概率論課本習(xí)題答案

1、2.設(shè)在15只同類型零件中有2只為次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽樣，以X表示取出的次品個(gè)數(shù)，求：（1） X的分布律；（2） X的分布函數(shù)并作圖；(3).【解】故X的分布律為X012P（2） 當(dāng)x0時(shí)，F(xiàn)（x）=P（Xx）=0當(dāng)0x1時(shí)，F(xiàn)（x）=P（Xx）=P(X=0)= 當(dāng)1x2時(shí)，F(xiàn)（x）=P（Xx）=P(X=0)+P(X=1)=當(dāng)x2時(shí)，F(xiàn)（x）=P（Xx）=1故X的分布函數(shù)(3) 7.有一繁忙的汽車站，每天有大量汽車通過，設(shè)每輛車在一天的某時(shí)段出事故的概率為0.0001,在某天的該時(shí)段內(nèi)有1000輛汽車通過，問出事故的次數(shù)不小于2的概率是多少（利用泊松定理）？【解】設(shè)X表

2、示出事故的次數(shù)，則Xb（1000，0.0001） 8.已知在五重貝努里試驗(yàn)中成功的次數(shù)X滿足PX=1=PX=2，求概率PX=4.【解】設(shè)在每次試驗(yàn)中成功的概率為p，則故 所以 .9.設(shè)事件A在每一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為0.3，當(dāng)A發(fā)生不少于3次時(shí)，指示燈發(fā)出信號(hào)，（1） 進(jìn)行了5次獨(dú)立試驗(yàn)，試求指示燈發(fā)出信號(hào)的概率；（2） 進(jìn)行了7次獨(dú)立試驗(yàn)，試求指示燈發(fā)出信號(hào)的概率.【解】（1） 設(shè)X表示5次獨(dú)立試驗(yàn)中A發(fā)生的次數(shù)，則X6（5，0.3）(2) 令Y表示7次獨(dú)立試驗(yàn)中A發(fā)生的次數(shù)，則Yb（7，0.3）10.某公安局在長(zhǎng)度為t的時(shí)間間隔內(nèi)收到的緊急呼救的次數(shù)X服從參數(shù)為（1/2）t的泊松分布，而與

3、時(shí)間間隔起點(diǎn)無關(guān)（時(shí)間以小時(shí)計(jì)）.（1） 求某一天中午12時(shí)至下午3時(shí)沒收到呼救的概率；（2） 求某一天中午12時(shí)至下午5時(shí)至少收到1次呼救的概率.【解】（1） (2) 12.某教科書出版了2000冊(cè)，因裝訂等原因造成錯(cuò)誤的概率為0.001，試求在這2000冊(cè)書中恰有5冊(cè)錯(cuò)誤的概率.【解】令X為2000冊(cè)書中錯(cuò)誤的冊(cè)數(shù)，則Xb(2000,0.001).利用泊松近似計(jì)算,得 14.有2500名同一年齡和同社會(huì)階層的人參加了保險(xiǎn)公司的人壽保險(xiǎn).在一年中每個(gè)人死亡的概率為0.002，每個(gè)參加保險(xiǎn)的人在1月1日須交12元保險(xiǎn)費(fèi)，而在死亡時(shí)家屬可從保險(xiǎn)公司領(lǐng)取2000元賠償金.求：（1） 保險(xiǎn)公司虧本的

4、概率;（2） 保險(xiǎn)公司獲利分別不少于10000元、20000元的概率.【解】以“年”為單位來考慮.（1） 在1月1日，保險(xiǎn)公司總收入為250012=30000元.設(shè)1年中死亡人數(shù)為X，則Xb(2500,0.002)，則所求概率為由于n很大，p很小，=np=5，故用泊松近似，有(2) P(保險(xiǎn)公司獲利不少于10000) 即保險(xiǎn)公司獲利不少于10000元的概率在98%以上P（保險(xiǎn)公司獲利不少于20000） 即保險(xiǎn)公司獲利不少于20000元的概率約為62%16.設(shè)某種儀器內(nèi)裝有三只同樣的電子管，電子管使用壽命X的密度函數(shù)為f(x)=求：（1） 在開始150小時(shí)內(nèi)沒有電子管損壞的概率；（2） 在這段時(shí)

5、間內(nèi)有一只電子管損壞的概率；（3） F（x）.【解】（1） (2) (3) 當(dāng)x100時(shí)F（x）=0當(dāng)x100時(shí) 故 18.設(shè)隨機(jī)變量X在2，5上服從均勻分布.現(xiàn)對(duì)X進(jìn)行三次獨(dú)立觀測(cè)，求至少有兩次的觀測(cè)值大于3的概率.【解】XU2,5，即故所求概率為19.設(shè)顧客在某銀行的窗口等待服務(wù)的時(shí)間X（以分鐘計(jì)）服從指數(shù)分布.某顧客在窗口等待服務(wù)，若超過10分鐘他就離開.他一個(gè)月要到銀行5次，以Y表示一個(gè)月內(nèi)他未等到服務(wù)而離開窗口的次數(shù)，試寫出Y的分布律，并求PY1.【解】依題意知，即其密度函數(shù)為該顧客未等到服務(wù)而離開的概率為,即其分布律為20.某人乘汽車去火車站乘火車，有兩條路可走.第一條路程較短但交

