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文檔簡介

1、.,第三講,有效前沿與最優(yōu)證券組合,.,有效前沿的定義: 定義3.1 設(shè)S是N種證券的選擇集,如果其中存在一個(gè)子集F(p),具有如下性質(zhì): 1.在給定的標(biāo)準(zhǔn)差(或方差)中,F(xiàn)(p)中的證券組合在S中具有最大的期望收益率。 2.在給定的期望收益率中,F(xiàn)(p)中的證券組合在S中具有最小的標(biāo)準(zhǔn)差(或方差)。 則稱F(p)為有效前沿(efficient frontier),簡稱前沿(邊界)。,.,3.1 N種風(fēng)險(xiǎn)證券組合的有效前沿,(一)兩種風(fēng)險(xiǎn)證券組合的有效前沿 兩種風(fēng)險(xiǎn)證券A和B,A和B的期望收益率為 a 和 b,方差和協(xié)方差分別為 對任一組合p= (x,1-x),x0,1 ,證券組合p的期望收益

2、率和方差如下:,.,討論證券組合P的有效前沿形狀,1) 2) 3),.,2種和3種風(fēng)險(xiǎn)證券的有效前沿,p B,p C,ab=-1 2 ab=1 4 3,C D 1 B,A A,O p O p 圖3.1 圖3.2,.,例題,兩種風(fēng)險(xiǎn)證券A和B,A和B的期望收益率為 a=4.6% 和 b=8.5% ,方差和協(xié)方差分別為 求這兩種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的有效前沿。,.,N種風(fēng)險(xiǎn)證券的有效前沿,p,O p 圖3.3,E,.,(二)N中風(fēng)險(xiǎn)證券組合澤的有效前沿,設(shè)市場上有N種風(fēng)險(xiǎn)證券,它們的收益率和方差為有限值 ,這些收益率的方差-協(xié)方差矩陣V為正定矩陣 ,N種證券的期望收益率為: N種證券組合P表示為: 證券組合期

3、望收益率和方差分別為,.,按有效前沿的定義,求有效前沿即要求解下規(guī)劃問題:,.,構(gòu)造拉格朗日函數(shù) 一階條件:,.,由于V為正定陣,V的逆矩陣存在。,求解得,.,對于另一個(gè)指定的 ,在前沿上的證券組合為:,.,兩個(gè)證券組合的協(xié)方差為 令 ,則得前沿上的證券組合方差為:,.,A/C MVP,O (1/C)1/2 p,.,32 允許對無風(fēng)險(xiǎn)證券投資的有效前沿,無風(fēng)險(xiǎn)證券(例如國庫券等)的期末收入是確定的。 因此這種證券的方差為零,從而它和任何一種股票的協(xié)方差也為零。我們把無風(fēng)險(xiǎn)證券簡稱為債券。,.,一種風(fēng)險(xiǎn)證券和一種無風(fēng)險(xiǎn)證券,股票A和債券 以 記投入債券的比例,則 是購買股票的比例。 證券組合的期

4、望收益率和標(biāo)準(zhǔn)差分別為:,.,一種風(fēng)險(xiǎn)證券和一種無風(fēng)險(xiǎn)證券,得證券組合的期望收益率 和標(biāo)準(zhǔn)差的關(guān)系:,.,圖3.5,B,A,C,。,O,.,兩種股票A和B,及一種債券,有效前沿為從(0,rf)出發(fā),與雙曲線AB相切的射線,C,A,D,B,O,e,.,N 種股票及一種債券,問題 s.t 構(gòu)造拉格朗日函數(shù):,.,一階條件:,.,得證券組合的投資比例 其中 證券組合的方差為 或,.,切點(diǎn)證券組合(tangency portfolio),切點(diǎn)證券組合e的投資比例,.,切點(diǎn)的證券組合,.,3.3 最優(yōu)證券組合,N種風(fēng)險(xiǎn)證券的情形 設(shè)投資者的效用函數(shù)為 ,并設(shè) 和 ,下標(biāo)1,2分別表示對U的第1,2個(gè)變元

5、求導(dǎo)。 意味著對給定的風(fēng)險(xiǎn) ,投資者認(rèn)為期望回報(bào)率越大越好。 意味著對給定的期望回報(bào)率 ,投資者認(rèn)為風(fēng)險(xiǎn) 越小越好。,.,這時(shí)投資者的問題可表述為 s.t,.,構(gòu)造拉格朗日函數(shù) 一階條件,.,一階條件變形得: 從而得出:,.,把代回X中可得最優(yōu)投資比例 :,.,定理3.1 當(dāng)市場上只有風(fēng)險(xiǎn)證券時(shí),任何投資者的最優(yōu)證券組合都是由 和 的凸組合構(gòu)成的。 又最優(yōu)證券組合O*是投資者的無差異曲線和有效前沿的切點(diǎn),故有: 推論1 任何效用無差異曲線和有效前沿的切點(diǎn)都是由 和 的凸組合構(gòu)成的。 有效前沿又可以看成由所有切點(diǎn)組成,因而有: 推論2 有效前沿上任何一點(diǎn)都是 和 的凸組合。,.,最優(yōu)證券組合,存在無風(fēng)險(xiǎn)證券的情形 設(shè) N種風(fēng)險(xiǎn)證券和一種債券,在風(fēng)險(xiǎn)證券上的投資比例為X,在無風(fēng)險(xiǎn)證券上的投資比例為(1 XI),從而證券組合的期望收益率,.,證券組合的期望收益率 投資者的問題可表示為:,.,一階條件 最優(yōu)投資比例為 在債券上的投資比例為(1 X*I),.,定理3.2 (兩資金分離定理,two-fund separation),當(dāng)市場上存在無風(fēng)險(xiǎn)證券時(shí),每個(gè)投資者有一個(gè)效用最大的證券組合,它由無風(fēng)險(xiǎn)證券和切點(diǎn)證券組合構(gòu)成。,.,計(jì)算方法與例題,切點(diǎn)e證券組合的計(jì)算方法,.,例3.1 設(shè)風(fēng)險(xiǎn)證券A和B

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