高中物理奧賽解題方法：.降維法

1、十三、降維法方法簡(jiǎn)介降維法是將一個(gè)三維圖變成幾個(gè)二維圖，即應(yīng)選兩個(gè)合適的平面去觀察，當(dāng)遇到一個(gè)空間受力問(wèn)題時(shí)，將物體受到的力分解到兩個(gè)不同平面上再求解。由于三維問(wèn)題不好想像，選取適當(dāng)?shù)慕嵌?，可用降維法求解。降維的優(yōu)點(diǎn)是把不易觀察的空間物理量的關(guān)系在二維圖中表示出來(lái)，使我們很容易找到各物理量之間的關(guān)系，從而正確解決問(wèn)題。賽題精講例1：如圖131所示，傾角=30的粗糙斜面上放一物體，物體重為G，靜止在斜面上?，F(xiàn)用與斜面底邊平行的力F=G/2推該物體，物體恰好在斜面內(nèi)做勻速直線運(yùn)動(dòng)，則物體與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)等于多少？物體勻速運(yùn)動(dòng)的方向如何？解析：物體在重力、推力、斜面給的支持力和摩擦力四個(gè)力的作用

2、下做勻速直線運(yùn)動(dòng)，所以受力平衡。但這四個(gè)力不在同一平面內(nèi)，不容易看出它們之間的關(guān)系。我們把這些力分解在兩個(gè)平面內(nèi)，就可以將空間問(wèn)題變?yōu)槠矫鎲?wèn)題，使問(wèn)題得到解決。將重力沿斜面、垂直于斜面分解。我們從上面、側(cè)面觀察，圖131甲、圖131乙所示。如圖131甲所示，推力F與重力沿斜面的分力G1的合力F為：F的方向沿斜面向下與推力成角，則 這就是物體做勻速運(yùn)動(dòng)的方向物體受到的滑動(dòng)摩擦力與F平衡，即 所以摩擦因數(shù)：例2：如圖132所示，一個(gè)直徑為D的圓柱體，其側(cè)面刻有螺距為h的光滑的螺旋形凹槽，槽內(nèi)有一小球，為使小球能自由下落，必須要以多大的加速度來(lái)拉纏在圓柱體側(cè)面的繩子？解析：將圓柱體的側(cè)面等距螺旋形凹

3、槽展開(kāi)成為平面上的斜槽，如圖132甲所示，當(dāng)圓柱體轉(zhuǎn)一周，相當(dāng)于沿斜槽下降一個(gè)螺距h，當(dāng)圓柱轉(zhuǎn)n周時(shí)，外側(cè)面上一共移動(dòng)的水平距離為 圓弧槽內(nèi)小球下降的高度為 解、兩式，可得，為使螺旋形槽內(nèi)小球能自由下落，圓柱體側(cè)面繩子拉動(dòng)的加速度應(yīng)為例3：如圖133所示，表面光滑的實(shí)心圓球B的半徑R=20cm，質(zhì)量M=20kg，懸線長(zhǎng)L=30cm。正方形物塊A的厚度h=10cm，質(zhì)量m=2kg，物體A與墻之間的動(dòng)摩擦因數(shù)=0.2，取g=10m/s2。求：（1）墻對(duì)物塊A的摩擦力為多大？（2）如果要物體A上施加一個(gè)與墻平行的外力，使物體A在未脫離圓球前貼著墻沿水平方向做加速度a=5m/s2 勻加速直線運(yùn)動(dòng)，那么

