幾何的五大模型

1、幾何問題 -五大模型,風(fēng)子編輯,概念,1、等積變換模型,1）等底等高的兩個三角形面積相等 2）兩個三角形高相等，面積比等于它們的底之比 兩個三角形底相等，面積比等于它們的高之比 如圖1 S1：S2=a：b 3）夾在一組平行線之間的等積變形，如圖2 SACD= SBCD 反之，如果SACD= SBCD，則有直線AB/CD,S1,S2,a,b,A,B,C,D,圖1,圖2,概念,2、鳥頭定理（共角定理）模型,1）兩個三角形中有一個角相等或互補(bǔ)，這兩個三角形叫做共角三角形 2）共角三角形的面積比等于對應(yīng)交（相等或互補(bǔ)角）兩夾邊的乘積之比,A,B,C,D,E,A,B,C,D,E,如圖，在ABC中，D、E

2、分別是AB、AC上的點(diǎn)，或D是BA延長線上， E在AC上，則有SABC ： SADE=(ABAC)：(ADAE),思考：怎樣用等積變換模型來證明這個模型,A,B,C,D,E,概念,3、蝴蝶定理模型（任意四邊形中的比例關(guān)系）,1）不規(guī)則四邊形,S1,S2,S4,S3,O,A,B,C,D,a,b,S1：S2=S4：S3,AO：OC=(S1+S2)：(S3+S4),1）梯形,S1,S2,S4,S3,O,A,B,C,D,a,b,S1：S3=a2：b2,S1：S3：S2：S4=S3=a2：b2：ab：ab,S梯形的對應(yīng)份數(shù)為（a+b）2,概念,4、相似模型,A,B,C,D,E,金字塔模型,沙漏模型,F,

3、G,E,F,D,A,B,G,C,1）相似三角形線段關(guān)系 AD:AB=AE:AC=DE:BC=AF:AG 2）相似三角形面積關(guān)系 SADE ： SABC=AF2：AG2,概念：,A,B,C,G,D,E,F,SABG： SACG= SBGE： SCGE =BE:CE,SBGA： SBGC= SGAF： SGCF =AF:CF,SAGC： SBGC= SAGD： SBGD =AD:BD,5、燕尾定理模型,1）翅膀之比等于尾巴之比,2）翅膀面積之和：尾巴面積=翅骨：尾骨,（SABG+ SACG）： SBGC=AG:GE,3）,例題：等積變換,例題1：一個長方形分成4個不同的三角形，綠色三角形面積占長方

4、形 面積的15%，黃色三角形面積是21cm2。問：長方形的面積是 多少平方厘米？,紅,黃,綠,紅,分析：S黃+S綠=S長方形2（=寬長2） 黃色三角形面積21cm2，占長方形面積比例 50%-15%=35% 因此，長方形面積=2135%=60cm2,例題：等積變換,例題2：圖中ABCD是個直角梯形，以AD為一邊向外作長方形ADEF， 其面積為6.36平方厘米，連接BE交AD于P，再連接PC，則圖 中陰影部分的面積是多少平方厘米？,A,B,C,D,E,F,P,分析：,1、連接AE、BD，作兩條平行線,2、PD/BC ，根據(jù)等積變換模型 S PBD= S PCD AB/ED ,根據(jù)等積變換模型S

5、AEP= S PDB,3、根據(jù)如此等積變換，陰影部分面積與三角形ADE相等，即： S陰影=SADEF2=3.18,思考：幾何問題經(jīng)常要用到添加輔助線，這比較關(guān)鍵。,例題：一半模型,例題3：如圖ABFE和CDEF都是矩形，AB的長是4厘米，BC的長是3厘 米，那么圖中陰影部分的面積是多少平方厘米。,A,B,C,D,E,F,分析：陰影部分是一個個三角形，矩形CDEF中陰影 部分的三角形底邊長度為矩形的長，高與矩 形寬相等，根據(jù)面積公式可知S陰影=SEDCF2,思考：一半模型是什么意思？,例題：燕尾定理模型,例題4：如圖E在AD上，ADBC，AD=12cm，DE=3cm，求SABC是 SEBC的幾倍

