分析力學(xué)--第2章-動(dòng)力學(xué)普遍方程和拉格朗日方程課件

1、第二章 動(dòng)力學(xué)普遍方程和拉各朗日方程,擺長(zhǎng)不定，如何確定其擺動(dòng)規(guī)律？,混沌擺問題,多桿擺問題,其加速度為,令,R=P+T,則,ma = R = P + T,擺錘M在受到P、T的同時(shí)，將給施力體 （地心和繩子）一對(duì)應(yīng)的反作用力， 反作用力的合力為,R=R= ma,此力是擺錘被迫作非慣性運(yùn)動(dòng)時(shí)產(chǎn)生的“反作用力”，稱為慣性力。,圖示圓錐擺擺長(zhǎng)為l，擺錘M的質(zhì)量m，在水平面內(nèi)作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，速度為v，錐擺的頂角為2，擺錘 M 受力如圖。,若用Fg表示慣性力，則有 Fg = ma,設(shè)質(zhì)點(diǎn)M的質(zhì)量為m，受力有主動(dòng)力F、 約束反力FN，加速度為a，則根據(jù)牛頓 第二定律，有,ma = F+FN,Fg= ma,

2、令,則,F+FN+Fg = 0,形式上的平衡方程,設(shè)質(zhì)點(diǎn)系由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成， 第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量為mi，受力有主動(dòng)力Fi ，約束反力FNi ，加速度為ai ，假想地加上其慣性力Fgi=miai ，則根據(jù)質(zhì)點(diǎn)的達(dá)朗伯原理，F(xiàn)i 、 FNi與Fgi應(yīng)組成形式上的平衡力系，即,Fi + FNi +Fgi=0 （i =1，2，n）,MO(Fi) + MO( FNi ) + MO( Fgi ) =0,Fi + FNi +Fgi=0,質(zhì)點(diǎn)系的 達(dá)朗伯原理,即,或,1 .動(dòng)力學(xué)普遍方程,設(shè)質(zhì)點(diǎn)系由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成，第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量為mi， 受主動(dòng)力Fi，約束反力FNi，加速度為ai，虛加上 其慣性力Fgi=miai,則

3、根據(jù)達(dá)朗伯原理， Fi 、FNi 與Fgi， 應(yīng)組成形式上的平衡力系，即 Fi + FNi +Fgi= 0,若質(zhì)點(diǎn)系受理想約束作用，應(yīng)用虛位移原理，有,或,動(dòng)力學(xué)普遍方程,則動(dòng)力學(xué)普遍方程的坐標(biāo)分解式為,若,研究整個(gè)系統(tǒng)，進(jìn)行受力分析；,解：,設(shè)桿的加速度為a，則,Fg1= m1a，,Fg2= m2a，,給連桿以平行于斜面向下 的虛位移s，,則相應(yīng)地兩 輪有轉(zhuǎn)角虛位移，且,根據(jù)動(dòng)力學(xué)普 遍方程，得:,于是,解得,(a) (b),2. 拉格朗日方程,n個(gè)質(zhì)點(diǎn)的系統(tǒng)受到k 個(gè)如下形式的完整約束fi ,又若系統(tǒng)中質(zhì)量為mj的第j個(gè)質(zhì)點(diǎn)受主動(dòng)力Fj，則系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)滿足3n個(gè)方程如左，稱為第一類拉格朗日方

4、程，i稱為拉各朗日未定乘子。,*第一類拉格朗日方程用到的較少,拉格朗日,1736 1813,法籍 意大利人，數(shù)學(xué)家、 力學(xué)家、天文學(xué)家， 十九歲成為數(shù)學(xué)教授，與歐拉共同創(chuàng)立變分法，是十八世紀(jì)繼歐拉后偉大的數(shù)學(xué)家。,用q1，q2，qN表示系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)，第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量為mi， 矢徑為ri。則 ri= ri(q1，q2，qN，t),對(duì)上式求變分得,動(dòng)力學(xué)普遍方程可寫成,其中,根據(jù)虛位移原理中廣義力與廣義虛位移的表示形式，有,因?yàn)橄到y(tǒng)為完整約束，廣義坐標(biāo)相互獨(dú)立，所以廣義坐標(biāo) 的變分qk是任意的，為使上式恒成立，須有,(k =1，2，N),廣義力,廣義慣性力,對(duì)式,中廣義慣性力進(jìn)行變換：,將下列兩個(gè)

