專題——中點(diǎn)的妙用(初三數(shù)學(xué))

1、方法專題:中點(diǎn)的妙用 聯(lián)想是一種非常重要的數(shù)學(xué)品質(zhì)。善于聯(lián)想，才能更好的尋求解決問(wèn)題的方法。同學(xué)們當(dāng)你遇到 中點(diǎn)時(shí)，你會(huì)產(chǎn)生哪些聯(lián)想呢？學(xué)習(xí)完這個(gè)專題后，能給你帶來(lái)一定的啟示。 看到中點(diǎn)該想到什么？ 1、等腰三角形中遇到底邊上的中點(diǎn)，常聯(lián)想“三線合一”的性質(zhì)； 2、直角三角形中遇到斜邊上的中點(diǎn)，常聯(lián)想“斜邊上的中線，等于斜邊的一半”； 3、三角形中遇到兩邊的中點(diǎn)，常聯(lián)想“三角形的中位線定理”； 4、兩條線段相等，為全等提供條件（遇到兩平行線所截得的線段的中點(diǎn)時(shí)，常聯(lián)想“八字型”全 等三角形）； 5、有中點(diǎn)時(shí)常構(gòu)造垂直平分線； 6、有中點(diǎn)時(shí)，常會(huì)出現(xiàn)面積的一半（中線平分三角形的面積）； 7、倍長(zhǎng)

2、中線 8、圓中遇到弦的中點(diǎn)，常聯(lián)想“垂徑定理” 中點(diǎn)輔助線模型中點(diǎn)輔助線模型 一、等腰三角形中遇到底邊上的中點(diǎn)，常聯(lián)想“三線合一”一、等腰三角形中遇到底邊上的中點(diǎn)，常聯(lián)想“三線合一” 的性質(zhì)的性質(zhì) 1、如圖1 所示，在ABC 中，AB=AC=5，BC=6，點(diǎn)M 為 BC 中點(diǎn)，MNAC 于點(diǎn) N，則 MN 等于（） A 二、直角三角形中遇到斜邊上的中點(diǎn)，常聯(lián)想“斜邊上的中線，等于二、直角三角形中遇到斜邊上的中點(diǎn)，常聯(lián)想“斜邊上的中線，等于 斜邊的一半”斜邊的一半” 2、如圖，在ABC 中，A=90,AC=AB,M、N 分別在 AC、 AB 上。 且 AN=BM.O 為斜邊 BC 的中點(diǎn).試判斷

3、OMN 的形狀， 并說(shuō) 明理由. 691216 BCD 5555 A M N B O C 3、 如圖， 正方形ABCD的邊長(zhǎng)為 2, 將長(zhǎng)為 2 的線段QF的兩端放在正方形相鄰的兩邊上同時(shí)滑動(dòng) 如 果點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)， 沿圖中所示方向按A B C D A滑動(dòng)到點(diǎn)A為止， 同時(shí)點(diǎn)F從點(diǎn)B出 發(fā)，沿圖中所示方向按B C D A B滑動(dòng)到點(diǎn)B為止，那么在這個(gè)過(guò)程中，線段QF的中 點(diǎn)M所經(jīng)過(guò)的路線圍成的圖形的面積為（） A. 2B. 4 C.D.1 A A Q Q MM B B D D 1 C C F F 第8題圖 三、三角形中遇到兩邊的中點(diǎn)，常聯(lián)想“三角形的中位線定理”三、三角形中遇到兩邊的中點(diǎn)，常聯(lián)

4、想“三角形的中位線定理” 4、（直接找線段的中點(diǎn)，應(yīng)用中位線定理） 如圖， 已知四邊形 ABCD 的對(duì)角線 AC 與 BD 相交于點(diǎn) O， 且 AC=BD， M、N 分別是 AB、CD 的中點(diǎn)，MN 分別交 BD、AC 于點(diǎn) E、F.你能說(shuō)出 OE 與 OF 的大小關(guān)系并加以證明嗎？ 5、（利用等腰三角形的三線合一找中點(diǎn)，應(yīng)用中位線定理） 如圖所示，在三角形 ABC 中，AD 是三角形 ABCBAC 的角平 分線，BDAD，點(diǎn) D 是垂足，點(diǎn)E 是邊 BC 的中點(diǎn)，如果 AB=6,AC=14，求 DE 的長(zhǎng) D A E F N M B 圖2-1 C 6、（利用平行四邊形對(duì)角線的交點(diǎn)找中點(diǎn)，應(yīng)用

