定積分的應(yīng)用(體積、旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積)

1、1,例1. 求由擺線,的一拱與 x 軸所圍平面圖形的面積 .,解:,2,例2. 計(jì)算心形線,與圓,所圍圖形的面積 .,解: 利用對稱性 ,所求面積,3,例3. 求雙紐線,所圍圖形面積 .,解: 利用對稱性 ,則所求面積為,思考: 用定積分表示該雙紐線與圓,所圍公共部分的面積 .,答案:,二、體積,7,特別 , 當(dāng)考慮連續(xù)曲線段,軸旋轉(zhuǎn)一周圍成的立體體積時(shí),有,當(dāng)考慮連續(xù)曲線段,繞 y 軸旋轉(zhuǎn)一周圍成的立體體積時(shí),有,8,例2計(jì)算由橢圓,所圍圖形繞 x 軸旋轉(zhuǎn)而,轉(zhuǎn)而成的橢球體的體積.,解: 方法1 利用直角坐標(biāo)方程,則,(利用對稱性),9,方法2 利用橢圓參數(shù)方程,則,特別當(dāng)b = a 時(shí),

2、就得半徑為a 的球體的體積,14,例5. 計(jì)算擺線,的一拱與 y0,所圍成的圖形分別繞 x 軸 , y 軸旋轉(zhuǎn)而成的立體體積 .,解: 繞 x 軸旋轉(zhuǎn)而成的體積為,利用對稱性,15,繞 y 軸旋轉(zhuǎn)而成的體積為,注意上下限 !,注,16,分部積分,注,(利用“偶倍奇零”),17,柱殼體積,說明:,柱面面積,18,偶函數(shù),奇函數(shù),21,例7 設(shè),在 x0 時(shí)為連續(xù)的非負(fù)函數(shù), 且,形繞直線 xt 旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)體體積 ,證明:,證:,利用柱殼法,則,故,22,設(shè)平面圖形 A 由,與,所確定 , 求,圖形 A 繞直線 x2 旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積 .,提示：,選 x 為積分變量.,旋轉(zhuǎn)體的體積為

3、,例8.,若選 y 為積分變量, 則,23,設(shè)平面光滑曲線,求,積分后得旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積,它繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)曲面的側(cè)面積 .,取側(cè)面積元素:,24,側(cè)面積元素,的線性主部 .,若光滑曲線由參數(shù)方程,給出,則它繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的,不是薄片側(cè)面積S 的,注意:,側(cè)面積為,25,例9. 計(jì)算圓,x 軸旋轉(zhuǎn)一周所得的球臺的側(cè)面積 S .,解: 對曲線弧,應(yīng)用公式得,當(dāng)球臺高 h2R 時(shí), 得球的表面積公式,26,例10. 求由星形線,一周所得的旋轉(zhuǎn)體的表面積 S .,解: 利用對稱性,繞 x 軸旋轉(zhuǎn),27,星形線,星形線是內(nèi)擺線的一種.,點(diǎn)擊圖片任意處 播放開始或暫停,大圓半徑 Ra,小圓半徑,參數(shù)的幾何意義,(當(dāng)小圓在圓內(nèi)沿圓周滾動,時(shí), 小圓上