概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(茆詩(shī)松)第二版課后第三章習(xí)題參考答案

1、 1 第三章第三章 多維隨機(jī)變量及其分布多維隨機(jī)變量及其分布 習(xí)題習(xí)題 3.1 1 100 件商品中有 50 件一等品、30 件二等品、20 件三等品從中任取 5 件，以 X、Y 分別表示取出的 5 件中一等品、二等品的件數(shù)，在以下情況下求 (X, Y ) 的聯(lián)合分布列 （1）不放回抽?。?（2）有放回抽取 解： （1）(X, Y )服從多維超幾何分布，X, Y 的全部可能取值分別為 0, 1, 2, 3, 4, 5， 且iji jiji jYiXP= =5, 0; 5, 4, 3, 2, 1, 0, 5 100 5 203050 ,L， 故 (X, Y ) 的聯(lián)合分布列為 000000281

2、. 05 00000918. 00612. 04 0001132. 01562. 00495. 03 000661. 01416. 00927. 00185. 02 00182. 00539. 00549. 00227. 00032. 01 0019. 00073. 00102. 00066. 00019. 00002. 00 543210 X Y （2）(X, Y )服從多項(xiàng)分布，X, Y 的全部可能取值分別為 0, 1, 2, 3, 4, 5， 且iji jiji jYiXP jiji = = 5, 0; 5, 4, 3, 2, 1, 0,2 . 03 . 05 . 0 )!5(! ! 5

3、 , 5 L， 故 (X, Y ) 的聯(lián)合分布列為 0000003125. 05 000009375. 00625. 04 0001125. 015. 005. 03 000675. 0135. 009. 002. 02 002025. 0054. 0054. 0024. 0004. 01 00243. 00081. 00108. 00072. 00024. 000032. 00 543210 X Y 2 盒子里裝有 3 個(gè)黑球、2 個(gè)紅球、2 個(gè)白球，從中任取 4 個(gè)，以 X 表示取到黑球的個(gè)數(shù)，以 Y 表示取 到紅球的個(gè)數(shù)，試求 PX = Y 解： 35 9 35 3 35 6 4 7 2

4、 2 2 3 4 7 2 2 1 2 1 3 2, 21, 1=+= + =+=YXPYXPYXP 3 口袋中有 5 個(gè)白球、8 個(gè)黑球，從中不放回地一個(gè)接一個(gè)取出 3 個(gè)如果第 i 次取出的是白球，則令 Xi = 1，否則令 Xi = 0，i = 1, 2, 3求： 2 （1）(X1, X2, X3)的聯(lián)合分布列； （2）(X1, X2)的聯(lián)合分布列 解： （1） 143 28 11 6 12 7 13 8 )0, 0, 0(),( 321 =XXXP， 429 70 11 5 12 7 13 8 )1, 0, 0(),( 321 =XXXP， 429 70 11 7 12 5 13 8 )

5、0, 1, 0(),( 321 =XXXP， 429 70 11 7 12 8 13 5 )0, 0, 1 (),( 321 =XXXP， 429 40 11 4 12 5 13 8 )1, 1, 0(),( 321 =XXXP， 429 40 11 4 12 8 13 5 )1, 0, 1 (),( 321 =XXXP， 429 40 11 8 12 4 13 5 )0, 1, 1 (),( 321 =XXXP， 143 5 11 3 12 4 13 5 )1, 1, 1 (),( 321 =XXXP； （2） 39 14 12 7 13 8 )0, 0(),( 21 =XXP， 39 10

6、 12 5 13 8 )1, 0(),( 21 =XXP， 39 10 12 8 13 5 )0, 1 (),( 21 =XXP， 39 5 12 4 13 5 )1, 1 (),( 21 =XXP 39/539/101 39/1039/140 10 1 2 X X 4 設(shè)隨機(jī)變量 Xi , i =1, 2 的分布列如下，且滿(mǎn)足 PX1X2 = 0 = 1，試求 PX1 = X2 25. 05 . 025. 0 101 P Xi 解：因 PX1 X2 = 0 = 1，有 PX1 X2 0 = 0， 即 PX1 = 1, X2 = 1 = PX1 = 1, X2 = 1 = PX1 = 1, X

7、2 = 1 = PX1 = 1, X2 = 1 = 0，分布列為 25. 05 . 025. 0 25. 0001 5 . 00 25. 0001 101 1 2 j i p p X X 25. 05 . 025. 0 25. 0025. 001 5 . 025. 0025. 00 25. 0025. 001 101 1 2 j i p p X X 故 PX1 = X2 = PX1 = 1, X2 = 1 + PX1 = 0, X2 = 0 + PX1 = 1, X2 = 1 = 0 5 設(shè)隨機(jī)變量 (X, Y ) 的聯(lián)合密度函數(shù)為 = ., 0 , 42, 20),6( ),( 其他 yxy