6、通擁擠，所需時(shí)間X服從N（40，102）；第二條路程較長(zhǎng)，但阻塞少，所需時(shí)間X服從N（50，42）.（1） 若動(dòng)身時(shí)離火車開車只有1小時(shí)，問應(yīng)走哪條路能乘上火車的把握大些？（2） 又若離火車開車時(shí)間只有45分鐘，問應(yīng)走哪條路趕上火車把握大些？【解】（1） 若走第一條路，XN（40，102），則若走第二條路，XN（50，42），則+故走第二條路乘上火車的把握大些.（2） 若XN（40，102），則若XN（50，42），則 故走第一條路乘上火車的把握大些.21.設(shè)XN（3，22），（1） 求P2X5，P-4X10，PX2，PX3;（2） 確定c使PXc=PXc.【解】（1） (2) c=322.由

7、某機(jī)器生產(chǎn)的螺栓長(zhǎng)度（cm）XN（10.05,0.062）,規(guī)定長(zhǎng)度在10.050.12內(nèi)為合格品,求一螺栓為不合格品的概率.【解】 28.設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為X-2 -1 0 1 3Pk1/5 1/6 1/5 1/15 11/30求Y=X2的分布律.【解】Y可取的值為0，1，4，9故Y的分布律為Y0 1 4 9Pk1/5 7/30 1/5 11/3049.設(shè)隨機(jī)變量X在區(qū)間（1，2）上服從均勻分布，試求隨機(jī)變量Y=e2X的概率密度fY(y).【解】因?yàn)镻（1X2）=1,故P（e2Ye4）=1當(dāng)ye2時(shí)FY（y）=P(Yy)=0. 當(dāng)e2ye4時(shí)， 當(dāng)ye4時(shí)，即 故 8.設(shè)二維隨機(jī)變量（X

8、，Y）的概率密度為f（x，y）=求邊緣概率密度.【解】 題8圖 題9圖9.設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的概率密度為f（x，y）=求邊緣概率密度.【解】 題10圖10.設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的概率密度為f（x，y）=（1） 試確定常數(shù)c；（2） 求邊緣概率密度.【解】（1） 得.(2) 13.設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的聯(lián)合分布律為XY2 5 80.40.80.15 0.30 0.350.05 0.12 0.03（1）求關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣分布；（2） X與Y是否相互獨(dú)立？【解】（1）X和Y的邊緣分布如下表XY258PY=yi0.40.150.300.350.80.80.050.120.030.20

9、.20.420.38(2) 因故X與Y不獨(dú)立.22.設(shè)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立，下表列出了二維隨機(jī)變量（X，Y）聯(lián)合分布律及關(guān)于X和Y的邊緣分布律中的部分?jǐn)?shù)值.試將其余數(shù)值填入表中的空白處. XYy1 y2 y3PX=xi=pix1x21/81/8PY=yj=pj1/61【解】因,故從而而X與Y獨(dú)立，故,從而即： 又即從而同理 又,故.同理從而故YX11.設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為X -1 0 1 2P1/8 1/2 1/8 1/4求E（X），E（X2），E（2X+3）.【解】(1) (2) (3) 5.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為f（x）=求E（X），D（X）.【解】 故 6.設(shè)隨機(jī)變量X，Y，Z相互

10、獨(dú)立，且E（X）=5，E（Y）=11，E（Z）=8，求下列隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望.（1） U=2X+3Y+1；（2） V=YZ -4X.【解】(1) (2) 7.設(shè)隨機(jī)變量X，Y相互獨(dú)立，且E（X）=E（Y）=3，D（X）=12，D（Y）=16，求E（3X -2Y），D（2X -3Y）.【解】(1) (2) 9.設(shè)X，Y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，其概率密度分別為fX（x）= fY（y）=求E（XY）.【解】方法一：先求X與Y的均值 由X與Y的獨(dú)立性，得 方法二：利用隨機(jī)變量函數(shù)的均值公式.因X與Y獨(dú)立，故聯(lián)合密度為于是34.設(shè)隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合概率分布為YX -1 0 1010.07 0.18 0.

11、150.08 0.32 0.20試求X和Y的相關(guān)系數(shù). 【解】由已知知E(X)=0.6,E(Y)=0.2，而XY的概率分布為YX -101P0.080.720.2所以E（XY）= -0.08+0.2=0.12Cov(X,Y)=E(XY) -E(X)E(Y)=0.12 -0.60.2=0從而 =01.一顆骰子連續(xù)擲4次，點(diǎn)數(shù)總和記為X.估計(jì)P10X18.【解】設(shè)表每次擲的點(diǎn)數(shù)，則 從而 又X1,X2,X3,X4獨(dú)立同分布.從而 所以 14. 設(shè)隨機(jī)變量X和Y的數(shù)學(xué)期望都是2，方差分別為1和4，而相關(guān)系數(shù)為0.5試根據(jù)契比雪夫不等式給出P|X-Y|6的估計(jì). （2001研考）【解】令Z=X-Y，有所以5. 有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的長(zhǎng)度不小于3m.現(xiàn)從這批木柱中