彈性力學(xué)―第四章―平面問(wèn)題的極坐標(biāo)解答

1、第四章 平面問(wèn)題的極坐標(biāo)解答,彈 性 力 學(xué) 及 有 限 元,二零一八年五月,極坐標(biāo)中的應(yīng)力分量,x,y,o,由徑向線和圓弧線圍成的圓形，扇形等彈性體，適合用極坐標(biāo)求解。,與直角坐標(biāo)的區(qū)別： 坐標(biāo)的量綱不同。 坐標(biāo)的方向不同。,與直角坐標(biāo)的相同處： 應(yīng)力與體力的正負(fù)號(hào)規(guī)定相同。 切應(yīng)力互等。,極坐標(biāo)中的平衡方程（1）,x,y,o,極坐標(biāo)中的平衡方程（2）,x,y,o,x,y,o,P,A,P,A,B,B,C,極坐標(biāo)中的幾何方程（1） 假定只有徑向位移,x,y,o,P,A,B,極坐標(biāo)中的幾何方程（2） 假定只有環(huán)向位移,極坐標(biāo)中的幾何方程（3） 純徑向位移下的線應(yīng)變,很小，導(dǎo)致PC與PB的差別可以

2、忽略，因此：,極坐標(biāo)中的幾何方程（4） 純徑向位移下的切應(yīng)變,在僅有徑向位移的情況下，段PA沒(méi)有轉(zhuǎn)動(dòng)，因此：,B,P,A,x,y,o,P,A,B,極坐標(biāo)中的幾何方程（5） 純環(huán)向位移下的線應(yīng)變,D,D,很小，導(dǎo)致PA與PA的差別可以忽略，因此：,B,P,A,x,y,o,P,A,B,極坐標(biāo)中的幾何方程（6） 純環(huán)向位移下的切應(yīng)變,D,D,極坐標(biāo)中的幾何方程（7）,將純環(huán)向與純徑向位移的結(jié)果相加得極坐標(biāo)中的幾何方程：,極坐標(biāo)中的物理方程,極坐標(biāo)中的物理方程與直角坐標(biāo)中的物理方程形式一樣，只需將直角坐標(biāo) x 和 y 換成 和 即可，如平面應(yīng)力問(wèn)題的物理方程為：,換為,換為,對(duì)于平面應(yīng)變問(wèn)題：,極坐標(biāo)

3、中的應(yīng)力函數(shù)與相容方程（1）,為了簡(jiǎn)化推導(dǎo)，可以將直角坐標(biāo)的公式直接變換到極坐標(biāo)中來(lái)，為此，我們需要如下關(guān)系式：,極坐標(biāo)中的應(yīng)力函數(shù)與相容方程（2）,建立直角坐標(biāo)中的應(yīng)力函數(shù)與極坐標(biāo)中應(yīng)力函數(shù)的關(guān)系：,極坐標(biāo)中的應(yīng)力函數(shù)與相容方程（3）,證明以上應(yīng)力分量滿(mǎn)足平衡方程。,極坐標(biāo)中的應(yīng)力函數(shù)與相容方程（4）,代入直角坐標(biāo)中的相容方程：,將環(huán)向正應(yīng)力與徑向正應(yīng)力相加：,得到極坐標(biāo)中的相容方程：,注：當(dāng)不計(jì)體力時(shí)，在極坐標(biāo)中按應(yīng)力求解平面問(wèn)題需要滿(mǎn)足相容方程，應(yīng)力邊界條件以及位移單值條件。,應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換式（1）,應(yīng)力分量在直角坐標(biāo)系與極坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換需要建立兩者之間的關(guān)系。,x,y,o,B,A