8、xk yxp 試求 （1）常數(shù) k； （2）PX 1, Y 3； （3）PX 1.5； （4）PX + Y 4 解： （1）由正則性：1),(= + + dxdyyxp，得 18)6()26( 2 6)6( 2 0 2 2 0 2 0 4 2 2 2 0 4 2 = = kxxkdxxk y xyykdxdyyxkdx， x 0 2 2 4 y 3 故 8 1 =k； （2） = 1 0 3 2 2 1 0 3 2 2 6 8 1 )6( 8 1 3, 1 y xyydxdyyxdxYXP 8 3 22 7 8 1 2 7 8 1 1 0 2 1 0 = = = x xdxx； （3） = 5

9、 . 1 0 4 2 2 5 . 1 0 4 2 2 6 8 1 )6( 8 1 5 . 1 y xyydxdyyxdxXP 32 27 )6( 8 1 )26( 8 1 5 . 1 0 2 5 . 1 0 =xxdxx； （4） = = + ., 0 , 0, 0,e ),( )43( 其他 yxk yxp yx 試求 （1）常數(shù) k； （2）(X, Y ) 的聯(lián)合分布函數(shù) F (x, y)； （3）P0 X 1, 0 0 且 y 0 時(shí)， + = x yu xy vu xy vu dududvduyxF 0 43 00 )43( 00 )43( )e1 (e3e3e12),( )e1)(e

10、1 ()e1 (e 43 0 43yx x yu = 故(X, Y ) 的聯(lián)合分布函數(shù)為 = ., 0 , 0, 0),e1)(e1 ( ),( 43 其他 yx yxF yx （3）P0 X 1, 0 Y 2 = PX 1, Y 2 = F (1, 2) = (1 e 3) (1 e 8) 7 設(shè)二維隨機(jī)變量(X, Y ) 的聯(lián)合密度函數(shù)為 x 0 2 2 4 y 1 3 x 0 2 2 4 y 1.5 x 0 2 2 4 y x 0 y x 0 y 1 2 4 = ., 0 , 10, 10,4 ),( 其他 yxxy yxp 試求 （1）P0 X 0.5, 0.25 Y 1； （2）PX

11、 = Y ； （3）PX Y ； （4）(X, Y ) 的聯(lián)合分布函數(shù) 解： （1） = 5 . 0 0 1 25. 0 2 5 . 0 0 1 25. 0 24125. 0, 5 . 00 xydxxydydxYXP 64 15 16 15 8 15 5 . 0 0 2 5 . 0 0 =xxdx； （2）PX = Y = 0； （3） = 1 0 3 1 0 1 2 1 0 1 )22(24dxxxxydxxydydxYXP xx 2 1 2 1 1 0 42 = =xx； （4）當(dāng) x 0 或 y 0 時(shí)，F(xiàn) (x, y) = P () = 0， 當(dāng) 0 x 1 且 0 y 1 時(shí)， 2

12、2 0 22 0 2 00 2 00 224,),(yxyuduuyuvduuvdvduyYxXPyxF xxxyxy = ； 當(dāng) 0 x 1 且 y 1 時(shí)， 2 0 2 00 1 0 2 0 1 0 224,),(xuuduuvduuvdvduyYxXPyxF xxxx = ； 當(dāng) x 1 且 0 y 1 時(shí)， 2 1 0 22 1 0 2 1 00 2 1 00 224,),(yyuduuyuvduuvdvduyYxXPyxF yy = ； 當(dāng) x 1 且 y 1 時(shí)，F(xiàn) (x, y) = P () = 1， 故(X, Y ) 的聯(lián)合分布函數(shù)為 = . 1, 1, 1 , 10, 1,

13、, 1, 10, , 10, 10, , 00, 0 ),( 2 2 22 yx yxy yxx yxyx yx yxF 或 8 設(shè)二維隨機(jī)變量(X, Y ) 在邊長(zhǎng)為 2，中心為(0, 0) 的正方形區(qū)域內(nèi)服從均勻分布，試求 PX 2 + Y 2 1 解：設(shè) D 表示該正方形區(qū)域，面積 SD = 4，G 表示單位圓區(qū)域，面積 SG = ， 故 4 1 22 =+ D G S S YXP 9 設(shè)二維隨機(jī)變量(X, Y ) 的聯(lián)合密度函數(shù)為 0.5和 PY 1 5 . 0 2 1 5 . 0 1 5 . 0 )66(665 . 0 2 2 dxxxydxdydxXP x x x x 5 . 0)

14、23( 1 5 . 0 32 =xx； = 5 . 0 0 5 . 0 0 5 . 0 0 )66(665 . 0dyyyxdydxdyYP y y y y 4 3 2)34( 5 . 0 0 2 2 3 =yy 10設(shè)二維隨機(jī)變量(X, Y ) 的聯(lián)合密度函數(shù)為 0.5, Y 0.5； （2）求 PX 0.5和 PY 0.5； （3）求 PX + Y xdxxydxdyydxYXP xx ； （2） = 5 . 0 0 1 2 5 . 0 0 1 )1 (3)1 (65 . 0 xx ydxdyydxXP 8 7 )1 ()1 (3 5 . 0 0 3 5 . 0 0 2 =xdxx； =

