《反證法 》課件 (1).ppt

1、2.2.2 反證法,一反證法,證明命題“設(shè)p為正整數(shù)，如果p2是偶數(shù), 則p也是偶數(shù)”，我們可以不去直接證明p是偶數(shù)，而是否定p是偶數(shù)，然后得到矛盾，從而肯定p是偶數(shù)。具體證明步驟如下：,假設(shè)p不是偶數(shù)，可令p=2k+1，k為整數(shù)。,可得 p2=4k2+4k+1，此式表明，p2是奇數(shù)，這與假設(shè)矛盾，因此假設(shè)p不是偶數(shù)不成立，從而證明p為偶數(shù)。,一般地，由證明pq轉(zhuǎn)向證明：,t與假設(shè)矛盾，或與某個(gè)真命題矛盾，從而判定 為假，推出q為真的方法，叫做反證法。,例1證明 不是有理數(shù)。,證明：假定 是有理數(shù)，則可設(shè) ,其中p，q為互質(zhì)的正整數(shù)，,把 兩邊平方得到，2q2=p2， ,式表明p2是偶數(shù)，所以

2、p也是偶數(shù)，于是令p=2l，l是正整數(shù)，代入式，,得q2=2l2， ,式表明q2是偶數(shù)，所以q也是偶數(shù)，這樣p，q都有公因數(shù)2，這與p，q互質(zhì)矛盾，,因此 是有理數(shù)不成立，于是 是無理數(shù).,例2證明質(zhì)數(shù)有無窮多個(gè)。,證明：假定質(zhì)數(shù)只有有限多個(gè)，設(shè)全體質(zhì)數(shù)為p1，p2，p3，pn，,令p= p1p2p3pn+1，顯然p不含因數(shù)p1，p2，p3，pn，p要么是質(zhì)數(shù)，要么含有除p1，p2，p3，pn之外的質(zhì)因數(shù)。,因此質(zhì)數(shù)只有有限多個(gè)不成立，于是質(zhì)數(shù)有無窮多個(gè)。,從上述兩例看出，反證法不是直接去證明結(jié)論，而是先否定結(jié)論，在否定結(jié)論的基礎(chǔ)上，運(yùn)用演繹推理，導(dǎo)出矛盾，從而肯定結(jié)論的真實(shí)性。,二反證法的主

3、要步驟,(1) 反設(shè)： 反設(shè)是反證法的基礎(chǔ)，為了正確地作出反設(shè)，掌握一些常用的互為否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一個(gè)/一個(gè)也沒有；至少有n個(gè)/至多有(n一1)個(gè)；至多有一個(gè)/至少有兩個(gè)；唯一/至少有兩個(gè)。,(2) 歸謬： 歸謬是反證法的關(guān)鍵，導(dǎo)出矛盾的過程沒有固定的模式，但必須從反設(shè)出發(fā)，否則推導(dǎo)將成為無源之水，無本之木。推理必須嚴(yán)謹(jǐn)。導(dǎo)出的矛盾有如下幾種類型：與已知條件矛盾；與已知的公理、定義、定理、公式矛盾；與反設(shè)矛盾；自相矛盾。,(3) 結(jié)論：由前兩步，得到正確的結(jié)論

4、，一點(diǎn)要在前面的基礎(chǔ)上肯定結(jié)論的真實(shí)性。,例3證明1， ，2不能為同一等差數(shù)列的三項(xiàng)。,證明：假設(shè)1， ，2是某一等差數(shù)列中的三項(xiàng)，設(shè)這一等差數(shù)列的公差為d，則,1= md，2= nd，其中m，n為某兩個(gè)正整數(shù)，,由上兩式中消去d，得到n+2m=(n+m) ,因?yàn)閚+2m為有理數(shù)，(m+n) 為無理數(shù),所以n+2m(n+m)，因此假設(shè)不成立，1， ，2不能為同一等差數(shù)列中的三項(xiàng).,例4平面上有四個(gè)點(diǎn)，沒有三點(diǎn)共線，證明以每三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形不可能都是銳角三角形。,證明：假設(shè)以每三點(diǎn)為頂點(diǎn)的四個(gè)三角形都是銳角三角形，記這四個(gè)點(diǎn)為A，B，C，D，,考慮ABC，點(diǎn)D在ABC之內(nèi)或之外兩種情況。,（1

5、）如果點(diǎn)D在ABC之內(nèi)，根據(jù)假設(shè)，圍繞點(diǎn)D的三個(gè)角都是銳角，其和小于270，這與一個(gè)周角等于360矛盾；,（2）如果點(diǎn)D在ABC之外，根據(jù)假設(shè)四邊形ABCD的四個(gè)內(nèi)角分別是某銳角三角形的內(nèi)角，,即A，B，C，D都小于90，這和四邊形內(nèi)角和等于360矛盾，,綜上所述，原題的結(jié)論正確。,例5、設(shè)a3+b3=2，求證a+b2,證明：假設(shè)a+b2，則有a2b，從而 a3812b+6b2b3， a3+b36b212b+8=6(b1)2+2.,因?yàn)?(b1)2+22，所以a3+b32，這與題設(shè)條件a3+b3=2矛盾， 所以，原不等式a+b2成立。,例6、設(shè)0 a, b, c 1，求證：(1 a)b, (1 b)c, (1 c)a,不可能同時(shí)大于,證明：設(shè)(1 a)b , (1 b)c , (1 c)a ,則三式