4、這個(gè)外力大小方向如何？解析：這里物體A、B所受的力也不在一個(gè)平面內(nèi)，混起來(lái)考慮比較復(fù)雜，可以在垂直于墻的豎直平面內(nèi)分析A、B間壓力和A對(duì)墻的壓力；在與墻面平行的平面內(nèi)分析A物體沿墻水平運(yùn)動(dòng)時(shí)的受力情況。（1）通過(guò)受力分析可知墻對(duì)物塊A的靜摩擦力大小等于物塊A的重力。（2）由于物體A貼著墻沿水平方向做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，所以摩擦力沿水平方向，合力也沿水平方向且與摩擦力方向相反。又因?yàn)槲矬w受豎直向下的重力，所以推力F方向應(yīng)斜向上。設(shè)物體A對(duì)墻的壓力為N，則沿垂直于墻的方向，物體B受到物體A的支持力大小也為N，有又因?yàn)樵谂c墻面平行的平面內(nèi)，對(duì)物體A沿豎直方向做受力分析，如圖133甲所示有沿水平方向做受力

5、分析，有 由以上各式，解得 因此，對(duì)物體A施加的外力F的大小為20N，方向沿墻面斜向上且與物體A水平運(yùn)動(dòng)方向的夾角為例4：一質(zhì)量m=20kg的鋼件，架在兩根完全相同的平行長(zhǎng)直圓柱上，如圖134所示，鋼件的重心與兩柱等距，兩柱的軸線在同一水平面內(nèi)，圓柱的半徑r=0.025m，鋼件與圓柱間的動(dòng)摩擦因數(shù)=0.20。兩圓柱各繞自己的軸線做轉(zhuǎn)向相反的轉(zhuǎn)動(dòng)，角速度若沿平行于柱軸的方向施力推著鋼件做速度為的勻速運(yùn)動(dòng)，求推力是多大？（設(shè)鋼件不發(fā)生橫向運(yùn)動(dòng)）解析：本題關(guān)鍵是搞清滑動(dòng)摩擦力的方向，滑動(dòng)摩擦力的方向與相對(duì)運(yùn)動(dòng)的方向相反，由于鋼件和圓柱都相對(duì)地面在運(yùn)動(dòng)，直接不易觀察到相對(duì)地面在運(yùn)動(dòng)，直接不易觀察到相對(duì)

6、運(yùn)動(dòng)的方向，而且鋼件的受力不在同一平面內(nèi)，所以考慮“降維”，即選一個(gè)合適的角度觀察。我們從上往上看，畫(huà)出俯視圖，如圖134甲所示。我們選考慮左邊圓柱與鋼件之間的摩擦力，先分析相對(duì)運(yùn)動(dòng)的方向，鋼件有向前的速度，左邊圓住有向右的速度,則鋼件相對(duì)于圓柱的速度是與的矢量差，如圖中v，即為鋼件相對(duì)于圓柱的速度，所以滑動(dòng)摩擦力f的方向與v，的方向相反，如圖134甲所示。圖134乙以鋼件為研究對(duì)象，在水平面上受到推力F和兩個(gè)摩擦力f的作用，設(shè)f與圓柱軸線的夾角為，當(dāng)推鋼件沿圓柱軸線勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，應(yīng)有 再?gòu)恼婵翠摷谪Q直平面內(nèi)的受力可以求出FN，如圖134乙所示，鋼件受重力G和兩個(gè)向上的支持力FN，且G=2F

7、N，所以把 代入式，得推力例5：如圖135所示，將質(zhì)量為M的勻質(zhì)鏈條套在一個(gè)表面光滑的圓錐上，圓錐頂角為，設(shè)圓錐底面水平，鏈條靜止時(shí)也水平，求鏈條內(nèi)的張力。解析：要求張力，應(yīng)在鏈條上取一段質(zhì)量元進(jìn)行研究。因?yàn)樵搯?wèn)題是三維問(wèn)題，各力不在同一平面內(nèi)，所以用“降維法”作出不同角度的平面圖進(jìn)行研究。作出俯視圖135甲，設(shè)質(zhì)量元兩端所受張力為T(mén)，其合力為F，因?yàn)樗鶎?duì)的圓心角很小，所以，即F=T。再作出正視圖135乙，質(zhì)量元受重力g、支持力N和張力的合力F而處于平衡狀態(tài)，由幾何知識(shí)可得：所以鏈條內(nèi)的張力例6：雜技演員在圓筒形建筑物內(nèi)表演飛車(chē)走壁。演員騎摩托車(chē)從底部開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，隨著速度增加，圈子越兜越大，最