15、5 . 0 0 5 . 0 2 5 . 0 0 5 . 0 )1 (3)1 (65 . 0 xx ydxdyydxYP 2 1 )1 ( 4 3 )1 (3 4 3 5 . 0 0 3 5 . 0 0 2 = = +=xxdxx； （3） = =k kY kY Xk 求 X1和 X2的聯(lián)合分布列 解：因 Y 的密度函數(shù)為 2 = P () = 0， 21 2 1 2 1 21 eeee212, 10, 1 = yy dyYPYYPXXP， 2 22 21 eee22, 11, 1 + + = yy dyYPYYPXXP， 故 X1和 X2的聯(lián)合分布列為 221 1 1 2 eee1 0e10

16、10 X X 12設(shè)二維隨機(jī)變量(X, Y ) 的聯(lián)合密度函數(shù)為 + = ., 0 , 20, 10, 3 ),( 2 其他 yx xy x yxp 求 PX + Y 1 解： += +=+ 1 0 2 1 2 2 1 0 2 1 2 63 1 x x xy yxdxdy xy xdxYXP 72 65 24 5 9 4 4 1 6 5 3 4 2 1 1 0 432 1 0 32 = += +=xxxdxxxx 13設(shè)二維隨機(jī)變量(X, Y ) 的聯(lián)合密度函數(shù)為 = ., 0 ,0,e ),( 其他 yx yxp y 試求 PX + Y 1 解： +=+ 5 . 0 0 1 5 . 0 0

17、15 . 0 0 1 )ee()e(e1dxdxdydxYXP xx x x y x x y 5 . 01 5 . 0 0 1 e2e1)ee( += xx 14設(shè)二維隨機(jī)變量(X, Y ) 的聯(lián)合密度函數(shù)為 = ., 0 , 20, 10, 2/1 ),( 其他 yx yxp 求 X 與 Y 中至少有一個(gè)小于 0.5 的概率 解： 8 5 8 3 1 4 3 1 2 1 15 . 0, 5 . 015 . 0,min 1 5 . 0 1 5 . 0 2 5 . 0 = dxdydxYXPYXP 15從(0,1)中隨機(jī)地取兩個(gè)數(shù)，求其積不小于 3/16，且其和不大于 1 的概率 解：設(shè) X、Y

18、 分別表示“從(0,1)中隨機(jī)地取到的兩個(gè)數(shù)” ，則(X, Y ) 的聯(lián)合密度函數(shù)為 = ., 0 , 0, 0,eee1 ),( ,max 122121 其他 yx yxF yxyxyx 試求 X 與 Y 各自的邊際分布函數(shù) 解：當(dāng) x 0 時(shí)，F(xiàn) (x, y) = 0，有 FX (x) = F (x, + ) = 0， 當(dāng) x 0 時(shí)， = . 0, 0 , 0,eee1 ),( ,max 122121 y y yxF yxyxyx 有 xyxyxyx y X xFxF 1122121 e1eee1 lim),()( ,max + =+=， 故 = . 0, 0 , 0,e1 )( 1 x

19、 x xF x X 當(dāng) y 0 時(shí)，F(xiàn) (x, y) = 0，有 FY ( y) = F (+ , y) = 0， 當(dāng) y 0 時(shí)， = . 0, 0 , 0,eee1 ),( ,max 122121 x x yxF yxyxyx 有 yyxyxyx x Y yFyF 2122121 e1eee1 lim),()( ,max + =+=， 故 = . 0, 0 , 0,e1 )( 2 y y yF y Y 3 試求以下二維均勻分布的邊際分布： + = ., 0 , 1, 1 ),( 22 其他 yx yxp 9 解：當(dāng) x 1 時(shí)，pX (x) = 0， 當(dāng)1 x 1 時(shí)， 2 1 1 1 2

20、 1 ),()( 2 2 xdydyyxpxp x x X = + ， 故 = ., 0 , 11,1 2 )( 2 其他 xx xpX 當(dāng) y 1 時(shí)，pY ( y) = 0， 當(dāng)1 y 1 時(shí)， 2 1 1 1 2 1 ),()( 2 2 ydxdxyxpyp y y Y = + ， 故 = ., 0 , 11,1 2 )( 2 其他 yy ypY 4 設(shè)平面區(qū)域 D 由曲線 y = 1/ x 及直線 y = 0，x = 1，x = e 2所圍成，二維隨機(jī)變量(X, Y ) 在區(qū)域 D 上服 從均勻分布，試求 X 的邊際密度函數(shù) 解：因平面區(qū)域 D 的面積為2ln 1 2 2 e 1 e

21、1 =xdx x SD， 則(X, Y ) 的聯(lián)合密度函數(shù)為 = .),(, 0 ,),(, 2 1 ),( Dyx Dyx yxp 當(dāng) x e 2時(shí)，pX (x) = 0， 當(dāng) 1 x e 2時(shí)， x dydyyxpxp x X 2 1 2 1 ),()( 1 0 = + ， 故 = ., 0 ,e1, 2 1 )( 2 其他 x x xpX 5 求以下給出的(X, Y ) 的聯(lián)合密度函數(shù)的邊際密度函數(shù) px (x) 和 py ( y)： （1） = ., 0 ;0,e ),( 1 其他 yx yxp y （2） + = ., 0 ;10),( 4 5 ),( 22 2 其他 xyyx yx

