計(jì)算機(jī)圖形學(xué) 第七章 自由曲線與曲面

1、,自由曲線和曲面,曲線分類,規(guī)則曲線：可用初等解析函數(shù)來表示 如圓、橢圓、雙曲線、圓球、圓柱、圓錐等 自由曲線：以復(fù)雜方式自由變化，無法用初等解析函數(shù)來描述的光滑連續(xù)性曲線 如汽車車身、船體外殼和飛機(jī)機(jī)翼等 隨機(jī)曲線：處處連續(xù)，處處不光滑且處處不可導(dǎo)的非規(guī)則曲線 如地圖邊界、海岸線、水波以及超聲等,圖7-1 汽車的曲面,7.1 基本概念,7.1.1 樣條曲線曲面 7.1.2 曲線曲面的表示形式 7.1.3 擬合和逼近 7.1.4 連續(xù)性條件,7.1.1 樣條曲線曲面,在汽車制造廠里，傳統(tǒng)上采用樣條繪制曲線的形狀。繪圖員彎曲樣條（如彈性細(xì)木條）通過各型值點(diǎn)，其它地方自然過渡，然后沿樣條畫下曲線，

2、即得到樣條曲線（Spline Curve)。在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中，樣條曲線是指由多項(xiàng)式曲線段連接而成的曲線，在每段的邊界處滿足特定的連續(xù)性條件，而樣條曲面則可用兩組正交樣條曲線來描述。,7.1.2 曲線曲面的表示形式,曲線曲面的可以采用顯式方程、隱函數(shù)方程和參數(shù)方程表示： 首先看一下直線的表示形式：已知直線的起點(diǎn)坐標(biāo)P1（x1，y1）和終點(diǎn)坐標(biāo)P2（x2，y2）,直線的顯式方程表示為：,直線的隱函數(shù)方程表示為： 直線的參數(shù)方程表示為：,由于用參數(shù)方程表示的曲線曲面可以直接進(jìn)行幾何變換，而且易于表示成矢量和矩陣，所以在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中一般使用參數(shù)方程來描述曲線曲面。下面以一條三次曲線為例，給出參數(shù)方程

3、的矢量和矩陣表示： 參數(shù)方程表示：,，t0,1；,矢量表示： t0,1； 矩陣表示： t0,1；,7.1.3 擬合和逼近,曲線曲面的擬合：當(dāng)用一組型值點(diǎn)（插值點(diǎn)）來指定曲線曲面的形狀時(shí)，形狀完全通過給定的型值點(diǎn)序列確定，稱為曲線曲面的擬合，如圖7-2所示。 曲線曲面的逼近：當(dāng)用一組控制點(diǎn)來指定曲線曲面的形狀時(shí)，求出的形狀不必通過控制點(diǎn)，稱為曲線曲面的逼近，如圖所示。,圖7-2 擬合曲線 圖7-3逼近曲線,7.1.4連續(xù)性條件,通常單一的曲線段或曲面片難以表達(dá)復(fù)雜的形狀，必須將一些曲線段連接成組合曲線，或?qū)⒁恍┣嫫B接成組合曲面，才能描述復(fù)雜的形狀。為了保證在連接點(diǎn)處平滑過渡，需要滿足連續(xù)性條

4、件。連續(xù)性條件有兩種：參數(shù)連續(xù)性和幾何連續(xù)性。,參數(shù)連續(xù)性 零階參數(shù)連續(xù)性，記作C0，指相鄰兩個(gè)曲線段在交點(diǎn)處具有相同的坐標(biāo)。如圖7-4所示。,圖7-4 零階連續(xù)性,一階參數(shù)連續(xù)性，記作C1，指相鄰兩個(gè)曲線段在交點(diǎn)處具有相同的一階導(dǎo)數(shù)。如圖7-5所示。,圖7-5 一階連續(xù)性,二階參數(shù)連續(xù)性，記作C2，指相鄰兩個(gè)曲線段在交點(diǎn)處具有相同的一階和二階導(dǎo)數(shù)。如圖7-6所示。,圖7-6 二階連續(xù)性,7.4 Bezier曲線,法國雷諾汽車公司的工程師Bezier和法國雪鐵龍汽車公司的de Casteljau分別提出了一種新的參數(shù)曲線表示方法，稱為Bezier曲線。,Bezier的想法從一開始就面向幾何而不

