08應力狀態(tài).ppt

1、第八章 應力狀態(tài),第八章 應力狀態(tài),81 應力狀態(tài)的概念,82 平面應力狀態(tài)分析的解析法,83 平面應力狀態(tài)分析的圖解法,84 梁的主應力及主應力跡線,85 空間應力狀態(tài)簡介,86 廣義虎克定律,87 復雜應力狀態(tài)下的體積應變、比能,88 平面應力狀態(tài)下的應變分析,P,P,m,m,n,n,P,n,n,k,m,m,P,k,一、一點的應力狀態(tài),81 應力狀態(tài)的概念,過構(gòu)件一點各個截面應力的總體情況稱為該點的應力狀態(tài)。,二、單元體,x,y,z,xy,xz,x,y,z,yx,yz,zx,zy,圍繞構(gòu)件內(nèi)一點截取一無限小正六面體稱為單元體。,單元體相對兩面上的應力大小相等，方向相反。,若所取單元體各面上

2、只有正應力，而無剪應力，此單元體稱為主單元體。,三、主平面和主應力,1,2,3,只有正應力，而無剪應力的截面稱為主平面。,主平面上的正應力稱為主應力。,一點的應力狀態(tài)有三個主應力，按其代數(shù)值排列：,P,P, 若三個主應力中，有兩個等于零，一個不等于零，稱為單向應力狀態(tài)，如桿件軸向拉伸或壓縮。, 若三個主應力中，有一個等于零，兩個不等于零，稱為二向應力狀態(tài)，或平面應力狀態(tài)，如梁的彎曲。,A,B,P,x,x,x,x,x,x, 若三個主應力都不等于零，稱為三向應力狀態(tài)，三向應力狀態(tài)是最復雜的應力狀態(tài)。,82 平面應力狀態(tài)分析的解析法,一、斜截面上的應力,x,x,x,y,y,n,t,x,x,y,y,y

3、,y,x,x,y,同理，由 得：,任意斜截面的正應力和剪應力為,二、主平面的方位,設(shè)主平面的方位角為0，有,三、主應力,將主平面的方位角為0代入斜截面正應力公式，得,四、最大剪應力,解題注意事項：, 上述公式中各項均為代數(shù)量，應用公式解題時，首先應寫清已知條件。,x、y 以拉為正，以壓為負；,x 沿單元體順時針轉(zhuǎn)為正，逆時針轉(zhuǎn)為負；, 為斜截面的外法線與x 軸正向間夾角，逆時針轉(zhuǎn)為正，順時針轉(zhuǎn)為負。, 求得主應力、與0排序，確定1、2、3的值。, 0為主應力所在截面的外法線與x 軸正向間夾角，逆時針轉(zhuǎn)為正，順時針轉(zhuǎn)為負。,在主值區(qū)間，20有兩個解，與此對應的0也有兩個解，其中落在剪應力箭頭所指

4、象限內(nèi)的解為真解，另一解舍掉。,例81求圖示單元體ab 斜截面上的正應力和剪應力。,a,b,解：已知,x,n,n,練習1求圖示單元體ab 斜截面上的正應力和剪應力。,解：已知,例82求圖示單元體的主應力、最大剪應力、并在單元體上標出主應力的方位。,解：已知,此解在第一象限，為本題解；,此解在第二象限，不是本題解，舍掉。,1,1,3,3,0=11.98,練習2求圖示單元體的主應力、最大剪應力、并在單元體上標出主應力的方位。,解：已知,此解在第二、四象限，為本題解。,此解在第一象限，不是本題解，舍掉；,3,3,1,1,0=67.5,練習3求圖示單元體的主應力、最大剪應力、并在單元體上標出主應力的方

5、位。,解：已知,此解在第一象限，為本題解；,此解在第二象限，不是本題解，舍掉。,1,1,3,3,0=18.43,83 平面應力狀態(tài)分析的圖解法,由解析法知，任意斜截面的應力為,將第一式移項后兩邊平方與第二式兩邊平方相加,得：,取橫軸為斜截面的正應力，縱軸為斜截面的剪應力，則上式為一圓方程。,x,x,x,y,y,n,t,y,r,圓心坐標為,半徑為,x,x,x,y,y,n,t,y,圓上各點與單元體各斜截面一一對應，各點的橫坐標與縱坐標與各斜截面的正應力與剪應力一一對應。因此，該圓稱為應力圓。,圓上D1點代表x 截面；,D1,x,x,y,-x,D2,D2點代表y 截面；,E,E點代表方位為 角的斜截

6、面；,A1、 A2 點代表兩個主平面。,1,2,A1,A2,x,x,x,y,y,y,D1,x,x,y,-x,D2,B1,B2,應力圓的畫法步驟:, 作橫軸為 軸，縱軸為 軸；, 在橫軸上取OB1= x ，,過B1引垂線B1D1=x ；, 在橫軸上取OB2= y，,過B2引垂線B2D2=-x ；, 連接D1D2交橫軸于C ；, 以C為圓心，CD1為半徑作圓，此圓即為應力圓。,x,x,x,y,y,y,D1,x,x,y,-x,D2,B1,B2,證明:,例83試用圖解法求圖示單元體的主應力、最大剪應力、并在單元體上標出主應力的方位。,解：已知,50,30,30,30,取:,連接D1D2交橫軸于C ，以

