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文檔簡(jiǎn)介
1、十三、降維法方法簡(jiǎn)介降維法是將一個(gè)三維圖變成幾個(gè)二維圖,即應(yīng)選兩個(gè)合適的平面去觀察,當(dāng)遇到一個(gè)空間受力問(wèn)題時(shí),將物體受到的力分解到兩個(gè)不同平面上再求解。由于三維問(wèn)題不好想像,選取適當(dāng)?shù)慕嵌?,可用降維法求解。降維的優(yōu)點(diǎn)是把不易觀察的空間物理量的關(guān)系在二維圖中表示出來(lái),使我們很容易找到各物理量之間的關(guān)系,從而正確解決問(wèn)題。賽題精講例1:如圖131所示,傾角=30的粗糙斜面上放一物體,物體重為G,靜止在斜面上?,F(xiàn)用與斜面底邊平行的力F=G/2推該物體,物體恰好在斜面內(nèi)做勻速直線運(yùn)動(dòng),則物體與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)等于多少?物體勻速運(yùn)動(dòng)的方向如何?解析:物體在重力、推力、斜面給的支持力和摩擦力四個(gè)力的作用
2、下做勻速直線運(yùn)動(dòng),所以受力平衡。但這四個(gè)力不在同一平面內(nèi),不容易看出它們之間的關(guān)系。我們把這些力分解在兩個(gè)平面內(nèi),就可以將空間問(wèn)題變?yōu)槠矫鎲?wèn)題,使問(wèn)題得到解決。將重力沿斜面、垂直于斜面分解。我們從上面、側(cè)面觀察,圖131甲、圖131乙所示。如圖131甲所示,推力F與重力沿斜面的分力G1的合力F為:F的方向沿斜面向下與推力成角,則 這就是物體做勻速運(yùn)動(dòng)的方向物體受到的滑動(dòng)摩擦力與F平衡,即 所以摩擦因數(shù):例2:如圖132所示,一個(gè)直徑為D的圓柱體,其側(cè)面刻有螺距為h的光滑的螺旋形凹槽,槽內(nèi)有一小球,為使小球能自由下落,必須要以多大的加速度來(lái)拉纏在圓柱體側(cè)面的繩子?解析:將圓柱體的側(cè)面等距螺旋形凹
3、槽展開(kāi)成為平面上的斜槽,如圖132甲所示,當(dāng)圓柱體轉(zhuǎn)一周,相當(dāng)于沿斜槽下降一個(gè)螺距h,當(dāng)圓柱轉(zhuǎn)n周時(shí),外側(cè)面上一共移動(dòng)的水平距離為 圓弧槽內(nèi)小球下降的高度為 解、兩式,可得,為使螺旋形槽內(nèi)小球能自由下落,圓柱體側(cè)面繩子拉動(dòng)的加速度應(yīng)為例3:如圖133所示,表面光滑的實(shí)心圓球B的半徑R=20cm,質(zhì)量M=20kg,懸線長(zhǎng)L=30cm。正方形物塊A的厚度h=10cm,質(zhì)量m=2kg,物體A與墻之間的動(dòng)摩擦因數(shù)=0.2,取g=10m/s2。求:(1)墻對(duì)物塊A的摩擦力為多大?(2)如果要物體A上施加一個(gè)與墻平行的外力,使物體A在未脫離圓球前貼著墻沿水平方向做加速度a=5m/s2 勻加速直線運(yùn)動(dòng),那么