8、后在豎直圓筒壁上勻速率行駛，如圖136所示。如果演員和摩托車(chē)的總質(zhì)量為M，直壁半徑為R，勻速率行駛的速率為v，每繞一周上升的距離為h，求摩托車(chē)勻速走壁時(shí)的向心力。解析：摩托車(chē)的運(yùn)動(dòng)速度v，可分解為水平速度v1和豎直分速度為v2，則向心力速度為。處理這個(gè)問(wèn)題的關(guān)鍵是將螺旋線展開(kāi)為一個(gè)斜面，其傾角的余弦為，如圖136甲所示。所以有向心加速度為：向心力 例7：A、B、C為三個(gè)完全相同的表面光滑的小球，B、C兩球各被一長(zhǎng)為L(zhǎng)=2.00m的不可伸和的輕線懸掛于天花板上，兩球剛好接觸，以接觸點(diǎn)O為原點(diǎn)作一直角坐標(biāo)系軸豎直向上，Ox與兩球的連心線重合，如圖137所示。今讓A球射向B、C兩球，并與兩球同時(shí)發(fā)生

9、碰撞。碰撞前，A球速度方向沿y軸正方向，速率為。相碰后，A球沿y軸負(fù)方向反彈，速率=0.40m/s。（1）求B、C兩球被碰后偏離O點(diǎn)的最大位移量；（2）討論長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)B、C兩球的運(yùn)動(dòng)情況。（忽略空氣阻力，取g=10m/s2）解析：（1）A、B、C三球在碰撞前、后的運(yùn)動(dòng)發(fā)生在平面內(nèi)，設(shè)剛碰完后，A的速度大小為，B、C兩球的速度分別為與，在x方向和y方向的分速度的大小分別為，如圖137甲所示，由動(dòng)量守恒定律，有 由于球面是光滑的，在碰撞過(guò)程中，A球?qū)球的作用力方向沿A、B兩球的連心線，A球?qū)球的作用力方向沿A、C兩球的連心線，由幾何關(guān)系，得圖137甲 由對(duì)稱(chēng)關(guān)系可知 解、式可得 由此解得 設(shè)C球

10、在x0, y0, z0的空間中的最大位移為Q點(diǎn)的z坐標(biāo)為zQ，則由機(jī)械能守恒定律可寫(xiě)出 所以 代入數(shù)值解得 zQ=0.32m而Q點(diǎn)到Oz軸的距離為 所以C球離O點(diǎn)的最大位移量 代入數(shù)值，得 由對(duì)稱(chēng)性，可得B球在的空間的最大位移量為 （2）當(dāng)B、C兩球各達(dá)到最大位移后，便做回到原點(diǎn)的擺動(dòng)，并發(fā)生兩球間的碰撞，兩球第一次返回O點(diǎn)碰撞前速度的大小和方向分別為 方向沿正x軸方向=2.20m/s 方向沿y軸方向 方向沿正x軸方向=2.20m/s 方向沿y軸方向設(shè)碰撞后的速度分別為，對(duì)應(yīng)的分速度的大小分別為、和，由于兩球在碰撞過(guò)程中的相互作用力只可能沿x軸方向，故碰撞后，沿y軸方向的速度大小和方向均保持不