6、？,E,A,B,C,D,分析：,翅膀,尾巴,根據(jù)燕尾定理模型，S翅膀：S尾巴=AE:ED,SABC= S翅膀+S尾巴,SEBC= S尾巴,SEBC SEBC= 123=4,例題5：如圖，A、B、C都是正方形邊的中點(diǎn)， COD比AOB大15平方厘米的面積， AOB的面積是多少平方厘米。,A,E,B,D,C,O,ABD 的高是CBD的一半，而底邊相同 SCOD-SAOB=SCBD -SABD= SABD =15cm2 SAOB= SABD 2=7.5cm2,分析：,例題：等積變換模型,例題4：圖中的E、F、G分別是正方形ABCD三條邊的三等分點(diǎn)，如果正 方形的邊長是12，那么陰影部分的面積是多少？

7、,A,B,C,D,E,F,G,H,分析：,從圖可知，存在等積等高，那試試等積變換模型,6,5,1,2,3,4,正方形的各條邊邊長相等，都為12，E、F、G為 三等分點(diǎn)，想想？可采用什么模型,怎么變換呢？先畫幾條符合該模型的輔助線,想想？HBE與HAB、 HBF與HBC、 HDG與HCD之間的比例關(guān)系,都存在1:3的關(guān)系,所以：S陰影是S正的三分之一，即S陰影=12123=48,例題：鳥頭（共角）模型,例題4：如圖，已知三角形ABC面積為1，延長至D，使BD=AB，延長BC 至E，使CE=2BC，延長至F，使AF=3AC，求三角形DEF的面積,A,B,C,D,E,F,分析：,1、想想？ACB與F

8、CE、 CAB與FAD、 ABC與DBC是什么關(guān)系,2、互補(bǔ)。在共角模型中，共角三角形的面 積比等于對應(yīng)交（相等或互補(bǔ)角）兩夾邊 的乘積之比,3、SABC： SFCE=BCCA：CEAF SFCE=8 SABC=8 同理可知： SFAD=6，SDBE=3 所以： SFDE=18,思考？共角模型可以用等積變換模型推導(dǎo)出來，請用等積變換模型試試 關(guān)鍵點(diǎn)：添加輔助線,例題：梯形蝴蝶定理模型,例題4：如圖，面積為12平方厘米的正方形ABCD中，E、F是DC邊上的 三等分點(diǎn)，求陰影部分的面積。,A,D,B,C,O,E,F,S1,S2,S4,S3,1、看下圖形，回憶下梯形蝴蝶定理模型,分析：,2、S2=S

9、4，S1：S3=a2：b2 S1：S3：S2：S4=S3=a2：b2：ab：ab,a,b,3、蝴蝶定理模型，把梯形肢解模塊化，我們 可以假設(shè)最小的三角形面積為1份。想想？其它各部分所占的份數(shù),4、 a：b=3:1，S2=S4=3份，S1=9份,5、 想想？正方形ABCD中，還有哪些沒有包塊進(jìn)去，及與份數(shù)之間的關(guān)系,6、SADE =S2+S3，S BCF =S4+S3 想想？為什么，用了什么模型,7、正方形ABCD被分成了24份 S陰影=S2+S4=62412=3cm2,例題：相似模型,例題4：如圖，長方形ABCD中，E為AD的中點(diǎn)，AF與BE、BD分別交于 G、H，OE垂直AD于E，交AF于O，已知AH=5cm，HF=3cm， 求AG,A,B,C,D,E,O,G,H,F,分析：,1、根據(jù)題目意思，是要找到線段間的關(guān)系， 而圖形中存在著多的相似三角形,2、我們先來看看圖中與AG、AH、HF相關(guān) 的相似圖形,3、共找到三對相關(guān)的相似圖形 AB:FD=AH:HF=5：3 OE:FD=1：2 AB：OE=10：3 AO=AF/2=4cm AG=41013=40/13（cm）,例題：,例題4：正六邊形A1A2A3A4A5A6的面積是2009平方厘