有效前沿與最優(yōu)證券組合

1、.,第三講,有效前沿與最優(yōu)證券組合,.,有效前沿的定義： 定義3.1 設(shè)S是N種證券的選擇集，如果其中存在一個子集F(p)，具有如下性質(zhì)： 1.在給定的標(biāo)準(zhǔn)差（或方差）中，F(xiàn)(p)中的證券組合在S中具有最大的期望收益率。 2.在給定的期望收益率中，F(xiàn)(p)中的證券組合在S中具有最小的標(biāo)準(zhǔn)差（或方差）。 則稱F(p)為有效前沿（efficient frontier），簡稱前沿（邊界）。,.,3.1 N種風(fēng)險證券組合的有效前沿,（一）兩種風(fēng)險證券組合的有效前沿 兩種風(fēng)險證券A和B，A和B的期望收益率為 a 和 b，方差和協(xié)方差分別為 對任一組合p= (x，1-x)，x0，1 ，證券組合p的期望收益

2、率和方差如下：,.,討論證券組合P的有效前沿形狀,1） 2） 3）,.,2種和3種風(fēng)險證券的有效前沿,p B,p C,ab=-1 2 ab=1 4 3,C D 1 B,A A,O p O p 圖3.1 圖3.2,.,例題,兩種風(fēng)險證券A和B，A和B的期望收益率為 a=4.6% 和 b=8.5% ，方差和協(xié)方差分別為 求這兩種風(fēng)險資產(chǎn)的有效前沿。,.,N種風(fēng)險證券的有效前沿,p,O p 圖3.3,E,.,（二)N中風(fēng)險證券組合澤的有效前沿,設(shè)市場上有N種風(fēng)險證券，它們的收益率和方差為有限值 ，這些收益率的方差-協(xié)方差矩陣V為正定矩陣 ，N種證券的期望收益率為： N種證券組合P表示為： 證券組合期

3、望收益率和方差分別為,.,按有效前沿的定義，求有效前沿即要求解下規(guī)劃問題：,.,構(gòu)造拉格朗日函數(shù) 一階條件：,.,由于V為正定陣，V的逆矩陣存在。,求解得,.,對于另一個指定的 ，在前沿上的證券組合為：,.,兩個證券組合的協(xié)方差為 令 ，則得前沿上的證券組合方差為：,.,A/C MVP,O (1/C)1/2 p,.,32 允許對無風(fēng)險證券投資的有效前沿,無風(fēng)險證券（例如國庫券等）的期末收入是確定的。 因此這種證券的方差為零，從而它和任何一種股票的協(xié)方差也為零。我們把無風(fēng)險證券簡稱為債券。,.,一種風(fēng)險證券和一種無風(fēng)險證券,股票A和債券 以 記投入債券的比例，則 是購買股票的比例。 證券組合的期

4、望收益率和標(biāo)準(zhǔn)差分別為：,.,一種風(fēng)險證券和一種無風(fēng)險證券,得證券組合的期望收益率 和標(biāo)準(zhǔn)差的關(guān)系：,.,圖3.5,B,A,C,。,O,.,兩種股票A和B，及一種債券,有效前沿為從(0，rf)出發(fā)，與雙曲線AB相切的射線,C,A,D,B,O,e,.,N 種股票及一種債券,問題 s.t 構(gòu)造拉格朗日函數(shù)：,.,一階條件：,.,得證券組合的投資比例 其中 證券組合的方差為 或,.,切點證券組合(tangency portfolio),切點證券組合e的投資比例,.,切點的證券組合,.,3.3 最優(yōu)證券組合,N種風(fēng)險證券的情形 設(shè)投資者的效用函數(shù)為 ，并設(shè) 和 ，下標(biāo)1，2分別表示對U的第1，2個變元

5、求導(dǎo)。 意味著對給定的風(fēng)險 ，投資者認為期望回報率越大越好。 意味著對給定的期望回報率 ，投資者認為風(fēng)險 越小越好。,.,這時投資者的問題可表述為 s.t,.,構(gòu)造拉格朗日函數(shù) 一階條件,.,一階條件變形得： 從而得出：,.,把代回X中可得最優(yōu)投資比例 ：,.,定理3.1 當(dāng)市場上只有風(fēng)險證券時，任何投資者的最優(yōu)證券組合都是由 和 的凸組合構(gòu)成的。 又最優(yōu)證券組合O*是投資者的無差異曲線和有效前沿的切點，故有： 推論1 任何效用無差異曲線和有效前沿的切點都是由 和 的凸組合構(gòu)成的。 有效前沿又可以看成由所有切點組成，因而有： 推論2 有效前沿上任何一點都是 和 的凸組合。,.,最優(yōu)證券組合,存在無風(fēng)險證券的情形 設(shè) N種風(fēng)險證券和一種債券，在風(fēng)險證券上的投資比例為X，在無風(fēng)險證券上的投資比例為（1 XI），從而證券組合的期望收益率,.,證券組合的期望收益率 投資者的問題可表示為：,.,一階條件 最優(yōu)投資比例為 在債券上的投資比例為(1 X*I),.,定理3.2 (兩資金分離定理，two-fund separation),當(dāng)市場上存在無風(fēng)險證券時，每個投資者有一個效用最大的證券組合，它由無風(fēng)險證券和切點證券組合構(gòu)成。,.,計算方法與例題,切點e證券組合的計算方法,.,例3.1 設(shè)風(fēng)險證券A和B