5、是面向代數(shù)。Bezier曲線由控制多邊形惟一定義，Bezier曲線只有第一個(gè)頂點(diǎn)和最后一個(gè)頂點(diǎn)落在控制多邊形上，且多邊形的第一條和最后一條邊表示了曲線在起點(diǎn)和終點(diǎn)的切矢量方向，其它頂點(diǎn)則用于定義曲線的導(dǎo)數(shù)、階次和形狀，曲線的形狀趨近于控制多邊形的形狀，改變控制多邊形的頂點(diǎn)位置就會(huì)改變曲線的形狀。繪制Bezier曲線的直觀交互性使得對(duì)設(shè)計(jì)對(duì)象的控制達(dá)到了直接的幾何化程度，使用起來非常方便。幾種典型的三次Bezier曲線如圖7-7所示。,幾種典型的三次Bezier曲線,7.4.1 Bezier曲線的定義 7.4.2 Bezier曲線的性質(zhì) 7.4.3 Bezier曲線的可分割性,給定n+1個(gè)控制點(diǎn)

6、Pi（i0，1，2n），稱為n次Bezier曲線。 t0，1 式中，Pi（i0，1，2n）是控制多邊形的n+1個(gè)控制點(diǎn)，控制多邊形是連接n條邊構(gòu)成的多邊形。是Bernstein基函數(shù)，其表達(dá)式為：,7.4.1 Bezier曲線的定義,1.一次Bezier曲線 當(dāng)n1時(shí)，Bezier曲線的控制多邊形有二個(gè)控制點(diǎn)P0和P1，Bezier曲線是一次多項(xiàng)式。 可以看出，一次Bezier曲線是一段直線。,2.二次Bezier曲線 當(dāng)n2時(shí)，Bezier曲線的控制多邊形有三個(gè)控制點(diǎn)P0、P1和P2，Bezier曲線是二次多項(xiàng)式。 可以證明，二次Bezier曲線是一段拋物線。,3.三次Bezier曲線 當(dāng)n

7、3時(shí)，Bezier曲線的控制多邊形有四個(gè)控制點(diǎn)P0、P1、P2和P3，Bezier曲線是三次多項(xiàng)式。 可以證明，三次Bezier曲線是自由曲線。,注意：對(duì)于Bezier曲線，在區(qū)間0,1范圍內(nèi)，每個(gè)基函數(shù)均不為零，說明不能使用控制多邊形對(duì)曲線的形狀進(jìn)行局部調(diào)整，如果要改變某一控制點(diǎn)位置，整個(gè)曲線都將受到影響。,7.4.2 Bezier曲線的性質(zhì),1.端點(diǎn)性質(zhì) 在閉區(qū)間0，1內(nèi)，將t0和 t1代入式（7-12），得到p(0)P0和p(1)Pn。說明Bezier曲線的起點(diǎn)和終點(diǎn)分別位于頂點(diǎn)P0和Pn上。,2.一階導(dǎo)數(shù) 將式（7-12）求導(dǎo)，有 在閉區(qū)間0，1內(nèi)，將t0和t1代入上式，得到 這說明B

8、ezier曲線的起點(diǎn)和終點(diǎn)的切線方向位于控制多邊形的起始邊和終止邊的切線方向上。,3.凸包性質(zhì) 由公式（7-13）可以看出，在閉區(qū)間0，1內(nèi)， ，而且 。說明Bezier曲線位于控制多邊形構(gòu)成的凸包之內(nèi)。,（4）幾何不變性。這是指某些幾何特性不隨坐標(biāo)變換而變化的特性。Bezier曲線位置與形狀與其特征多邊形頂點(diǎn) 的位置有關(guān)，它不依賴坐標(biāo)系的選擇。,Bezier曲線的性質(zhì),7.4.3 Bezier曲線的可分割性,Bezier曲線的可分割性可用德卡斯特里奧（De Casteliau）算法表達(dá)如下。 給定空間n+1個(gè)點(diǎn)Pi（i=0，1， 2n）及參數(shù)t，有,例如，當(dāng)n=3時(shí)，有 三次Bezier曲線