5、中位線定理） 如圖所示，ABCD，BCAD ，DEBE ，DF=EF，甲從 B 出發(fā)， 沿著 BA、AD、DF 的方向運(yùn)動(dòng)，乙B 出發(fā)，沿著B(niǎo)C、CE、EF 的方向 運(yùn)動(dòng)，如果兩人的速度是相同的，且同時(shí)從 B 出發(fā)，則誰(shuí)先到達(dá) F 點(diǎn)？ 7、（綜合使用斜邊中線及中位線性質(zhì)，證明相等關(guān)系問(wèn)題） 如圖，等腰梯形 ABCD 中，CDAB，對(duì)角線 AC、BD 相交于點(diǎn) O， D S C ACD 60 ，點(diǎn) S、P、Q 分別是 DO、AO、BC 的中點(diǎn). O 求證：SPQ 是等邊三角形。 P A 圖6-1 A A D D 四、兩條線段相等，為全等提供條件（遇到兩平行線所截得的線段的中點(diǎn)時(shí)，四、兩條線段相

6、等，為全等提供條件（遇到兩平行線所截得的線段的中點(diǎn)時(shí)， 常聯(lián)想“八字型”全等三角形）常聯(lián)想“八字型”全等三角形） 8、如圖：梯形 ABCD 中，A=90,AD/BC,AD=1,BC=2,CD=3, E E E 為 AB 中點(diǎn)，求證：DEEC B B Q B C C 2 9、如圖甲，在正方形 ABCD 和正方形 CGEF（CGBC）中，點(diǎn) B、C、G 在同一直線上，M 是 AE 的中點(diǎn)，（1）探究線段 MD、MF 的位置及數(shù)量關(guān)系，并證明； （2）將圖甲中的正方形 CGEF 繞點(diǎn) C 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使正方形CGEF 的對(duì)角線 CE 恰好與正方形 ABCD 的邊 BC 在同一條直線上，原問(wèn)題中的其他

7、條件不變。（1）中得到的兩個(gè)結(jié)論是否發(fā)生變化？寫(xiě)出你 的猜想并加以證明 FF E DA M A M D BE C B CG G A 圖甲 圖乙 五、有中點(diǎn)時(shí)常構(gòu)造垂直平分線五、有中點(diǎn)時(shí)常構(gòu)造垂直平分線 1 10、 如圖所示， 在ABC 中， AD 是 BC 邊上中線， C=2B.AC= 2 BC。 求證：ADC 為等邊三角形。 六、有中點(diǎn)時(shí)，常會(huì)出現(xiàn)面積的一半（中線平分三角形的面積）六、有中點(diǎn)時(shí)，常會(huì)出現(xiàn)面積的一半（中線平分三角形的面積） 11、（1）探索：已知ABC的面積為a， 如圖 1，延長(zhǎng)ABC的邊 BC 到點(diǎn) D，使 CD=BC，連接 DA，若 BD C ACD的面積為S 1 ，則S1

8、=（用含a的代數(shù)式表示） 如圖2， 延長(zhǎng)ABC的邊BC到點(diǎn)D， 延長(zhǎng)邊CA到點(diǎn)E， 使CD=BC， AE=CA，連接 DE，若DEC的面積為S 2 ，則S 2 =（用 含a的代數(shù)式表示） 在圖2的基礎(chǔ)上延長(zhǎng)AB到點(diǎn)F,使BF=AB,連接FD， FE,得到DEF （如圖 3），若陰影部分的面積為S 3 ，S 3 =（用含a的代數(shù)式表示） 發(fā)現(xiàn)：像上面那樣，將ABC各邊均順次延長(zhǎng)一倍，連接所得端點(diǎn)，得到DEF（如圖 4），此時(shí)， 我們稱ABC向外擴(kuò)展了一次。 可以發(fā)現(xiàn)， 擴(kuò)展一次后得到的DEF的面積是原來(lái)ABC面積的倍 應(yīng)用：如圖5，若ABC面積為 1，第一次操作：分別延長(zhǎng)AB，BC，CA至點(diǎn)A1

