高等數(shù)學(xué)下十一章Ppt

1、第三節(jié),一、函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念,二、冪級數(shù)及其收斂性,三、冪級數(shù)的運(yùn)算,冪級數(shù),第十一章,一、 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念,設(shè),為定義在區(qū)間 I 上的函數(shù)項(xiàng)級數(shù) .,對,若常數(shù)項(xiàng)級數(shù),斂點(diǎn),所有收斂點(diǎn)的全體稱為其收斂域 ;,若常數(shù)項(xiàng)級數(shù),為定義在區(qū)間 I 上的函數(shù), 稱,收斂,發(fā)散 ,所有,為其收,為其發(fā)散點(diǎn),發(fā)散點(diǎn)的全體稱為其發(fā)散域 .,為級數(shù)的和函數(shù) , 并寫成,若用,令余項(xiàng),則在收斂域上有,表示函數(shù)項(xiàng)級數(shù)前 n 項(xiàng)的和, 即,在收斂域上, 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和是 x 的函數(shù),稱它,例如, 等比級數(shù),它的收斂域是,它的發(fā)散域是,或?qū)懽?又如, 級數(shù),級數(shù)發(fā)散 ;,所以級數(shù)的收斂域僅為,有和函數(shù),二、冪級數(shù)及

2、其收斂性,形如,的函數(shù)項(xiàng)級數(shù)稱為冪級數(shù),其中數(shù)列,下面著重討論,例如, 冪級數(shù),為冪級數(shù)的系數(shù) .,即是此種情形.,的情形, 即,稱,收斂,發(fā)散,定理 1. ( Abel定理 ),若冪級數(shù),則對滿足不等式,的一切 x 冪級數(shù)都絕對收斂.,反之, 若當(dāng),的一切 x , 該冪級數(shù)也發(fā)散 .,時(shí)該冪級數(shù)發(fā)散 ,則對滿足不等式,證: 設(shè),收斂,則必有,于是存在,常數(shù) M 0, 使,當(dāng) 時(shí),收斂,故原冪級數(shù)絕對收斂 .,也收斂,反之, 若當(dāng),時(shí)該冪級數(shù)發(fā)散 ,下面用反證法證之.,假設(shè)有一點(diǎn),滿足不等式,所以若當(dāng),滿足,且使級數(shù)收斂 ,面的證明可知,級數(shù)在點(diǎn),故假設(shè)不真.,的 x , 原冪級數(shù)也發(fā)散 .,

3、時(shí)冪級數(shù)發(fā)散 ,則對一切,則由前,也應(yīng)收斂,與所設(shè)矛盾,證畢,冪級數(shù)在 (, +) 收斂 ;,由Abel 定理可以看出,中心的區(qū)間.,用R 表示冪級數(shù)收斂與發(fā)散的分界點(diǎn),的收斂域是以原點(diǎn)為,則,R = 0 時(shí),冪級數(shù)僅在 x = 0 收斂 ;,R = 時(shí),冪級數(shù)在 (R , R ) 收斂 ;,(R , R ) 加上收斂的端點(diǎn)稱為收斂域.,R 稱為收斂半徑 ，,在R , R ,可能收斂也可能發(fā)散 .,外發(fā)散;,在,(R , R ) 稱為收斂區(qū)間.,定理2. 若,的系數(shù)滿足,證:,1) 若 0,則根據(jù)比值審斂法可知:,當(dāng),原級數(shù)收斂;,當(dāng),原級數(shù)發(fā)散.,即,時(shí),1) 當(dāng) 0 時(shí),2) 當(dāng) 0 時(shí),