4、,設(shè)A中斜邊上的面積為ds,則由A中徑向上的力平衡，得到：,應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換式（2）,應(yīng)力分量在直角坐標(biāo)系與極坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換需要建立兩者之間的關(guān)系。,簡(jiǎn)化后得到：,應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換式（3）,應(yīng)力分量在直角坐標(biāo)系與極坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換需要建立兩者之間的關(guān)系。,由A中環(huán)向上的力平衡，得到：,應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換式（4）,應(yīng)力分量在直角坐標(biāo)系與極坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換需要建立兩者之間的關(guān)系。,由B中環(huán)向上的力平衡，得到：,應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換式（5）,整理結(jié)果如下：,軸對(duì)稱(chēng)應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)力（1）,所謂軸對(duì)稱(chēng)，是指物體的形狀或某物理量是繞一軸對(duì)稱(chēng)的，凡通過(guò)對(duì)稱(chēng)軸的任何面都是對(duì)稱(chēng)面。因此，軸對(duì)稱(chēng)應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)

5、力分量只與徑向坐標(biāo)有關(guān)而與環(huán)向坐標(biāo)無(wú)關(guān)，而應(yīng)力函數(shù)只是徑向坐標(biāo)的函數(shù)，即：,簡(jiǎn)化相容方程：,軸對(duì)稱(chēng)應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)力（2）,軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題的拉普拉斯算子可以寫(xiě)成：,代入相容方程：,得到：,軸對(duì)稱(chēng)應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)力（3）,積分四次得到應(yīng)力函數(shù)：,軸對(duì)稱(chēng)應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)力（4）,軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題的應(yīng)力分量函數(shù)：,軸對(duì)稱(chēng)應(yīng)力狀態(tài)下的位移（1）,由物理方程可由應(yīng)力分量得到應(yīng)變分量：,軸對(duì)稱(chēng)應(yīng)力狀態(tài)下的位移（2）,由幾何方程可由應(yīng)變分量得到位移分量：,軸對(duì)稱(chēng)應(yīng)力狀態(tài)下的位移（3）,軸對(duì)稱(chēng)應(yīng)力狀態(tài)下的位移（4）,將以上得到的環(huán)向徑向位移代入切應(yīng)變的幾何方程：,得到：,軸對(duì)稱(chēng)應(yīng)力狀態(tài)下的位移（4）,分離變量以便求得未知函數(shù)

6、的形式：,軸對(duì)稱(chēng)應(yīng)力狀態(tài)下的位移（5）,軸對(duì)稱(chēng)應(yīng)力狀態(tài)下的位移（6）,代入,得到,軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題小結(jié),以上是軸對(duì)稱(chēng)應(yīng)力狀態(tài)下，應(yīng)力分量和位移分量的一般表達(dá)式，適用任何軸對(duì)稱(chēng)應(yīng)力問(wèn)題。其中，待定系數(shù)將由應(yīng)力邊界條件，位移邊界條件和位移單值條件確定。若位移邊界條件也是軸對(duì)稱(chēng)的，則位移也是軸對(duì)稱(chēng)的。,圓環(huán)或圓筒受均布?jí)毫Γ?）,邊界條件：,圓環(huán)或圓筒受均布?jí)毫Γ?）,兩個(gè)方程三個(gè)未知數(shù)，不能求解A，B，C。因此，需引入位移單值條件：,圓環(huán)或圓筒受均布?jí)毫Γ?）,因此，得到圓筒受均勻壓力的拉梅（ G.Lame,17951870 ，法國(guó)）解答：,圓環(huán)或圓筒受均布?jí)毫Γ?）,若只有內(nèi)壓力，則徑向正應(yīng)力為壓應(yīng)力

7、，而環(huán)向正應(yīng)力為拉應(yīng)力。,另外，若R無(wú)窮大，即在無(wú)限大薄板中有一圓孔，或在無(wú)限大彈性體中有一孔道，則：,注：遠(yuǎn)離孔口處應(yīng)力很小，可以不計(jì)。,壓力隧洞（1）,設(shè)有圓筒，埋在無(wú)限大彈性體中，受有均布?jí)毫，圓筒和無(wú)限大彈性體的彈性常數(shù)分別為E，和E，。圓筒內(nèi)外徑分別為r和R。 無(wú)限大彈性體可看成是內(nèi)徑為R而外徑為無(wú)限大的圓筒。,壓力隧洞（2）,圓筒,無(wú)限大彈性體,軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題環(huán)向位移的一般解答：,圓筒,無(wú)限大彈性體,壓力隧洞（3）,由應(yīng)力邊界條件得：,1. 圓筒內(nèi)壁：,2. 無(wú)限大彈性體離 圓筒無(wú)限遠(yuǎn)處：,3. 接觸面：,壓力隧洞（4）,由位移邊界條件得：,4. 接觸面：,平面應(yīng)力狀態(tài)下軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題的