5、恒等式（有關(guān)證明請(qǐng)參閱教材P46）,（ 廣義速度）,得,所以,代入第一項(xiàng)中的括號(hào)內(nèi),代入第二項(xiàng)中的括號(hào)內(nèi),得到,這就是第二類拉格朗日方程，是一個(gè)方程組，該方程組 的數(shù)目等于質(zhì)點(diǎn)系的自由度數(shù)，各方程均為二階常微分 方程，揭示了系統(tǒng)動(dòng)能的變化與廣義力之間的關(guān)系。,則廣義力Qk可寫成質(zhì)點(diǎn)系勢(shì)能表達(dá)的形式,于是，對(duì)保守系統(tǒng)，拉格朗日方程可寫成,用函數(shù)L表示系統(tǒng)的動(dòng)能T與勢(shì)能V之差，即 L = TV,L稱為拉格朗日函數(shù)或動(dòng)勢(shì)。,則在保守系統(tǒng)中，用動(dòng)勢(shì)表示的拉格朗日方程的形式為,1.拉格朗日方程是解決具有完整約束的質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)力學(xué)問題 的普遍方程，是分析力學(xué)中的重要方程。,2.拉格朗日方程是標(biāo)量方程，以動(dòng)能為

6、方程的基本量，是用廣義坐標(biāo)表示的運(yùn)動(dòng)微分方程。,3.拉格朗日方程形式簡(jiǎn)潔，運(yùn)用時(shí)只需要計(jì)算系統(tǒng)的動(dòng)能； 對(duì)于保守力系統(tǒng)，只需要計(jì)算系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能。,1.靜力學(xué)：對(duì)受完整約束的多自由度的平衡問題，根據(jù)虛位移原理，采用廣義坐標(biāo)，得到與自由度相同的一組獨(dú)立平衡方程。這種用分析方法建立的平衡條件，避開了未知的約束反力，使非自由質(zhì)點(diǎn)系的平衡問題的求解變得簡(jiǎn)單。,2.動(dòng)力學(xué)：對(duì)受完整約束的多自由度的動(dòng)力學(xué)問題，可以根據(jù)能量原理，采用廣義坐標(biāo)，推導(dǎo)出與自由度相同的一組獨(dú)立的運(yùn)動(dòng)微分方程。這種用廣義坐標(biāo)表示的動(dòng)力學(xué)普遍方程，稱為拉格朗日第二類方程，簡(jiǎn)稱為拉格朗日方程。,1.確定系統(tǒng)的自由度數(shù)（廣義坐標(biāo)數(shù)）；

7、,2.選廣義坐標(biāo)；,3.計(jì)算系統(tǒng)的動(dòng)能T，且用廣義速度來表示動(dòng)能；,4.計(jì)算廣義力（對(duì)保守系統(tǒng)可計(jì)算勢(shì)能）；,5.代入拉格朗日方程即可得質(zhì)點(diǎn)系運(yùn)動(dòng)微分方程。,例1 位于水平面內(nèi)的行星輪機(jī)構(gòu)中，質(zhì)量為m1的均質(zhì)細(xì)桿OA，可繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng)，另一端裝有質(zhì)量為m2、半徑為r的均質(zhì)小齒輪，小齒輪沿半徑為R的固定大齒輪純滾動(dòng)。當(dāng)細(xì)桿受力偶M的作用時(shí)，求細(xì)桿的角加速度 。,解：,研究整個(gè)系統(tǒng)，選廣義坐標(biāo)，,則,系統(tǒng)的動(dòng)能為,T = TOA+ T輪,又關(guān)于廣義坐標(biāo)的廣義力為,代入Lagrange方程：,于是得,例2 質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)懸在不計(jì)質(zhì)量的軟線上，線的另一端繞在半徑為R的固定圓柱上。設(shè)在平衡位置時(shí)，線的下垂部

8、分長(zhǎng)度為l。求此擺的運(yùn)動(dòng)微分方程。,m,m,系統(tǒng)的動(dòng)能為,選=0處為系統(tǒng)勢(shì)能的零勢(shì)點(diǎn)，則,V = mg（l+Rsin）（lR）cos,系統(tǒng)的動(dòng)勢(shì)為,解：此擺為單自由度保守系統(tǒng)，選廣義坐標(biāo)，,已求得,將式上式代入保守系統(tǒng)的拉氏方程,得擺的運(yùn)動(dòng)微分方程,例3 已知質(zhì)量為m1的三棱柱放在光滑水平面上，質(zhì)量為m2的均質(zhì)圓柱體O由靜止沿三棱柱的斜面向下純滾動(dòng)。求三棱柱的加速度。,(設(shè)圓柱o的半徑為r),選x1、x2為廣義坐標(biāo)，,圓柱中心的速度為,圓柱的角速度為,解：系統(tǒng)具有兩個(gè)自由度，,所以，系統(tǒng)的動(dòng)能為,聯(lián)立解得：,代入L程：,系統(tǒng)關(guān)于廣義坐標(biāo)x1 、x2的廣義力 分別為：,例4 圖示均質(zhì)桿AB質(zhì)量為