4、這個(gè)外力大小方向如何?解析:這里物體A、B所受的力也不在一個(gè)平面內(nèi),混起來(lái)考慮比較復(fù)雜,可以在垂直于墻的豎直平面內(nèi)分析A、B間壓力和A對(duì)墻的壓力;在與墻面平行的平面內(nèi)分析A物體沿墻水平運(yùn)動(dòng)時(shí)的受力情況。(1)通過(guò)受力分析可知墻對(duì)物塊A的靜摩擦力大小等于物塊A的重力。(2)由于物體A貼著墻沿水平方向做勻加速直線運(yùn)動(dòng),所以摩擦力沿水平方向,合力也沿水平方向且與摩擦力方向相反。又因?yàn)槲矬w受豎直向下的重力,所以推力F方向應(yīng)斜向上。設(shè)物體A對(duì)墻的壓力為N,則沿垂直于墻的方向,物體B受到物體A的支持力大小也為N,有又因?yàn)樵谂c墻面平行的平面內(nèi),對(duì)物體A沿豎直方向做受力分析,如圖133甲所示有沿水平方向做受力
5、分析,有 由以上各式,解得 因此,對(duì)物體A施加的外力F的大小為20N,方向沿墻面斜向上且與物體A水平運(yùn)動(dòng)方向的夾角為例4:一質(zhì)量m=20kg的鋼件,架在兩根完全相同的平行長(zhǎng)直圓柱上,如圖134所示,鋼件的重心與兩柱等距,兩柱的軸線在同一水平面內(nèi),圓柱的半徑r=0.025m,鋼件與圓柱間的動(dòng)摩擦因數(shù)=0.20。兩圓柱各繞自己的軸線做轉(zhuǎn)向相反的轉(zhuǎn)動(dòng),角速度若沿平行于柱軸的方向施力推著鋼件做速度為的勻速運(yùn)動(dòng),求推力是多大?(設(shè)鋼件不發(fā)生橫向運(yùn)動(dòng))解析:本題關(guān)鍵是搞清滑動(dòng)摩擦力的方向,滑動(dòng)摩擦力的方向與相對(duì)運(yùn)動(dòng)的方向相反,由于鋼件和圓柱都相對(duì)地面在運(yùn)動(dòng),直接不易觀察到相對(duì)地面在運(yùn)動(dòng),直接不易觀察到相對(duì)
6、運(yùn)動(dòng)的方向,而且鋼件的受力不在同一平面內(nèi),所以考慮“降維”,即選一個(gè)合適的角度觀察。我們從上往上看,畫(huà)出俯視圖,如圖134甲所示。我們選考慮左邊圓柱與鋼件之間的摩擦力,先分析相對(duì)運(yùn)動(dòng)的方向,鋼件有向前的速度,左邊圓住有向右的速度,則鋼件相對(duì)于圓柱的速度是與的矢量差,如圖中v,即為鋼件相對(duì)于圓柱的速度,所以滑動(dòng)摩擦力f的方向與v,的方向相反,如圖134甲所示。圖134乙以鋼件為研究對(duì)象,在水平面上受到推力F和兩個(gè)摩擦力f的作用,設(shè)f與圓柱軸線的夾角為,當(dāng)推鋼件沿圓柱軸線勻速運(yùn)動(dòng)時(shí),應(yīng)有 再?gòu)恼婵翠摷谪Q直平面內(nèi)的受力可以求出FN,如圖134乙所示,鋼件受重力G和兩個(gè)向上的支持力FN,且G=2F
7、N,所以把 代入式,得推力例5:如圖135所示,將質(zhì)量為M的勻質(zhì)鏈條套在一個(gè)表面光滑的圓錐上,圓錐頂角為,設(shè)圓錐底面水平,鏈條靜止時(shí)也水平,求鏈條內(nèi)的張力。解析:要求張力,應(yīng)在鏈條上取一段質(zhì)量元進(jìn)行研究。因?yàn)樵搯?wèn)題是三維問(wèn)題,各力不在同一平面內(nèi),所以用“降維法”作出不同角度的平面圖進(jìn)行研究。作出俯視圖135甲,設(shè)質(zhì)量元兩端所受張力為T(mén),其合力為F,因?yàn)樗鶎?duì)的圓心角很小,所以,即F=T。再作出正視圖135乙,質(zhì)量元受重力g、支持力N和張力的合力F而處于平衡狀態(tài),由幾何知識(shí)可得:所以鏈條內(nèi)的張力例6:雜技演員在圓筒形建筑物內(nèi)表演飛車(chē)走壁。演員騎摩托車(chē)從底部開(kāi)始運(yùn)動(dòng),隨著速度增加,圈子越兜越大,最
