復(fù)合材料力學(xué)58607

1、復(fù) 合 材 料 力 學(xué),第二課,簡單層板的宏觀力學(xué)性能,引 言,簡單層板：層合纖維增強復(fù)合材料的基本單元件 宏觀力學(xué)性能：只考慮簡單層板的平均表觀力學(xué)性能，不討論復(fù)合材料組分之間的相互作用 對簡單層板來說，由于厚度與其他方向尺寸相比較小，因此一般按平面應(yīng)力狀態(tài)進行分析，只考慮單層板面內(nèi)應(yīng)力，不考慮面上應(yīng)力，即認為它們很小，可忽略 在線彈性范圍內(nèi) Anisotropic Isotropy Orthotropy Failure Criterion,傳統(tǒng)材料,對各向同性材料來說，表征他們剛度性能的工程彈性常數(shù)有：E,G,v E：拉伸模量 G：剪切模量 V：泊松比 其中,獨立常數(shù)只有2個,各向異性材料

2、的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系,應(yīng)力應(yīng)變的廣義虎克定律 對簡單層板來說，由于厚度與其他方向尺寸相比較小，因此一般按平面應(yīng)力狀態(tài)進行分析 只考慮單層面內(nèi)應(yīng)力，不考慮單層面上應(yīng)力,應(yīng)力分量，剛度矩陣，應(yīng)變分量,柔度矩陣,各向異性材料的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系,簡寫了表達符號,幾何方程,彈性力學(xué)知識,x,y,z,六個應(yīng)力分量,主應(yīng)力和主方向 材料往往在受力最大的面發(fā)生破壞，物體內(nèi)每一點都有無窮多個微面通過，斜面上剪應(yīng)力為零的面為主平面，其法線方向為主方向，應(yīng)力為主應(yīng)力，三個主應(yīng)力，包括最大和最小應(yīng)力,柔度分量、模量分量,各向異性體彈性 力學(xué)基本方程,彈性體受力變形的位移與應(yīng)變關(guān)系 本構(gòu)方程,3,6,連續(xù)性方程或變形協(xié)調(diào)方程,6

3、,彈性力學(xué)問題的一般解法 六個應(yīng)力分量 六個應(yīng)變分量 三個位移分量,幾何關(guān)系（位移和應(yīng)變關(guān)系） 物理關(guān)系（應(yīng)力和應(yīng)變關(guān)系） 平衡方程 15個方程求15個未知數(shù)可解 難以實現(xiàn) 簡化或數(shù)值解法,各向異性材料的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系,回來繼續(xù)關(guān)注剛度矩陣,36個分量,證明：Cij的對稱性,在剛度矩陣Cij中有36個常數(shù)，但在材料中，實際常數(shù)小于36個。首先證明Cij的對稱性： 當(dāng)應(yīng)力i作用產(chǎn)生di的增量時，單位體積的功的增量為：dw= i di 由i= Cij dj得：dw= Cij dj di 積分得：w=1/2 Cij j i,Cij的腳標與微分次序無關(guān)： Cij=Cji 剛度矩陣是對稱的，只有21個常數(shù)

4、是獨立的,同理,各向異性的、全不對稱材料21個常數(shù),單對稱材料,如果材料存在對稱面，則彈性常數(shù)將會減少，例如z=0平面為對稱面，則所有與Z軸或3正方向有關(guān)的常數(shù)，必須與Z軸負方向有關(guān)的常數(shù)相同 剪應(yīng)變分量yz和xz僅與剪應(yīng)力分量yzxz有關(guān)，則彈性常數(shù)可變?yōu)?3個，單對稱材料,單對稱材料,y=0,正交各向異性材料,隨著材料對稱性的提高，獨立常數(shù)的數(shù)目逐步減少 如果材料有兩個正交的材料性能對稱面，則對于和這兩個相垂直的平面也有對稱面（第三個）正交各向異性9個獨立常數(shù),正應(yīng)力與剪應(yīng)變之間沒有耦合，剪應(yīng)力與正應(yīng)變之間沒有耦合 不同平面內(nèi)的剪應(yīng)力和剪應(yīng)變之間也沒有相互作用,橫觀各向同性材料,如果材料中