9、m1，長(zhǎng)為3l，B端鉸接一質(zhì)量為m2，半徑為r的均質(zhì)圓盤。桿AB在O處為鉸支，兩彈簧的剛性系數(shù)均為k；桿在水平位置平衡。求系統(tǒng)的微幅振動(dòng)的固有頻率。,解：系統(tǒng)具有兩個(gè)自由度，且為保守系統(tǒng)。,選1、2為廣義坐標(biāo)，,則桿的角速度為,圓盤的角速度為,所以，系統(tǒng)的動(dòng)能為,系統(tǒng)的勢(shì)能為,k,l,l,l,l,2,r,B,重力與振動(dòng)方向相同，,系統(tǒng)受力如圖，,系統(tǒng)的動(dòng)勢(shì)為,取平衡位置處為零勢(shì)點(diǎn)，,彈性力變形從平衡位置處計(jì)算，可以不計(jì)重力勢(shì)能！,代入保守系統(tǒng)的拉氏方程,可見，圓盤的角加速度為零！,圓盤作平動(dòng)！系統(tǒng)的固有頻率為,得,所以,k,l,l,l,l,2,r,B,例5 桿OA與AB以鉸鏈相連，且OA=a，

10、AB=b，O懸掛于圓柱鉸鏈上， A、B處質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量分別為 m1和m2，各處摩擦及兩桿質(zhì)量均不計(jì)，求系統(tǒng)微幅擺動(dòng)的微分方程。,m1,b,a,m2,O,A,B,則,解 系統(tǒng)具有兩個(gè)自由度， 選1、2為廣義坐標(biāo)，,系統(tǒng)動(dòng)能為,系統(tǒng)作微幅擺動(dòng)，,cos(21)1,系統(tǒng)受力如圖。,求系統(tǒng)關(guān)于廣義坐標(biāo)2的廣義力：,給1，則,給2，則,求系統(tǒng)關(guān)于廣義坐標(biāo)1的廣義力：,代入Lagrange方程：,化簡(jiǎn)得,3. 動(dòng)能的廣義速度表達(dá)式,質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能,由于r是廣義坐標(biāo)及時(shí)間的函數(shù),所以akj, bk, c也是廣義坐標(biāo)及時(shí)間的函數(shù)。,令,于是,動(dòng)能T可表示為,再設(shè),4. 拉格朗日方程的初積分(首次積分）,由于勢(shì)能函數(shù)

11、V 僅是廣義坐標(biāo)和時(shí)間的函數(shù)，因此它是廣義速度的零次函數(shù)。設(shè) L2 = T2， L1 = T1， L0 = T0 - V,拉格朗日函數(shù)可表示為 L = T V = T2 + T1 + T0 V,顯然，L2，L1和L0分別是廣義速度的二次齊次函數(shù)、一次齊次函數(shù)和零次齊次函數(shù)，得 L=L2+L1+L0,將主動(dòng)力為有勢(shì)力時(shí)的拉格朗日方程式乘以 ，并將這N個(gè)式子相加，得,其中,帶入上式得：,當(dāng)拉格朗日函數(shù)不顯含時(shí)間t（則 ），即 時(shí)有：,帶入上式得：,從而有：,E 為積分常數(shù),再根據(jù)歐拉齊次式定理(P56)有：,帶入上式得：,（2L2+L1）-（L2+L1+L0）= E,進(jìn)一步得到：,這一結(jié)果稱為以拉

12、格朗日變量表示的廣義能量積分，又稱雅可比積分。,*由于約束是非定常的，系統(tǒng)的機(jī)械能并不守恒。*,為廣義能量,系統(tǒng)稱為廣義保守系統(tǒng)。,如果約束是定常的，則,可知 bk = 0,c = 0,因此得 T1=0，T0=0，,于是得 T=T2,廣義能量積分變?yōu)?這一結(jié)果稱為以拉格朗日變量表示的能量積分，上式即為保守系統(tǒng)的機(jī)械能守恒定律表示式。這就是能量積分的物理意義。,拉格朗日函數(shù)一般是廣義坐標(biāo)、廣義速度和時(shí)間的函數(shù)。 若 L 中不顯含與某一廣義速度對(duì)應(yīng)的廣義坐標(biāo)，則該坐標(biāo)稱為循環(huán)坐標(biāo)，或稱可遺坐標(biāo)。,即：,則：,所以：,其中Cj 為積分常數(shù)。上式稱為循環(huán)積分，或稱可遺積分。當(dāng)然，系統(tǒng)有幾個(gè)循環(huán)坐標(biāo)就有幾個(gè)循環(huán)積分。,由于L=T-V，而且勢(shì)能 V 中不顯含廣義速度，因此,其中 稱為廣義動(dòng)量.,5. 碰撞問題的拉各朗日方程,由拉格朗日方程式來推導(dǎo)碰撞問題的拉各朗日方程,以 dt 乘上式, 并對(duì)碰撞時(shí)間 t 積分, 即,其中左邊第一項(xiàng) 表示在碰撞時(shí)間內(nèi)廣義動(dòng)量 發(fā)生的變化.,左邊第二項(xiàng)是動(dòng)能相對(duì)廣義坐標(biāo)的改變量, 是有限量. 設(shè)它在碰撞時(shí)間內(nèi)的最大值為M, 根據(jù)中值定理,由于碰撞時(shí)間極短, 所以 與第一項(xiàng)相比可以略去.,為廣義力Qj 在碰撞時(shí)間內(nèi)的廣義沖量,以