8、后在豎直圓筒壁上勻速率行駛,如圖136所示。如果演員和摩托車(chē)的總質(zhì)量為M,直壁半徑為R,勻速率行駛的速率為v,每繞一周上升的距離為h,求摩托車(chē)勻速走壁時(shí)的向心力。解析:摩托車(chē)的運(yùn)動(dòng)速度v,可分解為水平速度v1和豎直分速度為v2,則向心力速度為。處理這個(gè)問(wèn)題的關(guān)鍵是將螺旋線展開(kāi)為一個(gè)斜面,其傾角的余弦為,如圖136甲所示。所以有向心加速度為:向心力 例7:A、B、C為三個(gè)完全相同的表面光滑的小球,B、C兩球各被一長(zhǎng)為L(zhǎng)=2.00m的不可伸和的輕線懸掛于天花板上,兩球剛好接觸,以接觸點(diǎn)O為原點(diǎn)作一直角坐標(biāo)系軸豎直向上,Ox與兩球的連心線重合,如圖137所示。今讓A球射向B、C兩球,并與兩球同時(shí)發(fā)生
9、碰撞。碰撞前,A球速度方向沿y軸正方向,速率為。相碰后,A球沿y軸負(fù)方向反彈,速率=0.40m/s。(1)求B、C兩球被碰后偏離O點(diǎn)的最大位移量;(2)討論長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)B、C兩球的運(yùn)動(dòng)情況。(忽略空氣阻力,取g=10m/s2)解析:(1)A、B、C三球在碰撞前、后的運(yùn)動(dòng)發(fā)生在平面內(nèi),設(shè)剛碰完后,A的速度大小為,B、C兩球的速度分別為與,在x方向和y方向的分速度的大小分別為,如圖137甲所示,由動(dòng)量守恒定律,有 由于球面是光滑的,在碰撞過(guò)程中,A球?qū)球的作用力方向沿A、B兩球的連心線,A球?qū)球的作用力方向沿A、C兩球的連心線,由幾何關(guān)系,得圖137甲 由對(duì)稱(chēng)關(guān)系可知 解、式可得 由此解得 設(shè)C球
10、在x0, y0, z0的空間中的最大位移為Q點(diǎn)的z坐標(biāo)為zQ,則由機(jī)械能守恒定律可寫(xiě)出 所以 代入數(shù)值解得 zQ=0.32m而Q點(diǎn)到Oz軸的距離為 所以C球離O點(diǎn)的最大位移量 代入數(shù)值,得 由對(duì)稱(chēng)性,可得B球在的空間的最大位移量為 (2)當(dāng)B、C兩球各達(dá)到最大位移后,便做回到原點(diǎn)的擺動(dòng),并發(fā)生兩球間的碰撞,兩球第一次返回O點(diǎn)碰撞前速度的大小和方向分別為 方向沿正x軸方向=2.20m/s 方向沿y軸方向 方向沿正x軸方向=2.20m/s 方向沿y軸方向設(shè)碰撞后的速度分別為,對(duì)應(yīng)的分速度的大小分別為、和,由于兩球在碰撞過(guò)程中的相互作用力只可能沿x軸方向,故碰撞后,沿y軸方向的速度大小和方向均保持不
11、變(因?yàn)樾∏蚨际枪饣模? 方向沿負(fù)y軸方向 = 方向沿負(fù)y軸方向 碰撞過(guò)程中,沿x軸方向的動(dòng)量守恒,則 因?yàn)?所以即碰撞后兩球在x方向的分速度大小也相等,方向相反,具體數(shù)值取決于碰撞過(guò)程中是否機(jī)械能損失。在A球與B、C兩球同時(shí)碰撞的過(guò)程中,碰撞前,三者的機(jī)械能 碰撞后三者的機(jī)械能表明在碰撞過(guò)程中有機(jī)械能損失,小球的材料不是完全彈性體,故B、C兩球在碰撞過(guò)程中也有機(jī)械能損失,即 由、和三式,和 或當(dāng)B、C兩球第二次返回O點(diǎn)時(shí),兩球發(fā)生第二次碰撞,設(shè)碰撞后兩球的速度分別為,對(duì)應(yīng)的分速度的大小分別為,則有 或 由此可見(jiàn),B、C兩球每經(jīng)過(guò)一次碰撞,沿x方向的分速度都要變小,即 而y方向的分速度的