5、每一點有一個方向的力學(xué)性能都相同，那么為橫觀各向同性材料5個獨立常數(shù) 常常用來描述各向異性纖維和單向復(fù)合材料的彈性常數(shù),根據(jù)純剪切和拉伸與壓縮組合之間的等效推導(dǎo)而出,1-2平面 1，2可互換,各向同性材料,如果材料完全是各向同性的，則2個獨立常數(shù),應(yīng)變-應(yīng)力關(guān)系（柔度矩陣）,與剛度矩陣一樣有相似的性質(zhì) 剛度矩陣與柔度矩陣互為逆矩陣,正軸、偏軸和一般情況,總結(jié),各向異性材料的性質(zhì)更多地取決于非零分量的個數(shù),正交各向異性材料的工程常數(shù),工程常數(shù)： 可以用簡單試驗如拉伸、壓縮、剪切、彎曲等獲得 具有很明顯的物理解釋 這些常數(shù)比Cij或Sij中的各分量具有更明顯的物理意義、更直觀 最簡單的試驗是在已知

6、載荷或應(yīng)力的條件下測量相應(yīng)的位移或應(yīng)變，因此柔度矩陣比剛度矩陣更能直接測定,正交各向異性材料用工程常數(shù)表示的柔度矩陣,E1、E2、E3為1，2，3方向上的彈性模量 ij為應(yīng)力在i方向上作用時j方向的橫向應(yīng)變的泊松比 G23,G31,G12為2-3，3-1，1-2平面的剪切應(yīng)變,ij為應(yīng)力在i方向上作用時j方向的橫向應(yīng)變的泊松比,正交各向異性材料只有九個獨立常數(shù)，現(xiàn)在有12個常數(shù) 根據(jù)S矩陣的對稱性，有：,12和21 (讀音: /nu:/),1,2,L,L,應(yīng)力作用在2方向引起的橫向變形和應(yīng)力作用在1方向引起的相同,剛度矩陣與柔度矩陣互為逆矩陣,彈性常數(shù)的限制各向同性材料,為保證E和G為正值，即

7、正應(yīng)力或剪應(yīng)力乘以正應(yīng)變或剪應(yīng)變產(chǎn)生正功,對于各向同性體承受靜壓力P的作用，體積應(yīng)變可定義為：,如果K為負，靜壓力將引起體積膨脹,彈性常數(shù)的限制正交各向異性材料,情況很復(fù)雜，從熱力學(xué)角度來講，所有應(yīng)力做功的和應(yīng)為正值，聯(lián)系應(yīng)力應(yīng)變的矩陣應(yīng)該是正定的,正定矩陣的行列式為正,彈性常數(shù)的限制正交各向異性材料,C為正,也可得到,彈性常數(shù)的限制正交各向異性材料,為了用另外兩個泊松比表達21的界限，繼續(xù)轉(zhuǎn)化,對3213可得相似的表達式,彈性常數(shù)的限制作用,突破傳統(tǒng)材料的概念，大膽設(shè)計復(fù)合材料 可以用來檢驗試驗數(shù)據(jù)，看他們在數(shù)學(xué)彈性模型的范圍內(nèi)是否與實際一致 解微分方程時，確定合適的工程實用解,平面應(yīng)力狀態(tài)

8、與平面應(yīng)變狀態(tài),1,3,2,3,1,2,正交各向異性材料平面應(yīng)力問題的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系,1,2,3,只有三個應(yīng)力分量1212不為零 柔度矩陣可簡化為：,正交各向異性材料平面應(yīng)力問題的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系,如果想求3的話，還必須知道1323工程常數(shù),1,2,引起的,推導(dǎo),正交各向異性材料平面應(yīng)力問題的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系,利用疊加原理：,正交各向異性材料平面應(yīng)力問題的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系,正交各向異性材料平面應(yīng)力問題的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系,4個獨立的常數(shù)，E1,E2,12和G12,對于各向同性材料,已知T300/648單層板的工程彈性常數(shù)為,試求它的正軸柔量和正軸模量。,令,例題,簡單層板在任意方向上的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系,上述的是定義

