīng)變分量間的關(guān)系式,應(yīng)變協(xié)調(diào)方程,Chapter 4.4,綜合起來可得以下方程:,應(yīng)變協(xié)調(diào)方程,Chapter 4.4,不同平面內(nèi)的應(yīng)變分量

10、也存在一定的關(guān)系,于是下面推導(dǎo)不同平面內(nèi)的應(yīng)變分量之間的關(guān)系,應(yīng)變協(xié)調(diào)方程,Chapter 4.4,同理,可以求出另外兩個關(guān)系式:,應(yīng)變協(xié)調(diào)方程,Chapter 4.4,共得到六個應(yīng)變協(xié)調(diào)方程:,應(yīng)變協(xié)調(diào)方程,Chapter 4.4,應(yīng)變協(xié)調(diào)方程是單連通域小變形位移連續(xù)的充分必要條件,這樣的六個應(yīng)變分量將不能任意給定,他們必須滿足以上六個約束方程。 以上六式不是完全獨立的,它們只相當(dāng)于三個獨立的方程。,應(yīng)變協(xié)調(diào)方程,應(yīng)變協(xié)調(diào)方程的另外一種推導(dǎo)方法 小應(yīng)變張量ij的二階偏導(dǎo)數(shù)為,Chapter 4.4,指標(biāo)符號互換:,應(yīng)變協(xié)調(diào)方程,同樣經(jīng)過指標(biāo)對換可以得到,Chapter 4.4,應(yīng)變協(xié)調(diào)方程,

11、當(dāng)位移場單值連續(xù),并存在三階以上連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)時,根據(jù)偏導(dǎo)數(shù)與求導(dǎo)順序無關(guān),可得,應(yīng)變協(xié)調(diào)方程:,Chapter 4.4,應(yīng)變協(xié)調(diào)方程,由于在推導(dǎo)中只用了連續(xù)函數(shù)的求導(dǎo)順序無關(guān)性,所以上式的本質(zhì)是變形連續(xù)條件,常稱應(yīng)變協(xié)調(diào)方程。當(dāng)應(yīng)變分量不是任意指定,而是根據(jù)幾何方程由單值連續(xù)的位移場確定時,上式是各應(yīng)變分量二階偏導(dǎo)數(shù)間的恒等式,故又稱為圣維南(Saint-Venant)恒等式。在數(shù)學(xué)上,上式是能由幾何方程積分出單值連續(xù)位移場的必要條件,簡稱可積條件。,Chapter 4.4,應(yīng)變協(xié)調(diào)方程,變形協(xié)調(diào)方程的數(shù)學(xué)意義 要使三個位移分量為未知函數(shù)的六個幾何方程不相矛盾,則應(yīng)變分量必須滿足的必要條件。 而

12、應(yīng)變協(xié)調(diào)方程的物理意義可以從彈性體的變形連續(xù)作出解釋。假如物體分割成無數(shù)個微分六面體單元,變形后每一單元體都發(fā)生形狀改變,如變形不滿足一定的關(guān)系,變形后的單元體將不能重新組合成連續(xù)體,其間將產(chǎn)生縫隙或嵌入現(xiàn)象。,Chapter 4.4,應(yīng)變協(xié)調(diào)方程,Chapter 4.4,應(yīng)變協(xié)調(diào)方程的個數(shù) 上式中含有四個自由指標(biāo),共表示81個方程,但其 中有不少是恒等式。不難驗證下述關(guān)系,關(guān)于j,k反對稱:,81,27,9,6,關(guān)于i,l反對稱:,關(guān)于ij,kl對稱: Lmn為對稱二階張量,應(yīng)變協(xié)調(diào)方程,Chapter 4.4,應(yīng)變協(xié)調(diào)方程的實體表示:,應(yīng)變協(xié)調(diào)方程,Chapter 4.4,應(yīng)變協(xié)調(diào)方程,C

13、hapter 4.4,在直角坐標(biāo)系中,表示為:,應(yīng)變協(xié)調(diào)方程,Chapter 4.4,小結(jié) 物體的變形可以用三個位移分量來描述,也可用六個應(yīng)變分量來描述。當(dāng)用位移描述時,只要位移函數(shù)連續(xù)且存在三階以上連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),協(xié)調(diào)方程就自動滿足。當(dāng)用應(yīng)變描述時,六個應(yīng)變分量必須首先滿足協(xié)調(diào)方程。只有從協(xié)調(diào)的應(yīng)變場才能積分幾何方程,得到相應(yīng)的位移場。,應(yīng)變協(xié)調(diào)方程,應(yīng)變理論,Chapter 4,位移和應(yīng)變 剛體轉(zhuǎn)動 應(yīng)變協(xié)調(diào)方程 位移場的單值條件 由應(yīng)變求位移 正交曲線坐標(biāo)系中的幾何方程 例題和作業(yè),Chapter 4.5,位移場的單值條件,概念 若域內(nèi)的任意閉曲線能通過在域內(nèi)的連續(xù)變形而收縮成一個點,則這種