22、p （3） 0 時(shí)， x x y x y X dydyyxpxp + + + = eee),()( 1 ， 故 = . 0, 0 ; 0,e )( x x xp x X 當(dāng) y 0 時(shí)，pY ( y) = 0， 當(dāng) y 0 時(shí)， y y y Y ydxdxyxpyp + = ee),()( 0 1 ， x 0 y 1 1 1 1 x 0 y 1 e 2 D x 0 y 10 故 = . 0, 0 ; 0,e )( y yy yp y Y （2）當(dāng) x 1 或 x 1 時(shí)，pX (x) = 0， 當(dāng)1 x 1 時(shí)，)1 ( 8 5 ) 2 1 ( 4 5 )( 4 5 ),()( 4 1 0 2

23、2 1 0 2 2 22 xyyxdyyxdyyxpxp xx X =+=+= + ， 故 = ., 0 ; 11),1 ( 8 5 )( 4 其他 xx xpX 當(dāng) y 0 或 y 1 時(shí)，pY ( y) = 0， 當(dāng) 0 y 1 時(shí)，yyxyxdxyxdxyxpyp y y y y Y +=+=+= + 1)21 ( 6 5 ) 3 1 ( 4 5 )( 4 5 ),()( 1 1 3 1 1 2 ， 故 + = ., 0 ; 10,1)21 ( 6 5 )( 其他 yyy ypY （3）當(dāng) x 0 或 x 1 時(shí)，pX (x) = 0， 當(dāng) 0 x 1 時(shí)，1 11 ),()( 0 3

24、= + x xdy x dyyxpxp x X ， 故 = ., 0 ; 10, 1 )( 其他 x xpX 當(dāng) y 0 或 y 1 時(shí)，pY ( y) = 0， 當(dāng) 0 y 1 時(shí)，yyxdx x dxyxpyp y y Y lnln1lnln 1 ),()( 1 1 = + ， 故 = ., 0 ; 10,ln )( 其他 yy ypY 6 設(shè)二維隨機(jī)變量(X, Y ) 的聯(lián)合密度函數(shù)為 = ., 0 , 10, 6 ),( 2 其他 xyx yxp 試求邊際密度函數(shù) px (x) 和 py ( y) 解：當(dāng) x 0 或 x 1 時(shí)，pX (x) = 0， 當(dāng) 0 x 1 時(shí)，)(66),

25、()( 2 2 xxdydyyxpxp x x X = + ， 故 = ., 0 , 10),(6 )( 2 其他 xxx xpX 當(dāng) y 0 或 y 1 時(shí)，pY ( y) = 0， 當(dāng) 0 y 1 時(shí)，)(66),()(yydxdxyxpyp y y Y = + ， 故 = ., 0 , 10),(6 )( 其他 yyy ypY 7 試驗(yàn)證：以下給出的兩個(gè)不同的聯(lián)合密度函數(shù)，它們有相同的邊際密度函數(shù) x 0 y 1 1 1 x 0 y 1 x 0 y 1 1 11 + = ., 0 , 10, 10, ),( 其他 yxyx yxp + = ., 0 , 10, 10),5 . 0)(5

26、. 0( ),( 其他 yxyx yxg 證：當(dāng) x 1 時(shí)，pX (x) = 0， 當(dāng) 0 x 1 時(shí)，5 . 0) 2 1 ()(),()( 1 0 2 1 0 +=+=+= + xyxydyyxdyyxpxpX， 則 + = ., 0 , 10, 5 . 0 )( 其他 xx xpX 當(dāng) y 1 時(shí)，pY ( y) = 0， 當(dāng) 0 y 1 時(shí)，5 . 0) 2 1 ()(),()( 1 0 2 1 0 +=+=+= + yxyxdxyxdxyxpypY， 則 + = ., 0 , 10, 5 . 0 )( 其他 yy ypY 并且當(dāng) x 1 時(shí)，gX (x) = 0， 當(dāng) 0 x 1

27、時(shí)，5 . 0)5 . 0( 2 1 )5 . 0()5 . 0)(5 . 0(),()( 1 0 2 1 0 +=+=+= + xyxdyyxdyyxgxgX， 則 + = ., 0 , 10, 5 . 0 )( 其他 xx xgX 當(dāng) y 1 時(shí)，gY ( y) = 0， 當(dāng) 0 y 1 時(shí)，5 . 0)5 . 0()5 . 0( 2 1 )5 . 0)(5 . 0(),()( 1 0 2 1 0 +=+=+= + yyxdxyxdxyxgygY， 則 + = ., 0 , 10, 5 . 0 )( 其他 yy ygY 故它們有相同的邊際密度函數(shù) 8 設(shè)隨機(jī)變量 X 和 Y 獨(dú)立同分布，且