4、3) 當(dāng) 時(shí),即,時(shí),則,2) 若,則根據(jù)比值審斂法可知,絕對收斂 ,3) 若,則對除 x = 0 以外的一切 x 原級發(fā)散 ,對任意 x 原級數(shù),因此,因此,的收斂半徑為,說明:據(jù)此定理,因此級數(shù)的收斂半徑,對端點(diǎn) x =1,的收斂半徑及收斂域.,解:,對端點(diǎn) x = 1, 級數(shù)為交錯(cuò)級數(shù),收斂;,級數(shù)為,發(fā)散 .,故收斂域?yàn)?例1.求冪級數(shù),例2. 求下列冪級數(shù)的收斂域 :,解: (1),所以收斂域?yàn)?(2),所以級數(shù)僅在 x = 0 處收斂 .,規(guī)定: 0 ! = 1,例3.,的收斂半徑 .,解: 級數(shù)缺少奇次冪項(xiàng),不能直接應(yīng)用定理2,比值審斂法求收斂半徑.,時(shí)級數(shù)收斂,時(shí)級數(shù)發(fā)散,故收

5、斂半徑為,故直接由,例4.,的收斂域.,解: 令,級數(shù)變?yōu)?當(dāng) t = 2 時(shí), 級數(shù)為,此級數(shù)發(fā)散;,當(dāng) t = 2 時(shí), 級數(shù)為,此級數(shù)條件收斂;,因此級數(shù)的收斂域?yàn)?故原級數(shù)的收斂域?yàn)?即,例5 求下列冪級數(shù)的收斂域:,發(fā)散,收斂,故收斂域?yàn)?0,1.,三、冪級數(shù)的運(yùn)算,1.代數(shù)運(yùn)算性質(zhì):,(1) 加減法,(其中,(2) 乘法,(其中,(3) 除法,(相除后的收斂區(qū)間比原來兩級數(shù)的收斂區(qū)間小得多),說明:,兩個(gè)冪級數(shù)相除所得冪級數(shù)的收斂半徑可能比,原來兩個(gè)冪級數(shù)的收斂半徑小得多.,例如, 設(shè),它們的收斂半徑均為,但是,其收斂半徑只是,2.和函數(shù)的分析運(yùn)算性質(zhì):,(收斂半徑不變),(收斂半

6、徑不變),解: 由例2可知級數(shù)的收斂半徑 R+.,例6.,則,故有,故得,的和函數(shù) .,因此得,設(shè),例7.,的和函數(shù),解: 易求出冪級數(shù)的收斂半徑為 1 ,x1 時(shí)級數(shù)發(fā),散,例8. 求級數(shù),的和函數(shù),解: 易求出冪級數(shù)的收斂半徑為 1 ,及,收斂 ,因此由和函數(shù)的連續(xù)性得:,而,及,常用已知和函數(shù)的冪級數(shù),2.,的和函數(shù),思考與練習(xí),求級數(shù),解,兩邊積分得,例,求和函數(shù),解,收斂域?yàn)?記,則,故,這是一個(gè)缺項(xiàng)的冪級數(shù), 不能直接運(yùn)用求冪,級數(shù)收斂半徑的計(jì)算公式. 今后遇到這類級數(shù)應(yīng),該按照函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的情形處理, 通常是采用達(dá)朗,貝爾判別法.,內(nèi)容小結(jié),1. 求冪級數(shù)收斂域的方法,1) 對標(biāo)準(zhǔn)型冪級數(shù),先求收斂半徑 , 再討論端點(diǎn)的收斂性 .,2) 對非標(biāo)準(zhǔn)型冪級數(shù)(缺項(xiàng)或通項(xiàng)為復(fù)合式),求收斂半徑時(shí)直接用比值法或根值法,也可通過換元化為標(biāo)準(zhǔn)型再求 .,2) 在收斂區(qū)間內(nèi)冪級數(shù)的和函數(shù)連續(xù);,3) 冪級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)可逐項(xiàng)求導(dǎo)和求積分.,2. 冪級數(shù)的性質(zhì),兩個(gè)冪級數(shù)在公共收斂區(qū)間內(nèi)可進(jìn)行加、減與,乘法運(yùn)算.,P215 1 (1), (3), (5), (7), (8) 2 (1), (3),作業(yè),阿貝爾(1802 1829),挪威數(shù)學(xué)家, 近代數(shù)學(xué)發(fā)展的先驅(qū)者.,他在22歲時(shí)就解決了用根式解5 次方程,的不可能性問題 ,他還研究了更廣的一,并稱之為阿貝爾群.,在級數(shù)研究中,