14、域稱為單連通域,否則為多連通域。 對二維問題,單連通域就是實心域,多連通域為空心域;但這個概念不能簡單地推廣到三維問題中去,例如內(nèi)含空洞的空心球體是一個單連通域,僅當(dāng)孔洞貫穿三維體成管道時才是多連通域 。,Chapter 4.5,單連通域:,多連通域:,位移場的單值條件,Chapter 4.5,n連通域有n個連接物體相鄰部分的通道,如果用橫貫通道的截面把n-1個通道切斷,就化為單連通域,簡稱基域。這些假想截面稱為切口。所以一個n連通域就相當(dāng)于一個單連通的基域加n-1個切口。,位移場的單值條件,Chapter 4.5,位移場的單值條件 單連通域 上節(jié)從位移的單值連續(xù)性出發(fā)導(dǎo)出了應(yīng)變協(xié)調(diào)方程,從而

15、證明應(yīng)變協(xié)調(diào)是保證位移單值連續(xù)的必要條件。下面將證明單連通域中應(yīng)變協(xié)調(diào)方程是位移場函數(shù)單值的充分條件。,位移場的單值條件,Chapter 4.5,單連通域上位移場的單值條件,位移場的單值條件,Chapter 4.5,位移場的單值條件,Chapter 4.5,位移場的單值條件,Chapter 4.5,位移場的單值條件,Chapter 4.5,其中,單值性條件:,即:,位移場的單值條件,Chapter 4.5,由Stokes 公式:,位移場的單值條件,Chapter 4.5,因此,位移的單值性條件是應(yīng)變滿足協(xié)調(diào)方程。,或:,位移場的單值條件,Chapter 4.5,協(xié)調(diào)方程,位移場的單值條件,Ch

16、apter 4.5,多連通域位移場的單值條件,對于多連通域的情況,可先用n1個切口將連通域化為單連通的基域。根據(jù)以上討論,只要滿足協(xié)調(diào)方程,就能保證基域上位移場的單值連續(xù)性。但變形后,在切口處仍可能出現(xiàn)開裂或重疊現(xiàn)象。所以對于多連通域,除了滿足協(xié)調(diào)方程外,還應(yīng)補(bǔ)充保證切口處位移單值連續(xù)的附加條件。,位移場的單值條件,Chapter 4.5,證明: n連通域中應(yīng)附加(n-1)個位移場函數(shù)的單值性條件,位移場的單值條件,Chapter 4.5,i =1,2,3, k =1,2n-1,位移場的單值條件,Chapter 4.5,轉(zhuǎn)動單值性條件,位移場的單值條件,應(yīng)變理論,Chapter 4,位移和應(yīng)變

17、 剛體轉(zhuǎn)動 應(yīng)變協(xié)調(diào)方程 位移場的單值條件 由應(yīng)變求位移 正交曲線坐標(biāo)系中的幾何方程 例題和作業(yè),Chapter 4.6,本節(jié)介紹笛卡爾坐標(biāo)系中,由應(yīng)變和幾何方程求位移分量u1, u2, u3的方法。,由應(yīng)變求位移,Chapter 4.6,線積分法 直接積分法,由應(yīng)變求位移,Chapter 4.6,線積分法 求位移分量,由于,因此只要導(dǎo)出u1三個一階偏導(dǎo)數(shù) 用應(yīng)變分量的表達(dá)式,就可由上式積分出位移u1。,由應(yīng)變求位移,Chapter 4.6,由幾何方程得,已用應(yīng)變分量表示,但 和 中還含有未知的位移偏導(dǎo)數(shù)。先處理,由應(yīng)變求位移,Chapter 4.6,。,由應(yīng)變求位移,Chapter 4.6,

18、其中C1為待定積分常數(shù)。,由應(yīng)變求位移,Chapter 4.6,用同樣的思路可求得偏導(dǎo)數(shù) ,然后代入下式就能積分出位移分量u1(x1, x2, x3)。,只要應(yīng)變滿足協(xié)調(diào)方程,以上各式中的線積分均與路徑無關(guān),一般取與坐標(biāo)軸平行的折線為積分路徑。 可用同樣的方法進(jìn)一步求得位移分量u2和u3。,由應(yīng)變求位移,Chapter 4.6,求位移 u1 的方法:,由應(yīng)變求位移,Chapter 4.6,(2) 求位移u2,由應(yīng)變求位移,Chapter 4.6,(3) 求位移u3,六個積分常數(shù) u10, u20, u30 和 C1, C2, C3 分別相應(yīng)于剛體平移和剛體轉(zhuǎn)動的六個自由度,須由外部約束條件來決

19、定。,由應(yīng)變求位移,Chapter 4.6,直接積分法 對某些應(yīng)變分量表達(dá)式較為簡單的情況,也可以采用直接積分法。下面以無應(yīng)變狀態(tài)ij = 0為例,說明處理積分常數(shù)時應(yīng)注意的問題。當(dāng)應(yīng)變不為零時,處理過程類似,只是多了一些來自非零應(yīng)變的積分項。,Chapter 4.6,由正應(yīng)變表達(dá)式 分別對積分 x1, x2, x3 一次得 代入剪應(yīng)變表達(dá)式,Chapter 4.6,得到,因f2與x2無關(guān),由(a)式對x2求導(dǎo)得,Chapter 4.6,同理由(c)式有 代入f1表達(dá)式得,由應(yīng)變求位移,Chapter 4.6,上式對任意值x2均應(yīng)成立,因此,由應(yīng)變求位移,Chapter 4.6,同理可由,由,由應(yīng)變求位移,Chapter 4.6,代入,由應(yīng)變求位移,Chapter 4.6,于是獨立常數(shù)降為六個。原式簡

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