28、 PX = 1 = PY = 1 = PX = 1 = PY = 1 = 1/2， 試求 PX = Y 解：因 X 和 Y 獨(dú)立同分布，且 PX = 1 = PY = 1 = PX = 1 = PY = 1 = 1/2， 則(X, Y ) 的聯(lián)合概率分布 2 1 2 1 2 1 4 1 4 1 1 2 1 4 1 4 1 1 11 j i p p X Y 故 PX = Y = PX = 1, Y = 1 + PX = 1, Y = 1 = 1/2 9 甲、乙兩人獨(dú)立地各進(jìn)行兩次射擊，假設(shè)甲的命中率為 0.2，乙的命中率為 0.5，以 X 和 Y 分別表示甲 12 和乙的命中次數(shù)，試求 PX Y

29、 解：因 X 的全部可能取值為 0, 1, 2， 且 PX = 0 = 0.8 2 = 0.64，32. 08 . 02 . 0 1 2 1= =XP，PX = 2 = 0.2 2 = 0.04， 又因 Y 的全部可能取值為 0, 1, 2， 且 PY = 0 = 0.5 2 = 0.25，5 . 05 . 05 . 0 1 2 1= =YP，PY = 2 = 0.5 2 = 0.25， 則(X, Y ) 的聯(lián)合概率分布 25. 05 . 025. 0 04. 001. 002. 001. 02 32. 008. 016. 008. 01 64. 016. 032. 016. 00 210 j

30、 i p p X Y 故 PX Y = 1 PX Y = 1 PX = 1, Y = 0 PX = 2, Y = 0 PX = 2, Y = 1 = 0.89 10設(shè)隨機(jī)變量 X 和 Y 相互獨(dú)立，其聯(lián)合分布列為 3/19/1 9/1 2 1 321 bx cax yyy X Y 試求聯(lián)合分布列中的 a, b, c 解：因cap+= 9 1 1 ， 9 4 3 1 9 1 2 +=+= bbp， 9 1 1 += ap，bp+= 9 1 2 ，cp+= 3 1 3 ， 根據(jù)獨(dú)立性，知 81 4 9 5 9 1 9 4 2 2222 += + += bbbbppbp， 可得0 81 4 9 4

31、2 =+bb，即0 9 2 2 = b， 故 9 2 =b； 再根據(jù)獨(dú)立性，知 += + += 9 1 9 6 9 1 9 4 9 1 1221 aabppp，可得 6 1 9 1 =+a， 故 18 1 =a； 由正則性，知1 9 5 3 1 9 1 9 1 2 1 3 1 =+=+= = cbabcap ij ij ，可得 9 4 =+cba， 故 6 1 18 3 9 4 =bac 11設(shè) X 和 Y 是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，X U (0, 1)，Y Exp (1)試求（1）X 與 Y 的聯(lián)合密度函數(shù)； （2）PY X ； （3）PX + Y 1 13 解： （1）因 X 與 Y 相互

32、獨(dú)立，且邊際密度函數(shù)分別為 = ., 0 , 10, 1 )( 其他 x xpX = . 0, 0 , 0,e )( y y yp y Y 故 X 與 Y 的聯(lián)合密度函數(shù)為 = ., 0 , 0, 10,e )()(),( 其他 yx ypxpyxp y YX （2） 11 1 0 1 0 1 00 1 00 e1e1)e()e1 ()e(e =+=+= xx x y x y xdxdxdydxXYP； （3） 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 e)e()e1 ()e(e1 =+ xx x y x y xdxdxdydxYXP 12設(shè)隨機(jī)變量(X, Y ) 的聯(lián)合密度

33、函數(shù)為 = ., 0 ,0, 10,3 ),( 其他 xyxx yxp 試求（1）邊際密度函數(shù) px (x) 和 py ( y)； （2）X 與 Y 是否獨(dú)立 解： （1）當(dāng) x 0 或 x 1 時(shí)，pX (x) = 0， 當(dāng) 0 x 1 時(shí)， 2 0 33),()(xxdydyyxpxp x X = + ， 故 = ., 0 , 10,3 )( 2 其他 xx xpX 當(dāng) y 0 或 y 1 時(shí)，pY ( y) = 0， 當(dāng) 0 y 1 時(shí)，)1 ( 2 3 2 3 3),()( 2 1 2 1 yxxdxdxyxpyp yy Y = + ， 故 = ., 0 , 10),1 ( 2 3 )

34、( 2 其他 yy ypY （2）因 = ., 0 , 10, 10),1 ( 2 9 )()( 22 其他 yxyx ypxp YX 即 px (x) py ( y) p (x, y)， 故 X 與 Y 不獨(dú)立 13設(shè)隨機(jī)變量(X, Y ) 的聯(lián)合密度函數(shù)為 = ., 0 , 10,|, 1 ),( 其他 yyx yxp 試求（1）邊際密度函數(shù) px (x) 和 py ( y)； （2）X 與 Y 是否獨(dú)立 解： （1）當(dāng) x 1 或 x 1 時(shí)，pX (x) = 0， 當(dāng)1 x 0 時(shí)，xdydyyxpxp x X += + 11),()( 1 ， 當(dāng) 0 x 1 時(shí)，xdydyyxpxp