11、變（因?yàn)樾∏蚨际枪饣模? 方向沿負(fù)y軸方向 = 方向沿負(fù)y軸方向 碰撞過(guò)程中，沿x軸方向的動(dòng)量守恒，則 因?yàn)?所以即碰撞后兩球在x方向的分速度大小也相等，方向相反，具體數(shù)值取決于碰撞過(guò)程中是否機(jī)械能損失。在A球與B、C兩球同時(shí)碰撞的過(guò)程中，碰撞前，三者的機(jī)械能 碰撞后三者的機(jī)械能表明在碰撞過(guò)程中有機(jī)械能損失，小球的材料不是完全彈性體，故B、C兩球在碰撞過(guò)程中也有機(jī)械能損失，即 由、和三式，和 或當(dāng)B、C兩球第二次返回O點(diǎn)時(shí)，兩球發(fā)生第二次碰撞，設(shè)碰撞后兩球的速度分別為，對(duì)應(yīng)的分速度的大小分別為，則有 或 由此可見(jiàn)，B、C兩球每經(jīng)過(guò)一次碰撞，沿x方向的分速度都要變小，即 而y方向的分速度的

12、大小保持不變，即 當(dāng)兩球反復(fù)碰撞足夠多次數(shù)后，沿x方向的分速度為零，只有y方向的分速度。設(shè)足夠多的次數(shù)為n，則有 即最后，B、C兩球一起的Oyz平面內(nèi)擺動(dòng)，經(jīng)過(guò)最低點(diǎn)O的速度由式給出，設(shè)最高點(diǎn)的z軸坐標(biāo)為，則 得代入數(shù)值，得 最高點(diǎn)的y坐標(biāo)由下式給出：代入數(shù)值，得： 圖138例8：一半徑R=1.00m的水平光滑圓桌面，圓心為O，有一豎直的立柱固定在桌面上的圓心附近，立柱與桌面的交線是一條凸的平滑的封閉曲線C，如圖138所示。一根不可伸長(zhǎng)的柔軟的細(xì)輕繩，一端固定在封閉曲線上某一點(diǎn)，另一端系一質(zhì)量為m=7.5102kg的小物塊。將小物塊放在桌面上并把繩拉直，再給小物塊一個(gè)方向與繩垂直、大小為的初速

13、度，物塊在桌面上運(yùn)動(dòng)時(shí)，繩將纏繞在立柱上。已知當(dāng)繩的張力為T(mén)0=2.0N時(shí)，繩即斷開(kāi)，在繩斷開(kāi)前物塊始終在桌面上運(yùn)動(dòng)。（1）問(wèn)繩剛要斷開(kāi)時(shí)，繩的伸直部分的長(zhǎng)度為多少？（2）若繩剛要斷開(kāi)時(shí)，桌面圓心O到繩的伸直部分與封閉曲線的接觸點(diǎn)的連線正好與繩的伸直部分垂直，問(wèn)物塊的落地點(diǎn)到桌面圓心O的水平距離為多少？已知桌面高度H=0.80m，物塊在桌面上運(yùn)動(dòng)時(shí)未與立柱相碰。取重力加速度大小為10m/s2。解析：（1）這一問(wèn)題比較簡(jiǎn)單。繩斷開(kāi)前，繩的張力即為物塊所受的向心力，因?yàn)槌跛俣扰c繩垂直，所以繩的張力只改變物塊的速度方向，而速度大小不變，繩剛要斷開(kāi)時(shí)，繩的伸直部分的長(zhǎng)度可求出。設(shè)繩的伸直部分長(zhǎng)為x，則

14、由牛頓第二定律得：代入已知數(shù)值得：x=0.60m（2）選取桌面為分析平面，將物塊的落地點(diǎn)投影到此分析平面上，然后由平拋運(yùn)動(dòng)的知識(shí)求解。如圖138甲所示，設(shè)繩剛要斷開(kāi)時(shí)物塊位于桌面上的P點(diǎn)，并用A點(diǎn)表示物塊離開(kāi)桌面時(shí)的位置，先取桌面為分析平面，將物塊的落地點(diǎn)投影到此分析平面上，其位置用D點(diǎn)表示，易知D點(diǎn)應(yīng)在直線PA的延長(zhǎng)線上，即等于物塊落地點(diǎn)與桌面圓心O的水平距離，而等于物塊離開(kāi)桌面后做平拋運(yùn)動(dòng)的水平射程。即 故代入已知數(shù)值得物塊落地點(diǎn)到桌面圓心O的水平距離 例9：如圖139所示是一種記錄地震裝置的水平擺，擺球m固定在邊長(zhǎng)為L(zhǎng)，質(zhì)量可忽略不計(jì)的等邊三角形的頂點(diǎn)A上。它的對(duì)邊BC跟豎直線成不大的夾

