最詳細的復利和年金的計算推導

1、復利和年金的計算推導,超級詳細版,作者寄語,在你開始閱讀這個PPT之前，我有些話要先對讀者你講一講，關于資金時間價值的復利和年金的計算和推導，涉及的數(shù)學知識其實很簡單，只是由于數(shù)據(jù)龐大，因此讓很多人望而卻步，因此一定要耐下性子進行計算，這個幻燈片應該說是財務基礎接近零的人都可以看會的，關鍵是要靜下心，一個字一個字的讀完，這樣才能把這一部分知識徹底領悟到，祝你們成功！,字母的含義,i報酬率或利率 n期數(shù) A每期投入或支付的相同金額，在普通年金中也叫償債基金 FFuture終 PPresent現(xiàn) VValue值 I系數(shù),一、復利的計算,1、復利的終值 2、復利的現(xiàn)值,1、復利的終值,復利的終值：就

2、是一些錢過n期之后利滾利的最后所得總額。,1、復利的終值總結,計算公式：FVn=PVn(1+i)n,注：(1+i)n就是傳說中的復利終值系數(shù)：FVIFi,n=(1+i)n,因此，復利終值計算公式又可以寫成FVn=PVn FVIFi ,n,2、復利的現(xiàn)值,復利的現(xiàn)值：就是利滾利過n期后能拿到的一些錢在現(xiàn)在值多少錢。,2、復利的現(xiàn)值總結,計算公式：PVn=FVn,就是傳說中的復利現(xiàn)值系數(shù)：PVIFi,n=,因此，復利現(xiàn)值計算公式又可以寫成PVn=FVn PVIFi ,n,注：,二、年金的計算,1、普通年金 2、即付年金 3、遞延年金 4、永續(xù)年金,1、普通年金,普通年金：又叫后付年金，是指各期期末

3、收付的年金。,A,A,A,A,A,A,A,A,A,總共n期,（1）普通年金終值,說白了，就是計算每次投入的A在第n期期末（也就是線段最右端點）的終值總和。,推導： FVAi,n=A+A(1+i)+A(1+i)2+A(1+i)n-1,=A,(1+i)t-1,到這一步如果你看得懂，你很聰明！,（1）普通年金終值,剛才的結論是下面這個公式,計算公式：FVAi,n=,A,(1+i)t-1,就是傳說中的年金終值系數(shù)：FVIFAi,n=,注：,(1+i)t-1,(1+i)t-1,因此，年金終值計算公式又可以寫成,FVAi,n=A FVIFAi,n,（1）普通年金終值,看到這里，是不是有點暈頭轉向了呢？,將

4、計算公式：FVAi,n=,A,(1+i)t-1,變形，,等號兩端同時乘以(1+i)，得到下式：,FVAi,n(1+i)=,A,(1+i)t,等比數(shù)列求和??！,=A,1-(1+i),1-(1+i)n,=A,i,(1+i)n+1 -1,(1+i),(1+i),（1）普通年金終值,這樣，只要在等號兩端再同時除以(1+i)，就又誕生了一個變形后的公式,計算公式：FVAi,n,=A,i,(1+i)n+1 -1,這樣，年金終值系數(shù)就變成了：FVIFAi,n=,i,(1+i)n+1 -1,最后敲定普通年金終值計算公式為FVAi,n,=A,i,(1+i)n+1 -1,（1）普通年金終值總結,我們對普通年金終值

5、的計算公式進行如下總結,FVAi,n,=A,(1+i)t-1,=A FVIFAi,n,=A,i,(1+i)n+1 -1,（2）普通年金現(xiàn)值,說白了，就是計算讓每次投入的A退回到第一期期初（也就是線段最左端點）的現(xiàn)值總和。,推導：PVAi,n=A,+,A,+,A,+ +,A,=A,（2）普通年金現(xiàn)值,剛才的結論是下面這個公式,PVAi,n=A,注：,就是傳說中的年金現(xiàn)值系數(shù)：PVIFAi,n=,因此，年金現(xiàn)值計算公式又可以寫成,PVAi,n=A PVIFAi,n,（2）普通年金現(xiàn)值,PVAi,n=A,=A,1-,1-,=A,i,1-,我們將繼續(xù)利用等比數(shù)列求和公式分解,（2）普通年金現(xiàn)值,這樣，