7、C為圓心，CD1為半徑作圓。,50,30,30,30,1,1,3,3,0=18.43,例84試用圖解法求圖示單元體的主應力、最大剪應力、并在單元體上標出主應力的方位。,解：已知,取:,連接D1D2交橫軸于C ，以C為圓心，CD1為半徑作圓。,20,20,20,20,0=45,20,1,1,3,3,練習4試用圖解法求圖示單元體的主應力、最大剪應力、并在單元體上標出主應力的方位。,解：已知,取:,連接D1D2交橫軸于C ，以C為圓心，CD1為半徑作圓。,C,O,B1,D1,D2,B2,100,50,50,C,O,B1,D1,D2,B2,100,50,50,A1,A2,20,1,1,3,3,0=22

8、.5,84 梁的主應力及主應力跡線,1,2,4,5,1,2,3,4,5,m,m,1,5,3,1,1,1,1,3,3,3,3,2,3,4,梁的各點皆處于平面應力狀態(tài)，各點的主應力為拉主應力1和壓主應力3。各點的拉主應力和壓主應力的走向形成兩組互相正交的曲線族，此兩組互相正交的曲線稱為梁的主應力跡線。過一點沿兩組主應力跡線的切線則表示該點兩個主應力的方向。,x,1,1 截面,2,2 截面,3,3 截面,4,4 截面,i,i 截面,n,n 截面,主應力跡線的畫法：,圖示為懸臂梁的主應力跡線,實線表示拉主應力跡線；,虛線表示壓主應力跡線。,圖示混凝土梁自重下的主應力跡線。,混凝土屬脆性材料，抗壓不抗拉

9、。沿拉主應力跡線方向鋪設(shè)鋼筋，可增強混凝土梁的抗拉強度。,85 空間應力狀態(tài)簡介,1、空間應力狀態(tài),2、三向應力圓,1,2,3,1,2,3,1,2,3,1,2,3,max,min,3、最大剪應力,1,2,3,最大剪應力所在的截面與2平行，與第一、第三主平面成45角。,86 廣義虎克定律,P,P,=,+,1,2,2,1,一、平面應力狀態(tài)的廣義虎克定律,正應變只跟正應力有關(guān)，與剪應力無關(guān)；剪應變只跟剪應力有關(guān)，與正應力無關(guān)；,二、三向應力狀態(tài)的廣義虎克定律,1,2,3,x,y,z,xy,xz,x,y,z,yx,yz,zx,zy,例86邊長為a 的一立方鋼塊正好置于剛性槽中，鋼塊的彈性模量為E 、泊

10、桑比為 ，頂面受鉛直壓力P 作用，求鋼塊的應力x 、y 、z 和應變x 、y 、z 。,P,x,y,z,x,y,z,解：,由已知可直接求得：,P,x,y,z,x,y,z,例87已知E=10GPa、=0.2，求圖示梁nn 截面上 k 點沿30方向的線應變 30。,n,n,k,1m,1m,2m,A,B,200,150,75,75,k,30,n,n,k,1m,1m,2m,A,B,200,150,75,75,k,30,n,n,k,1m,1m,2m,A,B,200,150,75,75,k,30,30,-60,30,-60,n,n,k,1m,1m,2m,A,B,200,150,75,75,k,30,30,

11、-60,30,-60,例88薄壁筒內(nèi)壓容器(t/D1/20)，筒的平均直徑為D ，壁厚為t ，材料的E、 已知。已測得筒壁上 k 點沿45方向的線應變 45，求筒內(nèi)壓強p。,k,p,t,D,x,x,y,y,解：,筒壁一點的軸向應力：,筒壁一點的環(huán)向應力：,k,p,t,D,x,x,y,y,45,-45,45,-45,練習5受扭圓軸如圖所示，已知m 、 d 、 E、 ，求圓軸外表面沿ab 方向的應變 ab 。,A,B,m,m,d,a,b,45,解：,A,B,m,m,d,a,b,45,45,-45,87 復雜應力狀態(tài)下的體積應變、比能,一、體積應變,dx,dy,dz,dx+dx,dy+dy,dz+d

12、z,略去高階微量，得,單元體的體積應變,代入式,得：,純剪應力狀態(tài)：,可見剪應力并不引起體積應變，對于非主應力單元體，其體積應變可改寫為,體積應變只與三個主應力（正應力）之和有關(guān)，而與其比例無關(guān)。,令,m稱為平均正應力，K 稱為體積彈性模量。,二、比能,單位體積的變形能稱為變形能密度，簡稱比能。, 單向拉壓比能,dx,dz,dy,d(l),dx,dz,dy, 純剪切比能,dx,dy,dz, 復雜應力狀態(tài)的比能, 體積改變比能與形狀改變比能,1,2,3,m,m,1-m,m,2-m,3-m,=,+,u,=,uV,+,uf,狀態(tài)1受平均正應力m作用，因各向均勻受力，故只有體積改變，而無形狀改變，相應的比能稱為體積改變比能uV。,狀態(tài)2的體積應變：,狀態(tài)2無體積改變，只有形狀改變，相應的比能稱為形狀改變比能uf。,1,2,3,m,m,1-m,m,2-m,3-m,=,+,u,=,uV,+,uf,例89邊長為a 的一立方鋼塊正好置于剛性槽中，鋼塊的彈性模量為E 、泊桑比為 ，頂面受鉛直壓力P 作用，求鋼塊的體積應變V 和形狀改變比能uf 。,P,x,y,z,x,y,z,解：,由已知可直接求得：,x,y,z,例810證明彈性模量E 、泊桑比 、剪切彈性模量G 之間的