數(shù)學(xué)建模之層次分析法

1、層次分析法層次分析法是一種解決多目標(biāo)的復(fù)雜問(wèn)題的定性與定量相結(jié)合的決策分析方法。該方法將定量分析與定性分析結(jié)合起來(lái)，用決策者的經(jīng)驗(yàn)判斷各衡量目標(biāo)能否實(shí)現(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)之間的相對(duì)重要程度，并合理地給出每個(gè)決策方案的每個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的權(quán)數(shù)，利用權(quán)數(shù)求出各方案的優(yōu)劣次序，比較有效地應(yīng)用于那些難以用定量方法解決的課題。缺點(diǎn)：（1）層次分析法的主觀性太強(qiáng)，模型的搭建，判斷矩陣的輸入都是決策者的主觀判斷，往往會(huì)因?yàn)闆Q策者的考慮不周、顧此失彼而造成失誤。（2）層次分析法模型的內(nèi)部結(jié)構(gòu)太過(guò)理想化，完全分離、彼此獨(dú)立的層次結(jié)構(gòu)在實(shí)踐中很難做到。（5）層次分析法只能從給定的決策方案中去選擇，而不能給出新的、更優(yōu)的策略。1.模型的

2、應(yīng)用用于解決多目標(biāo)的復(fù)雜問(wèn)題的定性與定量相結(jié)合的決策分析。（1）公司選拔人員，（2）旅游地點(diǎn)的選取，（3）產(chǎn)品的購(gòu)買(mǎi)等，（4）船舶投資決策問(wèn)題（下載文檔），（5）煤礦安全研究，（6）城市災(zāi)害應(yīng)急能力，（7）油庫(kù)安全性評(píng)價(jià)，（8）交通安全評(píng)價(jià)等。2.步驟建立層次結(jié)構(gòu)模型 首先明確決策目標(biāo)，再將各個(gè)因素按不同的屬性從上至下搭建出一個(gè)有層次的結(jié)構(gòu)模型，模型如下圖所示。目標(biāo)層：表示解決問(wèn)題的目的，即層次分析要達(dá)到的總目標(biāo)。通常只有一個(gè)總目標(biāo)。準(zhǔn)則層：表示采取某種措施、政策、方案等實(shí)現(xiàn)預(yù)定總目標(biāo)所涉及的中間環(huán)節(jié)。方案層：表示將選用的解決問(wèn)題的各種措施、政策、方案等。通常有幾個(gè)方案可選。注意：（1）任一元

3、素屬于且僅屬于一個(gè)層次；任一元素僅受相鄰的上層元素的支配，并不是任一元素與下層元素都有聯(lián)系； （2）雖然對(duì)準(zhǔn)則層中每層元素?cái)?shù)目沒(méi)有明確限制，但通常情況下每層元素?cái)?shù)最好不要超過(guò) 9 個(gè)。這是因?yàn)?，心理學(xué)研究表明，只有一組事物在 9 個(gè)以?xún)?nèi)，普通人對(duì)其屬性進(jìn)行判別時(shí)才較為清楚。當(dāng)同一層次元素?cái)?shù)多于 9 個(gè)時(shí)，決策者對(duì)兩兩重要性判斷可能會(huì)出現(xiàn)邏輯錯(cuò)誤的概率加大，此時(shí)可以通過(guò)增加層數(shù)，來(lái)減少同一層的元素?cái)?shù)。構(gòu)造判斷（成對(duì)比較）矩陣以任意一個(gè)上一層的元素為準(zhǔn)則，對(duì)其支配的下層各因素之間進(jìn)行兩兩比較。得到判斷矩陣，再求出各元素的權(quán)重。重要程度的衡量用Santy的19標(biāo)度方法給出。即設(shè)各元素C1,C2, ,

4、 Cn對(duì)目標(biāo)O兩兩比較后的重要性，則得到比較矩陣層次單排序及其一致性檢驗(yàn)對(duì)判斷矩陣A，用w表示一非零向量，計(jì)算滿足：，即的特征值和特征向量。由得矩陣A的秩為1，所以A僅有一個(gè)非零特征值。由A的特征值之和即A的主對(duì)角線元素之和為n，得到n是A的唯一非零特征值，A的特征值滿足的關(guān)系為：因?yàn)橹挥信袛嗑仃嘇有完全一致性時(shí)，才能滿足。所以我們對(duì)判斷矩陣的一致性進(jìn)行檢驗(yàn)。用CI作為一致性指標(biāo)，CI=0，有完全的一致性，CI接近于0，有滿意的一致性，CI越大，不一致程度越嚴(yán)重。但僅僅用CI的值作為衡量判斷矩陣A的一致性檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)是不準(zhǔn)確的，因此，引進(jìn)平均隨機(jī)一致性指標(biāo)RI檢驗(yàn)成對(duì)比較陣A是否具有滿意的一致性。

5、用CR作為判斷矩陣的一致性比例，。當(dāng)時(shí)，認(rèn)為判斷矩陣具有滿意的一致性；當(dāng)時(shí)，認(rèn)為判斷矩陣不具有基本滿意一致性。若矩陣A不具有滿意的一致性，則需要對(duì)判斷矩陣進(jìn)行修改。即求得特征向量w后，將的值按照第i行第j列的位置進(jìn)行排序，構(gòu)造新的判斷矩陣和原判斷矩陣對(duì)應(yīng)位置相比較，差值的絕對(duì)值最大者為要修改的數(shù)據(jù)。 層次總排序及其一致性檢驗(yàn)上邊已得出一組元素對(duì)其上一層中某元素的權(quán)重向量。我們需要從最高層次到最低層次依次計(jì)算，若某一層A層m個(gè)元素的層次總排序權(quán)重分別為，其下層B層有n個(gè)元素，它們相對(duì)于的層次單排序權(quán)重為分別是（和沒(méi)有關(guān)聯(lián)時(shí)，），則得到B層各個(gè)元素對(duì)決策目標(biāo)的權(quán)重，即B層各個(gè)元素的層次總排序權(quán)重為： 由上一步求得單排序一致性指標(biāo)，相應(yīng)的平均隨機(jī)一致性指標(biāo)，則B層總排序的隨機(jī)一致性比例為 當(dāng)時(shí)，認(rèn)為層次總排序結(jié)果具有較滿意的一致性并接受該分析結(jié)果。例題：挑選合適的工作。經(jīng)雙方懇談，已有三個(gè)單位表示愿意錄用某畢業(yè)生。該生要如何選擇工作？模型的建立我們根據(jù)已有信息建立了一個(gè)層次結(jié)