35、 x X = + 11),()( 1 ， 故 + = ., 0 , 10,1 , 01,1 )( 其他 xx xx xpX x 0 y 1 x 0 y 1 1 x 0 y 1 1 x 0 y 1 1 1 14 當(dāng) y 0 或 y 1 時(shí)，pY ( y) = 0， 當(dāng) 0 y 1 時(shí)，ydxdxyxpyp y y Y 21),()(= + ， 故 = ., 0 , 10,2 )( 其他 yy ypY （2）因 = + ., 0 ; 0, 0,e ),( )( 其他 yxx yxp yx （2）+ + =yx yx yxp, )1)(1 ( 1 ),( 222 ； （3） = ., 0 ; 10,

36、 2 ),( 其他 yx yxp （4） + = ., 0 ; 10, 10, 10,24 ),( 其他 yxyxxy yxp （5） = ., 0 ; 10, 10),1 (12 ),( 其他 yxxxy yxp （6） 0, y 0 是廣義矩形區(qū)域，故 X 與 Y 相互獨(dú)立； （2）因 )1( 1 )1( 1 )1)(1 ( 1 22222 yxyx+ + = + 可分離變量， x, y +是廣義矩形區(qū)域， 故 X 與 Y 相互獨(dú)立； （3）因 0 x y 1 不是矩形區(qū)域，故 X 與 Y 不獨(dú)立； （4）因 0 x 1, 0 y 1, 0 x + y 1 不是矩形區(qū)域，故 X 與 Y 不

37、獨(dú)立； （5）因 12xy(1 x) = 12x(1 x) y 可分離變量，0 x 1, 0 y 1 是矩形區(qū)域，故 X 與 Y 相互獨(dú)立； （6）因 x2 y 1 不是矩形區(qū)域，故 X 與 Y 不獨(dú)立 15在長(zhǎng)為 a 的線段的中點(diǎn)的兩邊隨機(jī)地各取一點(diǎn)，求兩點(diǎn)間的距離小于 a / 3 的概率 解：設(shè) X 和 Y 分別表示這兩個(gè)點(diǎn)與線段中點(diǎn)的距離，有 X 和 Y 相互獨(dú)立且都服從0, a / 2的均勻分布， 則(X, Y ) 的聯(lián)合密度函數(shù)為 = ., 0 , 2 0, 2 0, 4 ),( 2 其他 a y a x a yxp x 0 y a /3 a /3 a /2 a /2 D G 15

38、故所求概率為 9 2 2 32 1 3 2 2 = =+ a a S Sa YXP D G 16設(shè)二維隨機(jī)變量(X, Y ) 服從區(qū)域 D = (x, y): a x b, c y d 上的均勻分布，試證 X 與 Y 相互獨(dú)立 證：因(X, Y ) 的聯(lián)合密度函數(shù)為 = ., 0 ;, )( 1 ),( 其他 dycbxa cdab yxp 當(dāng) x b 時(shí)，pX (x) = 0， 當(dāng) a x b 時(shí)， ab dy cdab dyyxpxp d c X = = + 1 )( 1 ),()(， 則 = ., 0 ;, 1 )( 其他 bxa ab xpX 當(dāng) y d 時(shí)，pY ( y) = 0，

39、當(dāng) c y d 時(shí)， cd dx cdab dxyxpyp b a Y = = + 1 )( 1 ),()(， 則 = ., 0 ;, 1 )( 其他 dyc cd ypY 因 px (x) py ( y) = p (x, y)， 故 X 與 Y 相互獨(dú)立 17設(shè) X1, X2, , Xn是獨(dú)立同分布的正值隨機(jī)變量證明 nk n k XX XX E n k = + + , 1 1 L L 證：因 X1, X2, , Xn是獨(dú)立同分布的正值隨機(jī)變量， 則由對(duì)稱(chēng)性知), 2, 1( 1 ni XX X n i L L = + 同分布，且滿(mǎn)足10 1 + = ., 0 , 1 YX YX Z 當(dāng) 當(dāng)

40、 求 Z 的分布列 解：因(X, Y ) 的聯(lián)合密度函數(shù)為 = + ., 0 , 0, 0,e )()(),( )( 其他 yx ypxpyxp yx YX 則 + + + + = 0 )( 0 )( e)(e1 x yx x yx dxdydxYXPZP + = + = + + + + 0 )( 0 )( ee xx dx， + =110ZPZP， 故 Z 的分布列為 + P Z10 x 0 y X Y 17 3 設(shè)隨機(jī)變量 X 和 Y 的分布列分別為 4/12/14/1 101 P X 2/12/1 10 P Y 已知 PXY = 0 = 1，試求 Z = maxX, Y 的分布列 解：因

