高中數(shù)學(xué)解析幾何雙曲線性質(zhì)與定義

1、雙曲線雙曲線是圓錐曲線的一種，即雙曲線是圓錐面與平行于軸的平面相截而得的曲線。 雙曲線在一定的仿射變換下，也可以看成反比例函數(shù)。雙曲線有兩個(gè)定義，一是與平面上兩個(gè)定點(diǎn)的距離之差的絕對值為定值的點(diǎn)的軌跡，二是到定點(diǎn)與定直線的距離之比是一個(gè)大于1的常數(shù)的點(diǎn)之軌跡。 一、雙曲線的定義雙曲線的第一定義一動(dòng)點(diǎn)移動(dòng)于一個(gè)平面上，與該平面上兩個(gè)定點(diǎn)f1、f2的距離之差的絕對值始終為一定值2a(2a小于f1和f2之間的距離即2a2c）時(shí)所成的軌跡叫做雙曲線。取過兩個(gè)定點(diǎn)f1、f2的直線為x軸，線段f1f2的垂直平分線為y軸建立直角坐標(biāo)系。設(shè)m(x，y)為雙曲線上任意一點(diǎn)，那么f1、f2的坐標(biāo)分別是(-c，0)

2、、(c，0)又設(shè)點(diǎn)m與f1、f2的距離的差的絕對值等于常數(shù)2a。將這個(gè)方程移項(xiàng)，兩邊平方得：兩邊再平方，整理得：由雙曲線定義，2c2a 即ca，所以c2-a20設(shè) (b0)，代入上式得：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：兩個(gè)定點(diǎn)f1,f2叫做雙曲線的左，右焦點(diǎn)。兩焦點(diǎn)的距離叫焦距，長度為2c。坐標(biāo)軸上的端點(diǎn)叫做頂點(diǎn)，其中2a為雙曲線的實(shí)軸長，2b為雙曲線的虛軸長。實(shí)軸長、虛軸長、焦距間的關(guān)系：，雙曲線的第二定義與橢圓的方法類似：對于雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：，我們將代入，可得：所以有：雙曲線的第二定義可描述為：平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（x,y）到定點(diǎn)(c,0)的距離與到定直線()的距離之比為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是雙曲線，其中，定點(diǎn)叫

3、做雙曲線的焦點(diǎn)，定直線叫做雙曲線的準(zhǔn)線，常數(shù)是雙曲線的離心率。1、離心率：（1）定義：雙曲線的焦距與實(shí)軸長的比，叫做雙曲線的離心率；（2）范圍：；（3）雙曲線形狀與的關(guān)系：；因此越大，即漸近線的斜率的絕對值就大，這是雙曲線的形狀就從扁狹逐漸變得開闊。由此可知，雙曲線的離心率越大，它的開口就越闊； （1）雙曲線的形狀張口隨著漸近線的位置變化而變化；（2）漸近線的位置(傾斜)情況又受到其斜率制約；2、準(zhǔn)線方程：對于來說，相對于左焦點(diǎn)對應(yīng)著左準(zhǔn)線，相對于右焦點(diǎn)對應(yīng)著右準(zhǔn)線；位置關(guān)系：，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離（也叫焦參數(shù)）；對于來說，相對于下焦點(diǎn)對應(yīng)著下準(zhǔn)線；相對于上焦點(diǎn)對應(yīng)著上準(zhǔn)線。3、雙曲線的焦半徑：雙

4、曲線上任意一點(diǎn)與雙曲線焦點(diǎn)的連線段，叫做雙曲線的焦半徑。設(shè)雙曲線，是其左右焦點(diǎn)， ，；同理 ；即：焦點(diǎn)在軸上的雙曲線的焦半徑公式：其中分別是雙曲線的左（下）、右（上）焦點(diǎn)同理：焦點(diǎn)在軸上的雙曲線的焦半徑公式：二、雙曲線的性質(zhì)1、軌跡上一點(diǎn)的取值范圍：（焦點(diǎn)在x軸上）或者（焦點(diǎn)在y軸上）。 2、對稱性：關(guān)于坐標(biāo)軸和原點(diǎn)對稱。 3、頂點(diǎn)：a(-a,0)， a(a,0)。同時(shí) aa叫做雙曲線的實(shí)軸且aa=2a； b(0,-b)， b(0,b)。同時(shí) bb叫做雙曲線的虛軸且bb=2b。 4、漸近線： 由，當(dāng)所以：雙曲線的漸近線方程為：焦點(diǎn)在x軸：，焦點(diǎn)在y軸： 5、雙曲線焦半徑公式：（圓錐曲線上任意一