9、，B1，C1，使得A1B=AB， B 1C= BC，C1A=CA，順次連結(jié) A 1，B1，C1，得到A1B1C1. 第二次操作：分別延長(zhǎng) A 1B1，B1C1，C1A1 至點(diǎn)A2， B 2，C2，使 A 2B1= A1B1，B2C1= B1C1，C2A1= C1A1，順次連結(jié) A 2，B2，C2，得到A2B2C2，第三次操作 ，按 此規(guī)律，要使得到的三角形的面積超過(guò)2010，最少要經(jīng)過(guò)次操作. 3 12、如圖所示，已知梯形ABCD，ADBC，點(diǎn) E 是 CD 的中點(diǎn)，連接 AE 、 BE， 求證：SABE= 13、如圖，M 是 中陰影部分面積與 ABCD 中 AB 邊的中點(diǎn)。CM 交 BD 于

10、點(diǎn) E,則圖 ABCD 面積之比為 1 S 四邊形ABCD。 2 D E C 14、如圖所示，點(diǎn) E、F 分別是矩形 ABCD 的邊 AB、BC 的中點(diǎn)，連 AF、 CE 交于點(diǎn) G， 則 AMB S 四邊形A G C D S 矩形A B C D 等于： A、 B、 C、 D、 5 6 4 5 3 4 2 3 七、倍長(zhǎng)中線七、倍長(zhǎng)中線 15、如圖，ABC 中，D 為 BC 中點(diǎn)，AB=5，AD=6，AC=13。求證：ABAD 16、如圖，點(diǎn) D、E 三等分ABC 的 BC 邊，求證：AB+ACAD+AE 17、如圖，D 為線段 AB 的中點(diǎn)，在 AB 上取異于 D 的點(diǎn) C，分別 以 AC、B

11、C 為斜邊在 AB 同側(cè)作等腰直角三角形 ACE 與 BCF，連 結(jié) DE、DF、EF， 求證：DEF 為等腰直角三角形。 八、圓中遇到弦的中點(diǎn)，常聯(lián)想“垂徑定理”八、圓中遇到弦的中點(diǎn)，常聯(lián)想“垂徑定理” 18、半徑是 5 cm 的圓中，圓心到 8 cm 長(zhǎng)的弦的距離是_ 4 19、半徑為5cm的圓 O 中有一點(diǎn) P，OP=4，則過(guò) P 的最短弦長(zhǎng)_， 最長(zhǎng)弦是_， 20、如圖，在圓 O 中，AB、AC 為互相垂直且相等的兩條弦， ODAB，OEAC，垂足分別為 D、E， 若 AC=2cm，則圓 O 的半徑為_(kāi)cm。 A O C B D 21、如圖，在O中，直徑AB和弦CD的長(zhǎng)分別為 10 c

12、m 和 8 cm，則A、B兩點(diǎn)到直線CD的距離之和 是_. 22、如圖，O 的直徑 AB 和弦 CD 相交于 E，若 AE2cm，BE6cm，CEA30 ， 求：CD 的長(zhǎng)； 23、某市新建的滴水湖是圓形人工湖。為測(cè)量該湖的半徑，小杰和小麗沿湖邊選取A、B、C 三根木柱， 使得 A、B 之間的距離與 A、C 之間的距離相等，并測(cè)得BC 長(zhǎng)為 240 米，A 到 BC 的距離為 5 米，如圖 5 所示。請(qǐng)你幫他們求出滴水湖的半徑。 0 B A C 5 倍長(zhǎng)中線： 1（2011平谷二模）24. 已知：如圖，正方形ABCD 中，E 為對(duì)角線 BD 上一點(diǎn)， 過(guò) E 點(diǎn)作 EFBD 交 BC 于 F，