8、徑向位移解答：,平面應(yīng)變狀態(tài)下軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題的徑向位移解答：,壓力隧洞（5）,徑向位移解答：,4. 接觸面：,壓力隧洞（6）,應(yīng)力分量的最終解答：,小結(jié)：該問(wèn)題是最簡(jiǎn)單的接觸問(wèn)題，屬于完全接觸問(wèn)題。在接觸面上，兩彈性體的正應(yīng)力與切應(yīng)力相等，法向與切向位移也相等。 光滑接觸屬于非完全接觸，在接觸面上，兩彈性體的正應(yīng)力與法向位移相等，而切向位移不相等。此外，還有摩擦滑移接觸，在法向上，正應(yīng)力及位移相等，在切向上，則達(dá)到極限滑移狀態(tài)而產(chǎn)生移動(dòng)，此時(shí)兩彈性體的切應(yīng)力都等于極限摩擦力。,圓孔孔口應(yīng)力集中（1）,本節(jié)研究小孔口問(wèn)題，即孔口尺寸遠(yuǎn)小于彈性體尺寸，并且孔邊距彈性體邊界也較遠(yuǎn)。,x,y,孔口附近的應(yīng)

9、力遠(yuǎn)大于無(wú)孔時(shí)的應(yīng)力，也遠(yuǎn)大于距孔口較遠(yuǎn)處的應(yīng)力，這種現(xiàn)象叫孔口應(yīng)力集中。,圓孔孔口應(yīng)力集中（2） 四邊受拉力,以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，以遠(yuǎn)大于圓孔半徑r的長(zhǎng)度R作一個(gè)大圓，如虛線所示。則直角坐標(biāo)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)問(wèn)題。,由極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)應(yīng)力分量的轉(zhuǎn)換公式：,在虛線上的任意一點(diǎn)的直角坐標(biāo)應(yīng)力分量為：,在虛線圓上：,圓孔孔口應(yīng)力集中（3） 四邊受拉力,q,0,-q,圓孔孔口應(yīng)力集中（4） 四邊受拉力,R遠(yuǎn)大于r,則r/R=0,矩形薄板在離開(kāi)邊界較遠(yuǎn)處有圓孔，在四邊受均布拉力的引力分量函數(shù)：,圓孔孔口應(yīng)力集中（5） 左右兩邊受拉力，上下兩邊受壓力,由極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)應(yīng)力分量的轉(zhuǎn)換公式：,外邊界上的邊界條

10、件,內(nèi)邊界上的邊界條件,圓孔孔口應(yīng)力集中（6） 左右兩邊受拉力，上下兩邊受壓力,圓孔孔口應(yīng)力集中（7） 左右兩邊受拉力，上下兩邊受壓力,圓孔孔口應(yīng)力集中（8） 左右兩邊受拉力，上下兩邊受壓力,代入相容方程,圓孔孔口應(yīng)力集中（9） 左右兩邊受拉力，上下兩邊受壓力,q,x,y,A,q,q,q,圓孔孔口應(yīng)力集中（10） 左右兩邊受拉力，上下兩邊受壓力,代入,圓孔孔口應(yīng)力集中（11） 左右兩邊受拉力，上下兩邊受壓力,左右兩邊受拉力，上下兩邊受壓力，離邊界較遠(yuǎn)處有圓孔的應(yīng)力分量函數(shù)：,圓孔孔口應(yīng)力集中（12） 載荷的組合,左右兩邊受一種拉力，上下兩邊受另一種拉力的薄板，可認(rèn)為是以下兩種載荷的組合。,圓孔