12、大小保持不變,即 當(dāng)兩球反復(fù)碰撞足夠多次數(shù)后,沿x方向的分速度為零,只有y方向的分速度。設(shè)足夠多的次數(shù)為n,則有 即最后,B、C兩球一起的Oyz平面內(nèi)擺動(dòng),經(jīng)過(guò)最低點(diǎn)O的速度由式給出,設(shè)最高點(diǎn)的z軸坐標(biāo)為,則 得代入數(shù)值,得 最高點(diǎn)的y坐標(biāo)由下式給出:代入數(shù)值,得: 圖138例8:一半徑R=1.00m的水平光滑圓桌面,圓心為O,有一豎直的立柱固定在桌面上的圓心附近,立柱與桌面的交線是一條凸的平滑的封閉曲線C,如圖138所示。一根不可伸長(zhǎng)的柔軟的細(xì)輕繩,一端固定在封閉曲線上某一點(diǎn),另一端系一質(zhì)量為m=7.5102kg的小物塊。將小物塊放在桌面上并把繩拉直,再給小物塊一個(gè)方向與繩垂直、大小為的初速
13、度,物塊在桌面上運(yùn)動(dòng)時(shí),繩將纏繞在立柱上。已知當(dāng)繩的張力為T(mén)0=2.0N時(shí),繩即斷開(kāi),在繩斷開(kāi)前物塊始終在桌面上運(yùn)動(dòng)。(1)問(wèn)繩剛要斷開(kāi)時(shí),繩的伸直部分的長(zhǎng)度為多少?(2)若繩剛要斷開(kāi)時(shí),桌面圓心O到繩的伸直部分與封閉曲線的接觸點(diǎn)的連線正好與繩的伸直部分垂直,問(wèn)物塊的落地點(diǎn)到桌面圓心O的水平距離為多少?已知桌面高度H=0.80m,物塊在桌面上運(yùn)動(dòng)時(shí)未與立柱相碰。取重力加速度大小為10m/s2。解析:(1)這一問(wèn)題比較簡(jiǎn)單。繩斷開(kāi)前,繩的張力即為物塊所受的向心力,因?yàn)槌跛俣扰c繩垂直,所以繩的張力只改變物塊的速度方向,而速度大小不變,繩剛要斷開(kāi)時(shí),繩的伸直部分的長(zhǎng)度可求出。設(shè)繩的伸直部分長(zhǎng)為x,則
14、由牛頓第二定律得:代入已知數(shù)值得:x=0.60m(2)選取桌面為分析平面,將物塊的落地點(diǎn)投影到此分析平面上,然后由平拋運(yùn)動(dòng)的知識(shí)求解。如圖138甲所示,設(shè)繩剛要斷開(kāi)時(shí)物塊位于桌面上的P點(diǎn),并用A點(diǎn)表示物塊離開(kāi)桌面時(shí)的位置,先取桌面為分析平面,將物塊的落地點(diǎn)投影到此分析平面上,其位置用D點(diǎn)表示,易知D點(diǎn)應(yīng)在直線PA的延長(zhǎng)線上,即等于物塊落地點(diǎn)與桌面圓心O的水平距離,而等于物塊離開(kāi)桌面后做平拋運(yùn)動(dòng)的水平射程。即 故代入已知數(shù)值得物塊落地點(diǎn)到桌面圓心O的水平距離 例9:如圖139所示是一種記錄地震裝置的水平擺,擺球m固定在邊長(zhǎng)為L(zhǎng),質(zhì)量可忽略不計(jì)的等邊三角形的頂點(diǎn)A上。它的對(duì)邊BC跟豎直線成不大的夾