41、 PX1 X2 = 0 = 1，有 PX1 X2 0 = 0， 即 PX1 = 1, X2 = 1 = PX1 = 1, X2 = 1 = 0，可得 (X, Y ) 的聯(lián)合分布列為 2/12/1 4/11 2/10 4/11 10 j i p p X Y 2/12/1 4/104/11 2/12/100 4/104/11 10 j i p p X Y 因 4 1 0 4 1 0, 00, 10=+=+=YXPYXPZP； 4 3 011=ZPZP； 故 Z 的分布列為 4 3 4 1 10 P Z 4 設(shè)隨機(jī)變量 X、Y 獨(dú)立同分布，在以下情況下求隨機(jī)變量 Z = maxX, Y 的分布列 （

42、1）X 服從 p = 0.5 的 (0-1) 分布； （2）X 服從幾何分布，即 PX = k = (1 p) k 1p，k = 1, 2, 解： （1）(X, Y ) 的聯(lián)合分布列為 5 . 05 . 0 5 . 025. 025. 01 5 . 025. 025. 00 10 j i p p X Y 因 PZ = 0 = PX = 0, Y = 0 = 0.25；PZ = 1 = 1 PZ = 0 = 0.75； 故 Z 的分布列為 75. 025. 0 10 P Z （2）因 PZ = k = PX = k, Y k + PX k, Y = k = PX = k PY k + PX =

43、+ ., 0 , 0, 0,e ),( )( 其他 yx yxp yx 試求以下隨機(jī)變量的密度函數(shù)（1）Z = (X + Y )/2； （2）Z = Y X 解：方法一：分布函數(shù)法 （1）作曲線簇z yx = + 2 ，得 z 的分段點(diǎn)為 0， 當(dāng) z 0 時(shí)，F(xiàn)Z (z) = 0， 當(dāng) z 0 時(shí)， + + = zxz yx zxz yx Z dxdydxzF 2 0 2 0 )( 2 0 2 0 )( ee)( z z xz z xz zxdx 2 2 0 2 2 0 2 e) 12(1)ee()ee( +=+=， 因分布函數(shù) FZ (z) 連續(xù)，有 Z = (X + Y )/2 為連續(xù)隨

44、機(jī)變量， 故 Z = (X + Y )/2 的密度函數(shù)為 = . 0, 0 , 0,e4 )()( 2 z zz zFzp z ZZ （2）作曲線簇 y x = z，得 z 的分段點(diǎn)為 0， 當(dāng) z 0 時(shí)， + + + + + + + + += z xzx z zx yx z zx yx Z dxdxdydxzFeeee)( )2( 0 )( 0 )( zzz z xzx e 2 1 ee 2 1 ee 2 1 )2( = = = + + ， 當(dāng) z 0 時(shí)， + + + + + + += 0 )2( 00 )( 00 )( eeee)(dxdxdydxzF xzx zx yx zx yx

45、Z zzxzx + + = = =e 2 1 11e 2 1 ee 2 1 0 )2( ， 因分布函數(shù) FZ (z) 連續(xù)，有 Z = Y X 為連續(xù)隨機(jī)變量， 故 Z = Y X 的密度函數(shù)為 = . 0,e 2 1 , 0,e 2 1 )()( z z zFzp z z ZZ 方法二：增補(bǔ)變量法 （1）函數(shù) 2 yx z + =對(duì)任意固定的 y 關(guān)于 x 嚴(yán)格單調(diào)增加，增補(bǔ)變量 v = y， x 0 y 2z x 0 y z x 0 y z 19 可得 = + = , , 2 yv yx z 有反函數(shù) = = , ,2 vy vzx 且2 10 12 = = = vz vz yy xx J

46、， 則 + + =dvvvzpdvvvzpzpZ),2(22),2()(， 作曲線簇z yx = + 2 ，得 z 的分段點(diǎn)為 0， 當(dāng) z 0 時(shí)，pZ (z) = 0， 當(dāng) z 0 時(shí)， z z z Z zdvzp 2 2 0 2 e4e2)( =， 故 Z = (X + Y )/2 的密度函數(shù)為 = . 0, 0 , 0,e4 )( 2 z zz zp z Z （2）函數(shù) z = y x 對(duì)任意固定的 y 關(guān)于 x 嚴(yán)格單調(diào)增加，增補(bǔ)變量 v = y， 可得 = = , , yv xyz 有反函數(shù) = = , , vy zvx 且1 10 11 = = = vz vz yy xx J，

47、則 + =dvvzvpzpZ),()(， 作曲線簇 y x = z，得 z 的分段點(diǎn)為 0， 當(dāng) z 0 時(shí)， zzvzv Z dvzpe 2 1 e 2 1 e)( 0 2 0 2 = + + + + ， 當(dāng) z 0 時(shí)， z z zv z zv Z dvzp + + + + =e 2 1 e 2 1 e)( 22 ， 故 Z = Y X 的密度函數(shù)為 = . 0,e 2 1 , 0,e 2 1 )( z z zp z z Z 7 設(shè) X 與 Y 的聯(lián)合密度函數(shù)為 = ., 0 ,0, 10,3 ),( 其他 xyxx yxp 試求 Z = X Y 的密度函數(shù) 解：方法一：分布函數(shù)法 作曲線

