用二重積分計(jì)算旋轉(zhuǎn)體的體積

1、6.2定積分的幾何應(yīng)用1，利用二重積分計(jì)算旋轉(zhuǎn)體的體積，shunan Zhuhai，6.2定積分的幾何應(yīng)用2，定積分的幾何應(yīng)用，旋轉(zhuǎn)體的體積一般按定積分計(jì)算。本課件使用單元法推導(dǎo)旋轉(zhuǎn)體體積二重積分的計(jì)算公式。將二重積分轉(zhuǎn)換為二次積分，得到了計(jì)算旋轉(zhuǎn)體體積的有限積分公式，最后舉例說明。6.2有限整數(shù)的幾何應(yīng)用3，在第一個特殊情況下，設(shè)定旋轉(zhuǎn)軸為坐標(biāo)軸，6.2有限整數(shù)的幾何應(yīng)用4，d是上半平面內(nèi)的邊界閉合區(qū)域。將d繞x軸旋轉(zhuǎn)一周，以找到該旋轉(zhuǎn)體的體積Vx。使用元素法建立回轉(zhuǎn)體體積的二重積分公式。D，6.2應(yīng)用有限整數(shù)的幾何圖形5，D，從區(qū)域D的(x，y)中獲取區(qū)域元素，到地物x軸的距離為y。此區(qū)域

2、元素繞x軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體的體積大約為，(體積元素)，整個區(qū)域繞x軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體的體積為：6.2有限整數(shù)的幾何應(yīng)用6，d，命題1:上半平面中邊界封閉區(qū)域d繞x軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體的體積：6.2有限整數(shù)的幾何應(yīng)用7，同樣，6.2定積分的幾何圖形應(yīng)用8，下面的區(qū)域?qū)π扈雌渌麉^(qū)域使用二重積分作為定積分，得到熟悉的旋轉(zhuǎn)體體積公式。6.2有限整數(shù)的幾何圖形繞9，X軸旋轉(zhuǎn)，6.2有限整數(shù)的幾何圖形為10，y=f (x)，如果是圓方法，則繞X軸D旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積為，6.2整數(shù)的幾何圖形為11，y=f 6.2應(yīng)用有限整數(shù)的幾何圖形14，x=f (y)，x=g (y)，d繞y軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積是墊圈方法，6.2有限整數(shù)的

3、幾何圖形應(yīng)用15，x類型區(qū)域繞y軸旋轉(zhuǎn)！ 注：一般教科書沒有介紹這個公式。如果將16，y=f (x)，y=g (x)應(yīng)用于6.2積分幾何圖元，則d繞y軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積為：柱殼法，6.2積分幾何應(yīng)用于17時，如果6.2積分幾何為18，d為曲線邊扇形，則d繞極軸(x軸)旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積為：6.2有限整數(shù)的幾何應(yīng)用19，我們用命題1推導(dǎo)出區(qū)域D的中心(質(zhì)心)和旋轉(zhuǎn)體積之間關(guān)系的定理：滾動定理，Paul Guldin)1577 1643 Swiss mathematician who wrote on volumes and cees，屈折定理，質(zhì)心，A，6.2靜態(tài)分的幾何學(xué)是，21，D，D，質(zhì)心，

4、A，如果你能輕易求出D的面積和質(zhì)心，那么屈折定理就會求出旋轉(zhuǎn)體的體積。6.2套用整數(shù)幾何圖形22，一般區(qū)域x 1:=0: x 23360=2330y 1:=x-x 2:y 2:=x-2 * x : int(f(x，y).y2)；Int (int (f (x，y)，y=y1 (x).y2(x)x=x1.x2)；(2 * pi/sqrt (5) * int (int (f (x，y)，y=y1 (x).y2 (x)，x=x1.x2)=(2 * pi/sqrt (5) * int (int (f (x，y)，y=y1 (x).y2 (x)，x=x1.x2)；with(plots): qun :=pl

5、ot(x2，2 * x，x=-1.3，y=-1.5，thickness=4) : display(符號，tick段宜恩=0，0，scaling=constrainted)；6.2應(yīng)用有限整數(shù)的幾何圖形28，示例2查找x=y2和y=x2包圍的區(qū)域d圍繞線y=x-1旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積v。，f:=(x，y)-y-x 1；x 3360=03360 x 23360=13360y 1:=x-x 2:y 2:=x-sqrt(x): int(f(x，y)，y.y2)；Int (int (f (x，y)，y=y1 (x).y2(x)x=x1.x2)；Sqrt (2) * pi * int (int (f (x，y

6、)，y=y1 (x).y2 (x)，x=x1.x2)=sqrt (2) * pi * int (int (f (x，y)，y=y1 (x).y2(x)x=x1.x2)；with(plots): qunx 360=implicit plot(y=x2，x=y2，y=x-1，x=-1.3，y=-1.2，thickness=4) : display(符號，tick段宜恩=0，0，scaling=constrainted)；6.2應(yīng)用有限整數(shù)的幾何圖形29，示例3查找y=0、y=lnx和x=e包圍的區(qū)域d圍繞直線y=-x旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積v。f:=(x，y)-y-x 1；x 3360=03360 x 2

7、3360=13360y 1:=x-x 2:y 2:=x-sqrt(x): int(f(x，y)，y.y2)；Int (int (f (x，y)，y=y1 (x).y2(x)x=x1.x2)；Sqrt (2) * pi * int (int (f (x，y)，y=y1 (x).y2 (x)，x=x1.x2)=sqrt (2) * pi * int (int (f (x，y)，y=y1 (x).y2(x)x=x1.x2)；with(plots): qunx 360=implicit plot(y=x2，x=y2，y=x-1，x=-1.3，y=-1.2，thickness=4) : display(符號，tick段宜恩=0，0，scaling=constrainted)；6.2有限整數(shù)的幾何應(yīng)用30或二重積分可以按x后y的積分順序計(jì)算。f:=(x，y)-x y；y 1:=0:y 23360=13360 x 1:=y-exp(y): x 23360=y-exp(1): sqrt(2)*。x2(y)y=y1.y2)=sqrt