15、角,擺球可以繞固定軸BC擺動(dòng)。求擺做微小振動(dòng)的周期。解析:若m做微小振動(dòng),則其軌跡一定在過(guò)A點(diǎn),垂直于BC的平面內(nèi)的以O(shè)為圓心,OA為半徑的圓弧上。因此我們可以作一個(gè)過(guò)A點(diǎn)垂直于BC的平面M,如圖139甲所示,將重力mg沿M平面和垂直于M平面方向分解,則在平面M內(nèi),m的振動(dòng)等效于一個(gè)只在重力作用下簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng),擺長(zhǎng)所以周期 例10:六個(gè)相同的電阻(阻值均為R)連成一個(gè)電阻環(huán),六個(gè)結(jié)點(diǎn)依次為1、2、3、4、5和6,如圖1310所示?,F(xiàn)有五個(gè)完全相同的這樣的電阻環(huán),分別稱(chēng)為D1、D2、D5?,F(xiàn)將D1的1、3、5三點(diǎn)分別與D2的2、4、6三點(diǎn)用導(dǎo)線連接,如圖1310甲所示。然后將D2的1、3、5三點(diǎn)分別
16、與D3的2、4、6三點(diǎn)用導(dǎo)線連接依次類(lèi)推,最后將D5的1、3、5三點(diǎn)分別連接到D4的2、4、6三點(diǎn)上。證明:全部接好后,在D1上的1、3、兩點(diǎn)間的等效是電阻為。解析:由于連接電阻R的導(dǎo)線,連接環(huán)D之間的導(dǎo)線均不計(jì)電阻,因此,可改變環(huán)的半徑,使五個(gè)環(huán)的大小滿(mǎn)足:D1D2D5.將圖1310甲所示的圓柱形網(wǎng)絡(luò)變成圓臺(tái)形網(wǎng)絡(luò),在沿與底面垂直的方向?qū)⒋藞A臺(tái)形網(wǎng)絡(luò)壓縮成一個(gè)平面,如圖1310乙所示的平面電路圖?,F(xiàn)將圓形電阻環(huán)變成三角形,1、3、5三點(diǎn)為三角形的頂點(diǎn),2、4、6三點(diǎn)為三角形三邊的中點(diǎn),圖1310乙又變?yōu)槿鐖D1310丙所示電路圖。不難發(fā)現(xiàn),圖1310丙所示的電路相對(duì)虛直線3、6具有左右對(duì)稱(chēng)性。
17、可以用多種解法求。如將電路等效為圖1310丁。A1B1以?xún)?nèi)的電阻A2B2以?xún)?nèi)的電阻A3B3以?xún)?nèi)的電阻A4B4以?xún)?nèi)的電阻A5B5以?xún)?nèi)的電阻即為D1環(huán)上1、3兩點(diǎn)間的等效電阻。例11:如圖1311所示,用12根阻值均為r的相同的電阻絲構(gòu)成正立方體框架。試求AG兩點(diǎn)間的等效電阻。解析:該電路是立體電路,我們可以將該立體電路“壓扁”,使其變成平面電路,如圖1311甲所示。考慮到D、E、B三點(diǎn)等勢(shì),C、F、H三點(diǎn)等勢(shì),則電路圖可等效為如圖1311乙所示的電路圖,所以AG間總電阻為 例12:如圖1312所示,傾角為的斜面上放一木制圓制,其質(zhì)量m=0.2kg,半徑為r,長(zhǎng)度L=0.1m,圓柱上順著軸線OO繞
18、有N=10匝的線圈,線圈平面與斜面平行,斜面處于豎直向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中,磁感應(yīng)強(qiáng)度B=0.5T,當(dāng)通入多大電流時(shí),圓柱才不致往下滾動(dòng)?解析:要準(zhǔn)確地表達(dá)各物理量之間的關(guān)系,最好畫(huà)出正視圖,問(wèn)題就比較容易求解了。如圖1312甲所示,磁場(chǎng)力Fm對(duì)線圈的力矩為MB=NBIL2rsin,重力對(duì)D點(diǎn)的力矩為:MG=mgsin,平衡時(shí)有:MB=MG則可解得:例13:空間由電阻絲組成的無(wú)窮網(wǎng)絡(luò)如圖1313所示,每段電阻絲的電阻均為r,試求A、B間的等效電阻RAB。解析:設(shè)想電流A點(diǎn)流入,從B點(diǎn)流出,由對(duì)稱(chēng)性可知,網(wǎng)絡(luò)中背面那一根無(wú)限長(zhǎng)電阻絲中各點(diǎn)等電勢(shì),故可撤去這根電阻絲,而把空間網(wǎng)絡(luò)等效為圖1313甲所示的