15、角，擺球可以繞固定軸BC擺動(dòng)。求擺做微小振動(dòng)的周期。解析：若m做微小振動(dòng)，則其軌跡一定在過(guò)A點(diǎn)，垂直于BC的平面內(nèi)的以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓弧上。因此我們可以作一個(gè)過(guò)A點(diǎn)垂直于BC的平面M，如圖139甲所示，將重力mg沿M平面和垂直于M平面方向分解，則在平面M內(nèi)，m的振動(dòng)等效于一個(gè)只在重力作用下簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，擺長(zhǎng)所以周期 例10：六個(gè)相同的電阻（阻值均為R）連成一個(gè)電阻環(huán)，六個(gè)結(jié)點(diǎn)依次為1、2、3、4、5和6，如圖1310所示?，F(xiàn)有五個(gè)完全相同的這樣的電阻環(huán)，分別稱(chēng)為D1、D2、D5?，F(xiàn)將D1的1、3、5三點(diǎn)分別與D2的2、4、6三點(diǎn)用導(dǎo)線連接，如圖1310甲所示。然后將D2的1、3、5三點(diǎn)分別

16、與D3的2、4、6三點(diǎn)用導(dǎo)線連接依次類(lèi)推，最后將D5的1、3、5三點(diǎn)分別連接到D4的2、4、6三點(diǎn)上。證明：全部接好后，在D1上的1、3、兩點(diǎn)間的等效是電阻為。解析：由于連接電阻R的導(dǎo)線，連接環(huán)D之間的導(dǎo)線均不計(jì)電阻，因此，可改變環(huán)的半徑，使五個(gè)環(huán)的大小滿(mǎn)足：D1D2D5.將圖1310甲所示的圓柱形網(wǎng)絡(luò)變成圓臺(tái)形網(wǎng)絡(luò)，在沿與底面垂直的方向?qū)⒋藞A臺(tái)形網(wǎng)絡(luò)壓縮成一個(gè)平面，如圖1310乙所示的平面電路圖?，F(xiàn)將圓形電阻環(huán)變成三角形，1、3、5三點(diǎn)為三角形的頂點(diǎn)，2、4、6三點(diǎn)為三角形三邊的中點(diǎn)，圖1310乙又變?yōu)槿鐖D1310丙所示電路圖。不難發(fā)現(xiàn)，圖1310丙所示的電路相對(duì)虛直線3、6具有左右對(duì)稱(chēng)性。

17、可以用多種解法求。如將電路等效為圖1310丁。A1B1以?xún)?nèi)的電阻A2B2以?xún)?nèi)的電阻A3B3以?xún)?nèi)的電阻A4B4以?xún)?nèi)的電阻A5B5以?xún)?nèi)的電阻即為D1環(huán)上1、3兩點(diǎn)間的等效電阻。例11：如圖1311所示，用12根阻值均為r的相同的電阻絲構(gòu)成正立方體框架。試求AG兩點(diǎn)間的等效電阻。解析：該電路是立體電路，我們可以將該立體電路“壓扁”，使其變成平面電路，如圖1311甲所示。考慮到D、E、B三點(diǎn)等勢(shì)，C、F、H三點(diǎn)等勢(shì)，則電路圖可等效為如圖1311乙所示的電路圖，所以AG間總電阻為 例12：如圖1312所示，傾角為的斜面上放一木制圓制，其質(zhì)量m=0.2kg，半徑為r，長(zhǎng)度L=0.1m，圓柱上順著軸線OO繞