5、點(diǎn)p(x,y)到焦點(diǎn)距離） 右焦半徑：r=ex-a 左焦半徑：r=ex+a 6、共軛雙曲線 雙曲線s: ，雙曲線 雙曲線s的實(shí)軸是雙曲線s的虛軸 且雙曲線s的虛軸是雙曲線s的實(shí)軸時(shí)，稱雙曲線s與雙曲線s為共軛雙曲線。 特點(diǎn)： （1）共漸近線 （2）焦距相等 （3）兩雙曲線的離心率平方后的倒數(shù)相加等于1 7. 焦點(diǎn)到一條漸近線的距離特別如圖2可知：雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)到一條漸近線的距離等于半短軸長這個(gè)性質(zhì)很重要三、例題求解：例1：已知雙曲線的漸近線是，我們可以判斷直線與雙曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)當(dāng)直線的斜率時(shí)，如果，顯然它就是漸近線，與雙曲線沒有任何交點(diǎn)，如果，則它與雙曲線有一個(gè)只有一個(gè)交點(diǎn)。當(dāng)直線的斜率時(shí)，

6、則與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)。當(dāng)直線的斜率時(shí)，則與與雙曲線沒有交點(diǎn)例2已知直線與雙曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，試確定的范圍解：由可得，從而，解得又因?yàn)榈臐u近線方程是，所以.故例3已知雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離是其頂點(diǎn)到原點(diǎn)距離是2倍，則有雙曲線的離心率是 解：由已知可知,所以例4 雙曲線上一點(diǎn)與左右焦點(diǎn)構(gòu)成，求的內(nèi)切圓與邊的切點(diǎn)的坐標(biāo)。分析：設(shè)點(diǎn)在已知雙曲線的右支上，要求點(diǎn)的坐標(biāo)。即求的長度，而，其中，只需求的長度，即是圓的一條切線長，可用平面幾何知識（切線長定理）求解。解：設(shè)點(diǎn)在已知雙曲線的右支上，由題意得，又，又，當(dāng)點(diǎn)在已知雙曲線的右支上時(shí)，切點(diǎn)為頂點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)在已知雙曲線的左支上時(shí)，切點(diǎn)為頂點(diǎn)例5 已知是

7、雙曲線的左右焦點(diǎn)，在雙曲線的左支上，求的值分析：如右圖，先做出的內(nèi)切圓，則切于點(diǎn)，等于內(nèi)切圓的半徑。且，解：做出的內(nèi)切圓，則切于點(diǎn)，例6 設(shè)是曲線:的焦點(diǎn)， 為曲線:與的一個(gè)交點(diǎn)，則的值分析：利用雙曲線及橢圓的定義找出、之間的關(guān)系。解析：設(shè)，不妨設(shè)，顯然橢圓和雙曲線共焦點(diǎn)，由橢圓和雙曲線的定義可知且，在三角形中，由余弦定理可知例7 已知是雙曲線的左右焦點(diǎn)，過作傾斜角為的直線交雙曲線右支于點(diǎn)，若垂直于軸，求雙曲線的離心率.解析：由題意的，由定義知，則。例8 已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為若雙曲線上存在一點(diǎn)使得，求雙曲線離心率的范圍。解析：由雙曲線的定義，在中，結(jié)合雙曲線的圖像，即例9 已知雙曲線的左

8、右焦點(diǎn)分別為，以為直徑的圓與雙曲線交于不同的四個(gè)點(diǎn)，順次連接焦點(diǎn)和這四個(gè)頂點(diǎn)恰好組成一個(gè)正六邊形，求雙曲線的離心率。解析：設(shè)為圓與雙曲線在第二象限的交點(diǎn)，則，在中，例10 已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，為雙曲線上任意一點(diǎn)，的內(nèi)角平分線為，過的垂線m，設(shè)垂足為，求點(diǎn)的軌跡。解析：延長交于由角平分線及垂直關(guān)系得，有是的中位線，從而，故為定值，即點(diǎn)的軌跡是以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓（去掉與軸的交點(diǎn)）方程為例11、已知：，：，若與內(nèi)切與外切，求的圓心的軌跡方程。解析：，圓心，半徑，：圓心，半徑，由題意的，。，即是以為焦點(diǎn)的雙曲線的左支。，。點(diǎn)的軌跡為例12、已知是雙曲線的左右焦點(diǎn)，是雙曲線內(nèi)部一點(diǎn)，為