13、連接 DF，G 為 DF 中點(diǎn)，連接 EG，CG （1）求證：EG=CG； （2）將圖中BEF 繞 B 點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 45，如圖所示，取DF 中點(diǎn) G，連接EG，CG問(wèn)（1）中 的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由 （3）將圖中BEF 繞 B 點(diǎn)旋轉(zhuǎn)任意角度，如圖所示，再連接相應(yīng)的線段，問(wèn)（1）中的結(jié)論是否 仍然成立？通過(guò)觀察你還能得出什么結(jié)論？（均不要求證明） 遇到中點(diǎn)引發(fā)六聯(lián)想遇到中點(diǎn)引發(fā)六聯(lián)想 1 1、等腰三角形中遇到底邊上的中點(diǎn)，常聯(lián)想“三線合一”的性質(zhì)、等腰三角形中遇到底邊上的中點(diǎn)，常聯(lián)想“三線合一”的性質(zhì) 例 1、如圖1 所示，在ABC 中，AB=AC=5，

14、BC=6，點(diǎn) M 為 BC 中 點(diǎn)，MNAC 于點(diǎn) N，則 MN 等于【】 69 BC12D16 555 5 分析：由 AB=AC=5，所以，三角形 ABC 是等腰三角形，且邊BC 是底邊；由點(diǎn) M 為 BC 中點(diǎn)，如果連 接 AM，則根據(jù)等腰三角形的三線合一，得到AM 是底邊 BC 上的高線，這樣就能求出三角形 ABC 的面積， 而三角形 AMC 的面積是等腰三角形面積的一半，在三角形 AMC 中利用三角形的面積公式，求可以求得 MN 的長(zhǎng)。 A 解: 連接 AM， AB=AC=5 , 點(diǎn) M 為 BC 中點(diǎn) AMBC， 1 BC=3, AM=AC2CM 25232 =4， 2 111 S

15、ABC= BCAM=64=12 , S ACM= S ABC =6； 222 112 6=ACMN， MN=.所以，選擇 C。 25 在直角三角形 AMC 中，AC=5，CM= 2 2、直角三角形中遇到斜邊上的中點(diǎn)，常聯(lián)想“斜邊上的中線，等于斜邊的一半”、直角三角形中遇到斜邊上的中點(diǎn)，常聯(lián)想“斜邊上的中線，等于斜邊的一半” 例 2、在三角形ABC 中，AD 是三角形的高，點(diǎn)D 是垂足，點(diǎn)E、F、G 分別是 BC、AB、AC 的中點(diǎn)， 求證：四邊形 EFGD 是等腰梯形。 6 分析：由點(diǎn) E、F、G 分別是 BC、AB、AC 的中點(diǎn)，根據(jù)三角形中位線定理，知道 FGBC,FEAC， FE= 11

16、 AC，由直角三角形ADC，DG 是斜邊上的中線，因此，DG=AC，所以，EF=DG，這樣，我們就可以 22 證明： 點(diǎn) E、F、G 分別是 BC、AB、AC 的中點(diǎn)， FGBC， FEAC，F(xiàn)E= AD 是三角形的高， ADC 是直角三角形， DG 是斜邊上的中線，DG= 說(shuō)明梯形 EFGD 是等腰梯形了。 1 AC， 2 1 AC，DG=EF,梯形 EFGD 是等腰梯形。 2 3 3、三角形中遇到兩邊的中點(diǎn)，常聯(lián)想“三角形的中位線定理”、三角形中遇到兩邊的中點(diǎn)，常聯(lián)想“三角形的中位線定理” 例 1求證：順次連結(jié)四邊形四邊的中點(diǎn)，所得的四邊形是平行四邊形。 已知：如圖 4 所示，在四邊形 A