9、在正交各向異性材料的主方向上的，但材料的主方向往往和幾何上適應(yīng)解題要求的坐標軸方向不一致 斜鋪或纏繞,1,2,y,x,+,簡單層板在任意方向上的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系,用1-2坐標系中的應(yīng)力來表示x-y坐標系中的應(yīng)力的轉(zhuǎn)換方程為,轉(zhuǎn)換的只是應(yīng)力，而與材料的性質(zhì)無關(guān)，同樣：,很麻煩！,簡單層板在任意方向上的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系,我們引入Router矩陣,方便！,簡單層板在任意方向上的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系,對于材料主軸和坐標系一致的特殊的正交各向異性簡單層板,不一致時,可簡寫,Q的轉(zhuǎn)換矩陣,簡單層板在任意方向上的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系,九個非零分量，四個獨立常數(shù)，但是廣義的正交各向異性層板 剪應(yīng)變和正應(yīng)力，剪應(yīng)力和正應(yīng)變存在

10、耦合,簡單層板在任意方向上的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系,我們也可以用應(yīng)力來表示應(yīng)變,簡單層板在任意方向上的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系,對各向異性簡單層板，同廣義正交各向同性簡單層板相類似,新的工程常數(shù)相互影響系數(shù),第一類相互影響系數(shù)：表示由ij平面內(nèi)的剪切引起i方向上的伸長,第二類相互影響系數(shù)：表示由i方向上的正應(yīng)力引起ij平面內(nèi)的剪切,復(fù)合材料的偏軸向（非材料主方向）拉伸引起軸向伸長和剪切變形,簡單層板在任意方向上的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系,其他的各向異性彈性關(guān)系可以用來定義欽卓夫系數(shù)，其定義為：,系數(shù)滿足互等關(guān)系：,該系數(shù)是對剪應(yīng)力和剪應(yīng)變的，而泊松比是對正應(yīng)力和正應(yīng)變的，在平面應(yīng)力情況下，欽卓夫系數(shù)不影響簡單層板的面內(nèi)性

11、能。,簡單層板在任意方向上的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系,簡單層板在任意方向上的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系,非主方向的xy坐標系下受力的正交各向異性簡單層板的表觀工程常數(shù)為：,簡單層板在任意方向上的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系,通過上述分析可見： 正交各向異性簡單層板在與材料主方向成一定角度方向上受力時，表觀各向異性彈性模量是隨角度變化的 瓊斯法則：材料性能的極值（最大值或最小值）并不一定發(fā)生在材料主方向 設(shè)計材料,正交各向異性簡單層板的不變量性質(zhì),剛度矩陣分量是四個獨立常數(shù)和角度的復(fù)雜函數(shù) Tsai & Pagano利用三角恒等式對剛度變換進行了有創(chuàng)造性的改造 S.W.Tsai, N.J.Pagano. Invariant pro

12、perties of composite materials. Composite materials workshop, ed S.W.Tsai, H.C.Halpin, N.J.Pagano, Technomic (1968), p.233,正交各向異性簡單層板的不變量性質(zhì),利用三角恒等式：,正交各向異性簡單層板的不變量性質(zhì),正交各向異性簡單層板的不變量性質(zhì),在繞垂直于簡單層板的軸旋轉(zhuǎn)時，其剛度分量的部分值是不變的，U1 U2 U5為常數(shù)項，不隨角度變化，有一定的含義，如拉伸模量，剪切模量等,舉例：,Q11,常數(shù),低頻變量,高頻變量,不隨角度的變化，是剛度的有效量值,Tsai & Paga