18、有N=10匝的線圈，線圈平面與斜面平行，斜面處于豎直向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=0.5T，當(dāng)通入多大電流時(shí)，圓柱才不致往下滾動(dòng)？解析：要準(zhǔn)確地表達(dá)各物理量之間的關(guān)系，最好畫(huà)出正視圖，問(wèn)題就比較容易求解了。如圖1312甲所示，磁場(chǎng)力Fm對(duì)線圈的力矩為MB=NBIL2rsin，重力對(duì)D點(diǎn)的力矩為：MG=mgsin，平衡時(shí)有：MB=MG則可解得：例13：空間由電阻絲組成的無(wú)窮網(wǎng)絡(luò)如圖1313所示，每段電阻絲的電阻均為r，試求A、B間的等效電阻RAB。解析：設(shè)想電流A點(diǎn)流入，從B點(diǎn)流出，由對(duì)稱(chēng)性可知，網(wǎng)絡(luò)中背面那一根無(wú)限長(zhǎng)電阻絲中各點(diǎn)等電勢(shì)，故可撤去這根電阻絲，而把空間網(wǎng)絡(luò)等效為圖1313甲所示的

19、電路。（1）其中豎直線電阻r分別為兩個(gè)r串聯(lián)和一個(gè)r并聯(lián)后的電阻值，所以 橫線每根電阻仍為r，此時(shí)將立體網(wǎng)絡(luò)變成平面網(wǎng)絡(luò)。（2）由于此網(wǎng)絡(luò)具有左右對(duì)稱(chēng)性，所以以AB為軸對(duì)折，此時(shí)網(wǎng)絡(luò)變?yōu)槿鐖D1313乙所示的網(wǎng)絡(luò)。其中橫線每根電阻為，豎線每根電阻為AB對(duì)應(yīng)那根的電阻為，此時(shí)由左右無(wú)限大變?yōu)橛疫厽o(wú)限大。（3）設(shè)第二個(gè)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)點(diǎn)為CD，此后均有相同的網(wǎng)絡(luò)，去掉AB時(shí)電路為圖1313丙所示。再設(shè)RCD=Rn1（不包含CD所對(duì)應(yīng)的豎線電阻）則，網(wǎng)絡(luò)如圖1313丁所示。此時(shí) 當(dāng)時(shí)，Rn=Rn1 上式變?yōu)橛纱私獾茫?即補(bǔ)上AB豎線對(duì)應(yīng)的電阻，網(wǎng)絡(luò)變?yōu)槿鐖D1313戊所示的電路。例14：設(shè)在地面上方的真空室內(nèi)，

20、存在勻強(qiáng)電場(chǎng)和勻強(qiáng)磁場(chǎng)，已知電場(chǎng)強(qiáng)度和磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向是相同的，電場(chǎng)強(qiáng)度的大小E=4.0V/m，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小B=0.15T，今有一個(gè)帶負(fù)電的質(zhì)點(diǎn)以v=20m/s的速度在此區(qū)域內(nèi)沿垂直場(chǎng)強(qiáng)方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，求此帶電質(zhì)點(diǎn)的電量與質(zhì)量之比q/m以及磁場(chǎng)的所有可能方向（角度可用反三角函數(shù)表）。解析：因?yàn)閹ж?fù)電的質(zhì)點(diǎn)做勻速直線運(yùn)動(dòng)，說(shuō)明此質(zhì)點(diǎn)所受的合外力為零。又因?yàn)殡妶?chǎng)強(qiáng)度和磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向相同，所以該帶電質(zhì)點(diǎn)所受的電場(chǎng)力和洛侖茲力的方向垂直共面，且必受重力作用，否則所受合外力不可能為零，設(shè)質(zhì)點(diǎn)速度方向垂直紙面向里。由此該帶電質(zhì)點(diǎn)的受力圖如圖1314所示。由平衡條件有有水平方向： 在豎直方向： 解得： q/m=