17、BCD 中，E、F、G、H 分 別是 AB、BC、CD、DA 的中點(diǎn)。求證：四邊形EFGH 是平行 四邊形。 分析：由 E、F、G、H 分別是 AB、BC、CD、DA 的中點(diǎn)， 我們就自然聯(lián)想到三角形的中位線定理，但是在這里，我 們發(fā)現(xiàn)缺少三角形， 因此， 我們只要連接四邊形的一條對(duì)角線， 就出現(xiàn)我們需要的三角形了。 證明：連接 AC， E、F、G、H 分別是 AB、BC、CD、DA 的中點(diǎn)。 EFAC ，EF = 11 AC，GHAC，GH=AC， EFGH，EF=GH， 22 四邊形 EFGH 是平行四邊形（一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）。 4 4、遇到兩平行線所截得的線段的中點(diǎn)

18、時(shí)，常聯(lián)想“八字型”全等三角形、遇到兩平行線所截得的線段的中點(diǎn)時(shí)，常聯(lián)想“八字型”全等三角形 例 4、如圖 6 所示，已知梯形 ABCD，ADBC，點(diǎn) E 是 CD 的中點(diǎn)，連接 AE 、 BE。求證：SABE= ABCD。 1 S 四邊形四邊形 2 分析：如果直接證明，是不容易，聯(lián)想到ADBC，點(diǎn)E 是 CD 的中點(diǎn)，我們延長(zhǎng) AE，與 BC 的延長(zhǎng)線交于點(diǎn) F，這樣，我們就構(gòu)造出一對(duì)八字型的三角形， 并且這對(duì)三角形是全等的。這樣，就把三角形ADE 遷移到三角形 ECF 的位置上，問(wèn)題就好解決了。 證明：如圖 7 所示，延長(zhǎng) AE，與 BC 的延長(zhǎng)線交于點(diǎn) F， ADBC， ADE=FCE，

19、DAE=CFE， 又 點(diǎn) E 是 CD 的中點(diǎn)， DE=CE， ADEFCE， AE=EF， SABE= S BEF， SBEF= SBEC+ SECF= SBEC+ SADE， SABE= SBEC+ SADE， SABE+ S BEC+ SADE= S四邊形ABCD， 2 SABE= S 四邊形ABCD， SABE= 1 S 四邊形 2 7 ABCD。 5 5、圓中遇到弦的中點(diǎn)，常聯(lián)想“垂徑定理”、圓中遇到弦的中點(diǎn)，常聯(lián)想“垂徑定理” 例 5、如圖 8 所示，AB是O 的弦，點(diǎn)C是 AB 的中點(diǎn)，若AB 8cm，OC 3cm，則 O 的半徑為cm 分析：由點(diǎn)C 是 AB 的中點(diǎn)，聯(lián)想到圓的

20、垂徑定理，知道OCAB，這樣在直角三角形AOC 中 根據(jù)勾股定理，就可以求得圓的半徑。 解： 點(diǎn) C 是 AB 的中點(diǎn)， OCAB， AB=8, AC=4 在直角三角形 AOC 中，AC=4,OC=3, OA= 的半徑是 5cm。 6 6、遇到中點(diǎn)，聯(lián)想共邊等高的兩個(gè)三角形面積相等、遇到中點(diǎn)，聯(lián)想共邊等高的兩個(gè)三角形面積相等 例 6、如圖 9 所示，點(diǎn) E、F 分別是矩形 ABCD 的邊 AB、BC 的 中點(diǎn)，連 AF、CE 交于點(diǎn) G，則 AC2OC23242=5(cm)，因此，圓 S 四邊形AGCD S 矩形ABCD 等于：【】 34 A、 5 B、 C、 D、 2 4563 分析：如果兩