9、遞推如下：,其中：規(guī)定：,根據(jù)該式可以繪制Bezier曲線，取t=0，t1/3，t2/3，t=1，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡形成Bezier曲線。圖7-8繪制的是t=1/3的點(diǎn)。,圖7-9繪制的是t=2/3的點(diǎn)。,幾何設(shè)計(jì)中，一條Bezier曲線往往難以描述復(fù)雜的曲線形狀。這是由于增加特征多邊形的頂點(diǎn)數(shù)，會(huì)引起B(yǎng)ezier曲線次數(shù)的提高，而高次多項(xiàng)式又會(huì)帶來計(jì)算上的困難，實(shí)際使用中，一般不超過10次。所以有時(shí)采用分段設(shè)計(jì)，然后將各段曲線相互連接起來，并在接合處保持一定的連續(xù)條件。下面討論兩段Bezier曲線達(dá)到不同階幾何連續(xù)的條件。,Bezier曲線的拼接,給定兩條Bezier曲線P(t)和Q(t)，相應(yīng)控

10、制點(diǎn)為Pi(i=0, 1, ., n)和Qj(j=0,1,., m)，且令 ，如圖所示，我們現(xiàn)在把兩條曲線連接起來。 圖 Bezier曲線的拼接,b,1,P,n-2,P,n-1,P,(t),a,n-1,a,n,P,n,Q,0,Q,1,b,2,Q,2,Q(t),Bezier曲線的拼接,（1）要使它們達(dá)到G0連續(xù)的充要條件是：Pn= Q0； （2）要使它們達(dá)到G1連續(xù)的充要條件是：Pn-1，Pn= Q0 ，Q1三點(diǎn)共線，即： （3）要使它們達(dá)到G2連續(xù)的充要條件是：在G1連續(xù)的條件下，并滿足方程 。,Bezier曲線的拼接,Bezier曲線的繪制,繪制Bezier曲線時(shí)，可以利用其定義式，對(duì)參數(shù)t

11、選取足夠多的值，計(jì)算曲線上的一些點(diǎn)，然后用折線連接來近似畫出實(shí)際的曲線。隨著選取點(diǎn)增多，折線和曲線可以任意接近。 假設(shè)給定的四個(gè)型值點(diǎn)是P0=(1，1)，Pl=(2，3)，P2=(4，3)， P3=(3，1)，則計(jì)算結(jié)果見表,( 1)特征點(diǎn)個(gè)數(shù)與曲線的次數(shù)有關(guān)，若給定任意n+1個(gè)控制點(diǎn),可構(gòu)造出一條n 次的Bezier曲線.當(dāng)n值較大時(shí),計(jì)算相當(dāng)復(fù)雜。 在實(shí)際應(yīng)用時(shí),一般用分段三次Bezier曲線來實(shí)現(xiàn):將多段三次Bezier曲線依次拼接起來,并保證連接處具有C1和C2連續(xù)性。 (2) Bezier曲線是一個(gè)整體的逼近方案（牽一發(fā)動(dòng)全身），Bezier曲線不能局部修改。,Bezier曲線的主要

12、缺點(diǎn),習(xí) 題,請(qǐng)利用下面給出的控制點(diǎn)的坐標(biāo)，做三次 Brezier曲線： p0=(1,0)；p1=(5,5)；p2=(15,7)；p3=(10,2) 參數(shù)t的取值間隔為0.2。,n=3時(shí)， B0(t)=(1-t)，B1(t)=3(1-t)t，B2(t)=3(1-t)t，B3(t)=t 對(duì)于參數(shù)t的不同取值，坐標(biāo)P(t)可以用下式求得： P(t) B0(t)p0 B1(t) p1 B2(t) p2 B3(t) p3,解： P(0)=1(1,0)0 (5,5)0 (15,7) 0(10,2) (1,0) P(0.2)=0.51(1,0)0.38 (5,5)0.10 (15,7) 0.01(10,2) (4.01,2.62) P(0.4)=0.22(1,0)0.43 (5,5)0.23 (15,7) 0.06(10,2) (6.42,3.88) P(0.6)=0.06(1,0)0.23 (5,5)0.43 (15,7) 0.22(10,2) (9.86,4.60) P(0.8)=0.01(1,0)0.10