11、孔口應(yīng)力集中（12） 載荷的組合,A,q/2,q/2,q/2,q/2,左右兩邊受拉力，上下兩邊不受拉力的薄板，可認(rèn)為是以下兩種載荷的組合。,圓孔孔口應(yīng)力集中（13） 載荷的組合,圓孔孔口應(yīng)力集中（14） 載荷的組合,注：另外兩個(gè)應(yīng)力分量在孔邊為零。,圓孔孔口應(yīng)力集中（15） 載荷的組合,注：孔邊應(yīng)力是均勻應(yīng)力的三倍,圓孔孔口應(yīng)力集中（15） 載荷的組合,x,y,A,小孔口問(wèn)題小結(jié)（1）,小孔口問(wèn)題的特點(diǎn)：,1.集中性，孔附近的應(yīng)力遠(yuǎn)大于較遠(yuǎn)處的應(yīng)力。 2.局部性，孔口附近的應(yīng)力擾動(dòng)主要發(fā)生在距孔邊1.5倍孔口尺寸的范圍內(nèi)。在此區(qū)域外，由于開(kāi)孔引起的應(yīng)力擾動(dòng)一般小于5%，可以忽略不計(jì)。,注：圓孔

12、的應(yīng)力集中程度較低，有凹尖角的孔口應(yīng)力集中程度較高，因此，在設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)時(shí)應(yīng)盡量避免有凹尖角的孔口。,小孔口問(wèn)題小結(jié)（2）,如有任意形狀的薄板，受有任意面力，而在距邊界較遠(yuǎn)處有一小圓孔，那么只要有了無(wú)孔時(shí)的應(yīng)力解答，也就可以計(jì)算孔邊的應(yīng)力，其過(guò)程如下： 1.求出無(wú)孔時(shí)相應(yīng)于圓孔中心的應(yīng)力分量， 2.由平面中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，求得兩個(gè)主應(yīng)力的方向和大小。 3.將兩個(gè)主應(yīng)力認(rèn)為是在兩個(gè)方向上的均布載荷，則根據(jù)上面的疊加法可求得孔邊應(yīng)力。,半面體在邊界上受集中力（1）,設(shè)有半面體受集中力，如右圖所示。其中F為單位厚度上所受的力，量綱為MT2。,o,半面體在邊界上受集中力（2）,代入極坐標(biāo)中的相容方程：,得

13、到：,o,半面體在邊界上受集中力（3）,代入：,x,y,應(yīng)力函數(shù)中的常數(shù)以及關(guān)于坐標(biāo)的一次項(xiàng)略去后不影響應(yīng)力分量的計(jì)算。,o,半面體在邊界上受集中力（4）,o,半面體在邊界上受集中力（5）,邊界條件：在o點(diǎn)之外的ac面上，沒(méi)有任何的法向或者切向的面力，因此，上式中的后兩個(gè)方程完全滿(mǎn)足邊界條件。,o,半面體在邊界上受集中力（6）,在o點(diǎn)附近切出一部分脫離體oabc，運(yùn)用圣維南原理：,o,半面體在邊界上受集中力（7）,半面體在邊界上受垂直集中力（1）,a,b,c,F,o,當(dāng)F垂直于直線邊界時(shí)：,半面體在邊界上受垂直集中力（2）,將上式中的三角函數(shù)用直角坐標(biāo)表示就可以得到直角坐標(biāo)下的該問(wèn)題的應(yīng)力分量函數(shù)。,半面體在邊界上受垂直集中力（3）,半面體在邊界上受垂直集中力（4）,半面體在邊界上受垂直集中力（5）,半面體在邊界上受垂直集中力（6）,半面體在邊界上受垂直集中力（7）,注：常數(shù)I不能確定，因?yàn)樗砹税朊骟w在鉛直方向上的剛體位移。如果在鉛直方向上有約束，則可以確定I值。,半面體在邊界上受垂直集中力（8）,M點(diǎn)的沉陷：,M點(diǎn)相對(duì)B點(diǎn)的沉陷：,本節(jié)中的解答被稱(chēng)為符拉芒（Alfred-Aim Flamant（18391914-1918），法國(guó)）解答。,半面體在邊界上受分布力（1）,半面體在邊界上受分布力作用時(shí)的應(yīng)力和沉陷是由上節(jié)中半面體在邊界上受集中力作用時(shí)的應(yīng)力和