13、no還提出：,以后還要介紹,正交各向異性簡單層板的強度,強度：重要概念 復(fù)雜，在實際應(yīng)用中，幾乎沒有單純使用單層板的，主要是因為它們的橫向拉伸與剪切強度和剛度太弱，尤其是強度，因此，多一層合板的的形式應(yīng)用，即需要不同角度鋪層的單層板，簡單層板的強度分析是基礎(chǔ)。 目的：要用材料主方向上的特征表征任意方向上的特征（不同于傳統(tǒng)材料的方法） 實際應(yīng)力場和許用應(yīng)力場 剛度方面的研究工作可以用來計算實際應(yīng)力場 現(xiàn)在要研究確定許用應(yīng)力場,正交各向異性簡單層板的強度,基本強度定義材料主方向上 Xt縱向拉伸強度 Xc縱向壓縮強度 Yt橫向拉伸強度 Yc橫向壓縮強度 S面內(nèi)剪切強度 與4個工程彈性常數(shù)一起，稱為復(fù)

14、合材料的9個工程常數(shù) 強度是應(yīng)力方向上的函數(shù),正交各向異性簡單層板的強度,各向同性材料的強度指標用于表示材料在簡單應(yīng)力下的強度 塑性材料：屈服極限或條件屈服極限 脆性材料：強度極限 剪切屈服極限 疲勞等 正交各向異性材料 強度隨方向不同變化 拉伸和壓縮失效的機理不同 面內(nèi)剪切強度也是獨立的,示例,考慮單向纖維簡單層板，假設(shè)強度為：,其應(yīng)力場為：,最大主應(yīng)力低于最大強度，但2比Y大，在2方向上破壞,正交各向異性簡單層板的強度,材料主方向上的剪切強度和拉伸與壓縮性能的差別無關(guān)，對于拉伸和壓縮性能不同的材料，不管剪應(yīng)力是正還是負，都具有相同的最大值 非材料主方向的剪應(yīng)力的最大值依賴于剪應(yīng)力的符號 對

15、于作用在與材料主方向成45o的正和負的剪應(yīng)力的表觀剪切強度和剛度是不同的 材料主方向上的基本資料如何轉(zhuǎn)換到其他有用的依賴于所考慮的應(yīng)力場坐標的方向,正交各向異性簡單層板的強度,1,2,1,2,1,2,1,2,+,-,+,-,材料主方向上的剪應(yīng)力,與材料主方向上成45度角的的剪應(yīng)力,強度和剛度的試驗確定,基本強度特性 Xt縱向拉伸強度；Xc縱向壓縮強度 Yt橫向拉伸強度；Yc橫向壓縮強度 S面內(nèi)剪切強度 剛度特性為： E11-方向上的彈性模量；E22-方向上的彈性模量 12-2/1，當(dāng)1= ，而其他應(yīng)力皆為零； 21-1/2，當(dāng)2= ，而其他應(yīng)力皆為零； G12在1-2平面內(nèi)的剪切模量,強度和剛

16、度的試驗確定,試驗的基本原則 當(dāng)載荷從零增至極限載荷或破壞載荷時，材料的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系也應(yīng)該是線性的。 一般來講，拉伸試驗的線性保持很好，而壓縮和剪切，尤其是剪切對大多數(shù)復(fù)合材料來說，是非線性的 試驗中的關(guān)鍵，是使試件承受均勻的應(yīng)力，這對各向同性材料是容易的,強度和剛度的試驗確定,正應(yīng)力和剪應(yīng)變 剪應(yīng)力和正應(yīng)變 正應(yīng)力和彎曲曲率 彎曲應(yīng)力和正應(yīng)變,耦合影響,對正交各向異性材料當(dāng)載荷作用在非材料主方向時，正交各向異性性能常常導(dǎo)致：,強度和剛度的試驗確定,單向增強簡單層板在1-方向上的單向拉伸試驗,測量1、2,強度和剛度的試驗確定,單向增強簡單層板在2-方向上的單向拉伸試驗,測量1、2,剛度性能必