6、又誕生了一個變形后的公式,計算公式：PVAi,n,=A,i,1-,這樣，年金現(xiàn)值系數(shù)就變成了：PVIFAi,n=,i,1-,最后敲定普通年金現(xiàn)值計算公式為PVAi,n,=A,i,1-,(1+i)n,1,（1）普通年金現(xiàn)值總結,我們對普通年金終值的計算公式進行如下總結,PVAi,n,=A,=A PVIFAi,n,=A,i,1-,2、即付年金,即付年金：又叫先付年金，或預付年金，是指各期期初預付的年金。,A,A,A,A,A,A,A,A,A,總共n期,（1）即付年金終值,說白了，就是計算每次投入的A在第n期期末（也就是線段最右端點）的終值總和。,推導： XFVAi,n=A(1+i)+A(1+i)2+

7、A(1+i)n,=A,(1+i)t,還記得普通年金的終值嗎？它僅僅是指數(shù)變成了t-1,（1）即付年金終值,剛才的結論是下面這個公式,計算公式：XFVAi,n,=A,(1+i)t,我們先不要急著求和，看看即付年金和普通年金的計算公式如何轉化。,A,(1+i)t,和,A,(1+i)t-1,之間的轉化,即,（1）即付年金終值,暫時把A拋在一邊，看這兩個求和,(1+i)t,(1+i)t-1,=,(1+i)+(1+i)2+(1+i)n,=,1+(1+i)+(1+i)2+(1+i)n-1,很明顯,(1+i)t,=,(1+i)t-1 (1+i),（1）即付年金終值,所以，,XFVAi,n = FVAi,n

8、(1+i),這一步告訴我們，即付年金終值是普通年金終值的(1+i)倍，在財務上可以理解為多計算了一期的終值，因此，在計算即付年金終值時，通常是轉化為普通年金終值，并查閱年金終值系數(shù)表而確定的，而年金終值系數(shù)表本身就是普通年金的終值系數(shù)，因此這里的公式就顯得尤為重要。,（1）即付年金終值,現(xiàn)在我們來對即付年金終值進行等比數(shù)列求和。,XFVAi,n,=A,(1+i)t,=A,1-(1+i),1-(1+i)n,(1+i),=A,i,(1+i)n+1-(1+i),=A,i,(1+i)n+1-1,-A,=A,i,(1+i)n+1-1,-1,（1）即付年金終值,不知道大家是否清楚我為什么要把A后面的部分整

9、個括起來，聰明的人應該明白，要把它看成系數(shù)，恩，很好。,i,(1+i)n+1-1,是什么？再次回想普通年金終值，看出來沒？,是的，我知道你看出來了！中括號里的內容就是,n+1期的普通年金終值系數(shù)FVIFAi,n+1,（1）即付年金終值,我們再次把公式寫出來看看,XFVAi,n = FVAi,n+1-A,可以再次從財務角度來解釋一下這個公式，其實，n期即付年金的終值就是n+1期普通年金的終值去掉一期的償債基金后所得。換句話說，如果即付年金終值也有系數(shù)，那么即付年金終值系數(shù)比普通年金終值系數(shù)的期數(shù)多1期，但是系數(shù)值少1。,（1）即付年金終值總結,最后，我們把即付年金終值的所有公式進行總結,XFVA

10、i,n,=A,(1+i)t,=A,i,(1+i)n+1-1,-A,= FVAi,n (1+i),= FVAi,n+1-A,（2）即付年金現(xiàn)值,說白了，就是計算每次投入的A退回到第一期期初（也就是線段最左端點）的現(xiàn)值總和。,推導：XPVAi,n=A+A,1+i,1,+A,(1+i)2,1,+ A,(1+i)n-1,1,=A,(1+i)t-1,1,還記得普通年金的現(xiàn)值嗎？同樣僅僅是指數(shù)變成了t-1,（2）即付年金現(xiàn)值,剛才的結論是下面這個公式,計算公式：XPVAi,n,我們先不要急著求和，和計算終值的時候一樣，看看即付年金和普通年金的計算公式如何轉化。,A,和,A,之間吧！,即,=A,（2）即付年

