截面的幾何性質解析

1、工程力學附錄 截面的幾何性質,軸向受拉壓桿橫截面上的應力：,受扭圓桿橫截面上的應力：,截面的幾何性質,反映截面形狀與尺寸的量,1 定義,1.靜矩（面積矩）,圖形對 y 軸的靜矩,靜矩的單位：m3，cm3，mm3,桿件的橫截面,圖形對 z 軸的靜矩,1 定義,2.慣性矩,圖形對 y 軸的慣性矩,慣性矩的單位：m4，cm4，mm4,圖形對 z 軸的慣性矩,1 定義,3.慣性積,圖形對 y、z 軸的慣性積,慣性積、極慣性矩的單位：m4，cm4，mm4,圖形對坐標原點的極慣性矩,4.極慣性矩,1 定義,3.慣性積,4.極慣性矩,1.靜矩（面積矩）,2.慣性矩,平面圖形對坐標原點的極慣性矩，等于該圖形對

2、兩直角坐標軸慣性矩的和,例： 試計算圖示三角形截面對z 軸的靜矩。,解：,解：,（dA=bdy）,例：試計算圖示矩形截面對于其對稱軸（即形心軸） z 和 y的Sz 、 Sy、 Iz 、 Iy 、 Iyz 、IP 。,例：試計算圖示矩形截面對于其對稱軸（即形心軸） z 和 y的Sz 、 Sy、 Iz 、 Iy 、 Iyz 、IP 。,解：,（dA=hdz）,解：,（dA=dzdy）,例：試計算圖示矩形截面對于其對稱軸（即形心軸） z 和 y的Sz 、 Sy、 Iz 、 Iy 、 Iyz 、IP 。,2 平面圖形的形心,均質等厚薄板重心,平面圖形的形心,平面圖形對某一坐標軸的靜矩，數(shù)值上等于平面圖

3、形的面積與平面圖形形心到該坐標軸的距離的乘積,靜矩可能為正、負或零,平面圖形對通過其形心的坐標軸的 靜矩為零； 或者說如果一個平面圖形對某坐標 軸的靜矩為零，那么該坐標軸通過 平面圖形的形心。,例：試確定圖示T型截面的形心位置。,解：zC=0，只需計算yC,將截面分為I、II兩個矩形，建立如圖所示坐標系。,兩矩形的面積和形心坐標如下：,于是：,3 慣性矩與慣性積的平行移軸公式,已知：平面圖形對形心軸的,求：平面圖形對新坐標軸的,同理,平面圖形對平行于形心軸的任意坐標軸的慣性矩，等于平面圖形對形心軸的慣性矩，加上平面圖形的面積乘以兩軸距離的平方,平面圖形對平行于形心軸的任意坐標軸的慣性積，等于平

4、面圖形對形心軸的慣性積，加上平面圖形的面積乘以平面圖形的形心在新坐標系的兩個坐標值,慣性矩和慣性積的平行移軸公式。,例：試計算圖示矩形截面對于z軸和 y軸 的Iy 、 Iz 、 Iyz 。,解：,（dA=bdy）,平行移軸公式,同理,4 慣性矩和慣性積的轉軸公式,已知：平面圖形對x、y軸的,求：平面圖形對新坐標軸的,同理,慣性矩和慣性積的轉軸公式。,5 截面的主慣性軸和主慣性矩, =0時, =90時,存在0，使得,此時的x、y軸稱為截面的主慣性軸，簡稱主軸； 截面對主軸的慣性矩稱為主慣性矩。,由,主軸,主慣性矩,注意：,2.對于平面內的任意一點，都可以找到一對主軸，求得相應主慣性矩；,1.主慣

5、性矩Ix0、Iy0是截面對通過同一點所有坐標軸的慣性矩中的極大值與極小值；,3.如果主軸通過截面的形心，稱為形心主軸；截面對形心主軸的慣性矩稱為形心主慣性矩。,例： 試確定圖示不等邊L形截面的形心主慣性軸的方向，并計算截面的形心主慣性矩。截面形心C的位置已示于圖中。,矩形的形心在參考坐標系xC,yC中的坐標為 a=15 mm, bI=20 mm 矩形的形心在參考坐標系中的坐標為 a =-25 mm, b=-35 mm,解：(1) 取與截面周邊平行的形心軸xC，yC作為參考軸。將截面分為，兩個矩形(如圖所示) A=1 200 mm2, A=700 mm2,(2) 利用平行移軸公式求截面的 , 和,由于通過矩形和各自形心而平行于xC ，yC的軸是它們各自的對稱軸，故上式在計算中每一矩形對于其一對相互垂直的形心軸的慣性積為零。,(3) 確定截面的形心主慣性軸 xC0，yC0 的方向,從所示慣性圓可見，2ao180,且為逆時針轉向，于是由