19、電路。(1)其中豎直線電阻r分別為兩個(gè)r串聯(lián)和一個(gè)r并聯(lián)后的電阻值,所以 橫線每根電阻仍為r,此時(shí)將立體網(wǎng)絡(luò)變成平面網(wǎng)絡(luò)。(2)由于此網(wǎng)絡(luò)具有左右對(duì)稱(chēng)性,所以以AB為軸對(duì)折,此時(shí)網(wǎng)絡(luò)變?yōu)槿鐖D1313乙所示的網(wǎng)絡(luò)。其中橫線每根電阻為,豎線每根電阻為AB對(duì)應(yīng)那根的電阻為,此時(shí)由左右無(wú)限大變?yōu)橛疫厽o(wú)限大。(3)設(shè)第二個(gè)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)點(diǎn)為CD,此后均有相同的網(wǎng)絡(luò),去掉AB時(shí)電路為圖1313丙所示。再設(shè)RCD=Rn1(不包含CD所對(duì)應(yīng)的豎線電阻)則,網(wǎng)絡(luò)如圖1313丁所示。此時(shí) 當(dāng)時(shí),Rn=Rn1 上式變?yōu)橛纱私獾茫?即補(bǔ)上AB豎線對(duì)應(yīng)的電阻,網(wǎng)絡(luò)變?yōu)槿鐖D1313戊所示的電路。例14:設(shè)在地面上方的真空室內(nèi),
20、存在勻強(qiáng)電場(chǎng)和勻強(qiáng)磁場(chǎng),已知電場(chǎng)強(qiáng)度和磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向是相同的,電場(chǎng)強(qiáng)度的大小E=4.0V/m,磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小B=0.15T,今有一個(gè)帶負(fù)電的質(zhì)點(diǎn)以v=20m/s的速度在此區(qū)域內(nèi)沿垂直場(chǎng)強(qiáng)方向做勻速直線運(yùn)動(dòng),求此帶電質(zhì)點(diǎn)的電量與質(zhì)量之比q/m以及磁場(chǎng)的所有可能方向(角度可用反三角函數(shù)表)。解析:因?yàn)閹ж?fù)電的質(zhì)點(diǎn)做勻速直線運(yùn)動(dòng),說(shuō)明此質(zhì)點(diǎn)所受的合外力為零。又因?yàn)殡妶?chǎng)強(qiáng)度和磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向相同,所以該帶電質(zhì)點(diǎn)所受的電場(chǎng)力和洛侖茲力的方向垂直共面,且必受重力作用,否則所受合外力不可能為零,設(shè)質(zhì)點(diǎn)速度方向垂直紙面向里。由此該帶電質(zhì)點(diǎn)的受力圖如圖1314所示。由平衡條件有有水平方向: 在豎直方向: 解得: q/m=
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