17、須滿足互等關(guān)系式：,測量的數(shù)據(jù)不準確； 進行的計算有錯誤 材料不能用線彈性應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系式描述,如果不滿足,強度和剛度的試驗確定,單向增強簡單層板在和1-方向成450角的單向拉伸試驗,測量x,G12是推導(dǎo)量,根據(jù),強度和剛度的試驗確定,無端部效應(yīng),端部受到限制,強度和剛度的試驗確定,對于剪切強度，不存在像剛度一樣的關(guān)系式,不能依賴于本試驗來決定極限剪應(yīng)力S，因為伴隨的剪切破壞并不引起純剪切變形，要考慮其他方法,測量剪切強度的方法,強度和剛度的試驗確定,惠特尼、帕加諾和派普斯描述的管子扭轉(zhuǎn)試驗,x,y,T,T,t,xy,強度和剛度的試驗確定,惠特尼、斯坦斯巴杰和豪厄爾（Whitney, Stan

18、sbarger,Idowell)所描述的軌道剪切試驗,端部效應(yīng) 比實際值低 廣泛應(yīng)用,軌道剪切試驗-雙軌或三軌,強度和剛度的試驗確定,肖克提供的十字梁試驗,中心局部有剪切 不太合適,Iosipescu剪切試驗,中間斷面剪應(yīng)力平均分布 而不是拋物線分布 缺口沒有應(yīng)力集中,正交各向異性簡單層板的二向強度理論,上述方法，多是在單向應(yīng)力狀態(tài)下 實際使用過程中，物體所受三向或雙向載荷的作用 通過聯(lián)合或多向加載試驗獲得強度包絡(luò)線，通過變換，形成破壞準則 破壞準則僅僅是預(yù)測破壞的 發(fā)生，而不是實際上的破壞模型，不能從機理上闡述破壞,正交各向異性簡單層板的二向強度理論,x,y,試驗破壞數(shù)據(jù),破壞,屈服,最大應(yīng)

19、力理論,單層板在平面應(yīng)力狀態(tài)下，主方向的任意一個分量達到極限應(yīng)力時，就發(fā)生破壞或失效 失效準則有3個相互不影響，各自獨立的表達式組成的，實際上有三個分準則 必須轉(zhuǎn)換成材料主方向上的應(yīng)力 理論預(yù)報與材料試驗值吻合的不好,最大應(yīng)力理論,拉伸時,壓縮時,最大應(yīng)變理論,單層板在平面應(yīng)力狀態(tài)下，主方向的任意一個分量達到極限應(yīng)變時，就發(fā)生破壞或失效 失效準則有3個相互不影響，各自獨立的表達式組成的，實際上有三個分準則 必須轉(zhuǎn)換成材料主方向上的應(yīng)變 和最大應(yīng)力理論相比,在最大應(yīng)變準則中包含了泊松比項,也就是說，最大應(yīng)變理論中考慮了另一彈性主方向應(yīng)力的影響，如果泊松比很小，這個影響就很小 與試驗結(jié)果偏差也較大

20、,最大應(yīng)變理論,拉伸時,壓縮時,最大應(yīng)變理論,蔡-希爾理論(Tsai-Hill),Hill對各向異性材料，提出了屈服準則：,在彈性范圍內(nèi)，可以作為各向異性材料的強度準則，屈服強度F,G,H,L,M,N是各向異性材料的破壞強度參數(shù)。,復(fù)合材料屆傳奇人物,Stephen W. Tsai 蔡為侖 (Steve),John C. Halpin Air Force Materiel Command at Wright Patterson AFB,Nicholas J. Pagano Air Force Research Laboratory,James M. Whitney University of Dayton,蔡-希爾理論(Tsai-Hill),如果只有12作用在物體上 如果只有1作用在物體上 如果只有2作用在物體上 如果只有3作用在物體上,蔡-希爾理論(Tsai-Hill),對于纖維在1-方向的簡單層板在1-2平面內(nèi)的平面應(yīng)力，,蔡-希爾理論,一個破壞準則 強度隨方向角的變化是光滑的,沒有尖點 單向強度隨角從0增加而連續(xù)減小而不是像最大應(yīng)力和最大應(yīng)變兩個準則那樣增加 理論與試驗之間的一致性比原先的好,最大應(yīng)力和應(yīng)變準則在30時的誤差是100% 在蔡希爾準則中破壞