48、簇 x y = z，得 z 的分段點(diǎn)為 0, 1， 當(dāng) z 0 時(shí)，F(xiàn)Z (z) = 0， 當(dāng) 0 z 1 時(shí)， 3 1 2 0 3 1 0 2 1 00 2 1 2 3 2 3 3333)(zzzxxxzdxdxxxdydxxdydxzF z z z z z x zx zx Z =+=+=+= ， 當(dāng) z 1 時(shí)，F(xiàn)Z (z) = 1， 因分布函數(shù) FZ (z) 連續(xù)，有 Z = X Y 為連續(xù)隨機(jī)變量， 故 Z = X Y 的密度函數(shù)為 = ., 0 , 10),1 ( 2 3 )()( 2 其他 zz zFzp ZZ z x 0 y x 0 y 2z z x 0 y x 0 y 1 1

49、z 20 方法二：增補(bǔ)變量法 函數(shù) z = x y 對(duì)任意固定的 y 關(guān)于 x 嚴(yán)格單調(diào)增加，增補(bǔ)變量 v = y， 可得 = = , , yv yxz 有反函數(shù) = += , , vy vzx 且1 10 11 = = vz vz yy xx J， 則 + +=dvvvzpzpZ),()(， 作曲線簇 x y = z，得 z 的分段點(diǎn)為 0, 1， 當(dāng) z 0 或 z 1 時(shí)，pZ (z) = 0， 當(dāng) 0 z 1 時(shí)，)1 ( 2 3 )( 2 3 )(3)( 2 1 0 2 1 0 zvzdvvzzp zz Z =+=+= ， 故 Z = X Y 的密度函數(shù)為 = . 0, 0 , 0,

50、e )( 1 t tt tp t 設(shè)各周的需要量是相互獨(dú)立的，試求 （1）兩周需要量的密度函數(shù) p2 (x)； （2）三周需要量的密度函數(shù) p3 (x) 解：方法一：根據(jù)獨(dú)立伽瑪變量之和仍為伽瑪變量 設(shè) Ti表示“該種商品第 i 周的需要量” ，因 Ti的密度函數(shù)為 = . 0, 0 , 0,e )2( 1 )( 12 1 t tt tp t 可知 Ti服從伽瑪分布 Ga (2, 1)， （1）兩周需要量為 T1 + T2，因 T1與 T2相互獨(dú)立且都服從伽瑪分布 Ga (2, 1)， 故 T1 + T2服從伽瑪分布 Ga (4, 1)，密度函數(shù)為 = = . 0, 0 , 0,e 6 1 .

51、 0, 0 , 0,e )4( 1 )( 3 14 2 x xx x xx xp x x （2）三周需要量為 T1 + T2 + T3，因 T1, T2, T3相互獨(dú)立且都服從伽瑪分布 Ga (2, 1)， 故 T1 + T2 + T3服從伽瑪分布 Ga (6, 1)，密度函數(shù)為 = = . 0, 0 , 0,e 120 1 . 0, 0 , 0,e )6( 1 )( 5 16 3 x xx x xx xp x x 方法二：分布函數(shù)法 （1）兩周需要量為 X2 = T1 + T2，作曲線簇 t1 + t2 = x，得 x 的分段點(diǎn)為 0， 當(dāng) x 0 時(shí)，F(xiàn)2 (x) = 0， 當(dāng) x 0 時(shí)

52、， = xtx ttt xtx tt ttdtdtttdtxF 00 211 00 22112 1 221 1 21 )ee(eee)( += x tx dtttxtt 0 1111 2 1 ee)( 1 x ttx ttxtt 0 1 2 1 2 1 3 1 11 eee 2 1 2 1 3 1 = x 0 y 1 1 z t1 0 t2 x 21 ) 1(eee 2 1 2 1 3 1 233 = xxx xxxx xxxx xxx =e 6 1 e 2 1 ee1 32 ， 因分布函數(shù) F2 (x) 連續(xù)，有 X2 = T1 + T2為連續(xù)隨機(jī)變量， 故 X2 = T1 + T2的密度函

53、數(shù)為 = . 0, 0 , 0,e 6 1 )()( 3 22 x xx xFxp x （2）三周需要量為 X3 = T1 + T2 + T3 = X2 + T3，作曲線簇 x2 + t3 = x，得 x 的分段點(diǎn)為 0， 當(dāng) x 0 時(shí)，F(xiàn)3 (x) = 0， 當(dāng) x 0 時(shí)， = xxx ttx xxx tx txdxdttxdxxF 00 3 3 22 00 33 3 223 2 332 2 32 )ee(e 6 1 ee 6 1 )( += x xx dxxxxxx 0 2 3 2 3 2 3 2 4 2 ee)( 6 1 2 x xxxxx xxxxxxx 0 2 2 2 3 2 4 2 4 2 5 2 2222 e6e6e3ee 4 1 4 1 5 1 6 1 = ) 1(eee 2 1 e 6 1 e 4 1 4 1 5 1 6 1 23455 = xxxxx xxxxxx xxxxxx xxxxx =e 120 1