11、金現(xiàn)值,暫時把A拋在一邊，看這兩個求和,=,=,(1+i),1,(1+i)2,1,+,+,(1+i)n,1,(1+i),1,(1+i)2,1,+,+,(1+i)n-1,1,很明顯,=,(1+i),（2）即付年金現(xiàn)值,所以，,XPVAi,n = PVAi,n (1+i),這一步同樣告訴我們，即付年金現(xiàn)值是普通年金現(xiàn)值的(1+i)倍，在財務上可以理解為少計算了一期的現(xiàn)值，因此，在計算即付年金現(xiàn)值時，通常是轉化為普通年金現(xiàn)值，并查閱年金現(xiàn)值系數(shù)表而確定的，而年金現(xiàn)值系數(shù)表本身就是普通年金的現(xiàn)值系數(shù)，因此這里的公式就顯得尤為重要。,現(xiàn)在我們來對即付年金現(xiàn)值進行等比數(shù)列求和。,（2）即付年金現(xiàn)值,XPV

12、Ai,n,=A,=A,1-,(1+i),1,1-,(1+i)n,1,1= A,i,分子分母同乘(1+i),1-,(1+i)n-1,1,+A,（2）即付年金現(xiàn)值,如果把A提到外面來，另一邊將變成什么？,XPVAi,n,= A,i,1-,(1+i)n-1,1,+1,回憶一下普通年金現(xiàn)值系數(shù)，可知，中括號里就可以變成PVIFAi,n-1+1了。,（2）即付年金現(xiàn)值,我們再次把公式寫出來看看,XPVAi,n=,PVIFAi,n-1+A,仍然可以再從財務角度來解釋一下這個公式，n期即付年金的現(xiàn)值就是n-1期普通年金的現(xiàn)值增加一期的償債基金后所得。換句話說，如果即付年金也有現(xiàn)值系數(shù)，那么即付年金的現(xiàn)值系數(shù)

13、比普通年金系數(shù)的期數(shù)少1期，但是系數(shù)值多1。,（2）即付年金現(xiàn)值,最后，我們把即付年金現(xiàn)值的所有公式進行總結,XPVAi,n,=A,= A,i,1-,(1+i)n-1,1,+A,= PVAi,n (1+i),=PVIFAi,n-1+A,3、遞延年金,遞延年金：又叫延期年金，是指前面m期不付，后面n期每期期末交付，直到最后一期期末的年金。,A,A,A,A,A,A,支付n期,m期,（1）遞延年金終值,由于后面n期按照普通年金的方式完成支付，那么遞延年金的終值實際上就是n期普通年金的終值。,Pn,=A,(1+i)t-1,=A FVIFAi,n,=A,i,(1+i)n+1 -1,這里，對于遞延年金的終

14、值就不進行總結了。,（2）遞延年金現(xiàn)值,首先我想說，遞延年金現(xiàn)值有兩種計算方法，不知道讀者你有沒有看出來？ 第一種，前面m期不看，可以直接計算出后面n期在它本身的期初（不是總共m+n期的期初哦?。┑默F(xiàn)值，就是上上頁線段的前m期最后一個端點，同時也是后n期的最左邊端點，然后將這個值看成前m期的終值，調整到前m期期初，即整個線段最左端點即可。 第二種，看成是m+n期的普通年金，計算出現(xiàn)值以后，減去前m期并未支付的那些現(xiàn)值，剩下的也是遞延年金的現(xiàn)值。,（2）遞延年金現(xiàn)值,第一種方法,P0,=A PVIFAi,n,=A,i,1-,P0= P0,(1+i)m,1,=A PVIFAi,nPVIFi,m,你

15、看到了什么？復利現(xiàn)值系數(shù)?。?（2）遞延年金現(xiàn)值,第二種方法,P0,=A PVIFAi,m+n,=A,i,1-,(1+i)m+n,1,P0= P0-Pm,=A PVIFAi,m+n-A PVIFAi,m,（2）遞延年金現(xiàn)值,為了驗證這兩種方法是殊途同歸，我們來算一算。,P0=A PVIFAi,nPVIFi,m,=A,i,1-,(1+i)m,1,=A,(1+i)m,1,-,(1+i)m+n,1,第 一 種 方 法,i,1,（2）遞延年金現(xiàn)值,P0 =A PVIFAi,m+n-A PVIFAi,m,=A,i,1-,(1+i)m+n,1,- A,i,1-,=A,(1+i)m,1,-,(1+i)m+n,1,i,1,第 二 種 方 法,（2）遞延年金現(xiàn)值總結,很明顯，兩種方法計算出的結果是一樣的。,計算