9、雙曲線左支上一點(diǎn)，求的最小值解析：雙曲線的定義，即當(dāng)且僅當(dāng)、三點(diǎn)共線時(shí)“”成立。例13、已知雙曲線方程為兩焦點(diǎn)分別為設(shè)焦點(diǎn)三角形中證明：。證明又綜上例14一個(gè)動(dòng)圓與兩個(gè)圓x2y2=1和x2y28x12=0都外切，則動(dòng)圓圓心的軌跡是（ ）、已知兩圓，動(dòng)圓m與兩圓都相切，則動(dòng)圓圓心m的軌跡方程。例15、設(shè)是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線上，若點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于，求點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離。分析：已知雙曲線上的點(diǎn)到一個(gè)焦點(diǎn)的距離，求該點(diǎn)到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離是雙曲線第一定義的直接利用形式。解析：由及，得 或。由， 知右支的頂點(diǎn)到的距離為，而已知，說明點(diǎn)在左支上，此時(shí)，所以，點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為。點(diǎn)評：此類問題可以是一

10、解，也可以是兩解，如：當(dāng)時(shí)，有兩解；當(dāng)時(shí)，有一解，因此，對運(yùn)算結(jié)果必須做合理性分析。例16、如圖，雙曲線其焦點(diǎn)為，過作直線交雙曲線的左支于兩點(diǎn)，且，則的周長為 。分析：本題中，都是焦半徑，而的周長恰好是這四條焦半徑之和，應(yīng)用第一定義便可得。解析：由；由，； 故的周長為。點(diǎn)評：本題結(jié)合定義，求出，再求周長，簡便易行；假如本題未給圖形及條件“過作直線交雙曲線的左支于兩點(diǎn)”中“左支”兩字，情況又會(huì)怎樣呢？例17、已知雙曲線的左、右兩焦點(diǎn)分別為，為雙曲線上一點(diǎn)，若，且，求的面積。分析：欲求面積，首先要確定的值，由第一定義及可以構(gòu)成方程組，通過方程組求得及的值。解析：由，又或，由于，得，又，即，從而得，

11、因?yàn)榍?，得或；若，則，此時(shí)，不合題意；若，則，此時(shí)，符合題意；那么，從而故的面積為點(diǎn)評：本題考查的是雙曲線的定義及常規(guī)的運(yùn)算能力；運(yùn)算過程既要用要方程思想又要注重分類討論思想，體現(xiàn)了重思維、輕運(yùn)算量這一大綱要求。例18、解方程分析：對第一個(gè)式子配方，得。聯(lián)想兩點(diǎn)間的距離公式，可設(shè)，此時(shí)變?yōu)?，問題即可解決。解析：原方程可變?yōu)椋?，則方程以變?yōu)?，顯然，點(diǎn)在以，為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為的雙曲線上，易得其方程為。由，得。雙曲線學(xué)生練習(xí)和重要結(jié)論1. 點(diǎn)p處的切線pt平分pf1f2在點(diǎn)p處的內(nèi)角.2. pt平分pf1f2在點(diǎn)p處的內(nèi)角，則焦點(diǎn)在直線pt上的射影h點(diǎn)的軌跡是以長軸為直徑的圓，除去長軸的兩個(gè)端點(diǎn).3. 以焦點(diǎn)弦pq為直徑的圓必與對應(yīng)準(zhǔn)線相交.4. 以焦點(diǎn)半徑pf1為直徑的圓必與以實(shí)軸為直徑的圓相切.（內(nèi)切：p在右支；外切：p在左支）5. 若在雙曲線（a0,b0）上，則過的雙曲線的切線方程是.6. 若在雙曲線（a0,b0）外 ，則過po作雙曲線的兩條切線切點(diǎn)為p1、p2，則切點(diǎn)弦p1p2的直線方程是.7. 雙曲線（a0,bo）的左右焦點(diǎn)分別為f1，f 2，點(diǎn)p為雙曲線上任意一點(diǎn)，則雙曲線的焦點(diǎn)角形的面積為.8. 設(shè)過雙曲線焦點(diǎn)f作直線與雙曲線相交 p、q兩點(diǎn)，a為雙曲線長軸上一個(gè)頂點(diǎn)，連結(jié)ap 和aq分別交相應(yīng)于焦點(diǎn)f的雙曲線準(zhǔn)線于m、n兩點(diǎn)