21、個(gè)三角形有一個(gè)公共的高頂點(diǎn)，有一邊在一條直線上，并且兩個(gè)三角形的這個(gè)公共頂 點(diǎn)，是這條共邊線段的中點(diǎn)，那么，這兩個(gè)三角形的面積相等。 解：如圖10 所示，連接BG， E 是線段 AB 的中點(diǎn)， SAEG= SBEG=x，SBGF= SGCF=y， 設(shè) AB=2a，BC=2b， S 矩形A B C =2a2b=4ab， D 根據(jù)題意，得：2 y +x= 11ab BCBE=ab，2x+y=BABF=ab， 2x+y=2y+x，即x=y=， 223 4x= 選 D。 S 四邊形AGCD 24ab12 = S 矩形ABCD ， S 四邊形AGCD= S 矩形ABCD 等于，所以， 3333S 矩形A

22、BCD 幾何必考輔助線之中點(diǎn)專題 專題性總結(jié)專題性總結(jié) 中點(diǎn)專題 角平分線專題 8 截長(zhǎng)補(bǔ)短專題 中點(diǎn)專題看到中點(diǎn)該想到什么？中點(diǎn)專題看到中點(diǎn)該想到什么？ 1兩條線段相等，為全等提供條件 2中線平分三角形的面積 3倍長(zhǎng)中線 4中位線 5斜邊上的中線是斜邊的一半 9 【例 1】(2008 北京)如圖，在菱形ABCD 和菱形 BEFG 中，點(diǎn)A、B、E 在同一條直線上，P 是線段 DF 的中點(diǎn)，連結(jié) PGPC。若ABCBEF60， 探究 PG 與 PC 的位置關(guān)系及 PG 的值。 PC 將上圖中的菱形 BEFG 繞點(diǎn) B 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)， 使菱形 BEFG 的對(duì)角線 BF 恰好與菱形 ABCD 的 邊

23、在同一條直線上，原問(wèn)題中的其他條件不變(如圖)。你在中得到的兩個(gè)結(jié)論是否發(fā)生變 化？寫(xiě)出你的猜想并加以證明。 【例 2】如圖所示，在ABC 中，ACAB，M 為 BC 的中點(diǎn)，AD 是BAC 的平分線，若 CFAD 且 交AD的延長(zhǎng)線于F， 1 求證：MF(ACAB)。 2 10 【例 3】如圖所示，在ABC 中，AD 是BAC 的平分線，M 是 BC 的中點(diǎn)，MEAD 且交 AC 的延長(zhǎng) 線于E，CD2CE， 求證：ACB2B。 中點(diǎn)專題看到中點(diǎn)該想到什么？中點(diǎn)專題看到中點(diǎn)該想到什么？ 1兩條線段相等，為全等提供條件 2中線平分三角形的面積 3倍長(zhǎng)中線 4中位線 5斜邊上的中線是斜邊的一半

24、中點(diǎn)問(wèn)題探究（1） 1、已知如圖，在ABC 中，ABAC，AD 平分BAC，BE 垂直 AD 的延長(zhǎng)線于 E，M 是 BC 的中點(diǎn)， 求證：ME= 1 (AB AC) 2 A M B DC E 2、已知如圖，ABC 的中線 BD、CE 相交于點(diǎn) O，F(xiàn)、G 分別是 OB、OC 的中點(diǎn)，（1）判斷 EF 和 DG 有何關(guān)系并證明；（2）求證：SOGD 1 S ABC 。 12 E 11 A O B F G D C 3、已知如圖，在四邊形ABCD 中，EF 分別為 AB、CD 的中點(diǎn)； （1）求證：EF 1 (ACBD) 2 （2）四邊形 ABCD 的周長(zhǎng)不小于 EF 的四倍 （3）EF 交 BD

25、、AC 分別于 P、Q，若 AC=BD，求證：OPQ 為等腰三角形。 D A O F EQ P C B 4、在梯形 ABCD 中，ADBC，AB=AD+BC，E 為 CD 的中點(diǎn)，求證：AEBE。 AD E C B 5、如圖，已知 AD 為ABC 的角平分線，ABAC，在 AC 上截取 CE=AB，M、N 分別為 BC、AE 的中點(diǎn)。 求證：MNAD A N E C B D M 6、如圖，以ABC 的 AB、AC 邊為斜邊向形外作 RtABD，和 RtACE，且使ABD=ACE=， M 是 BC 的中點(diǎn)，（1）求證：DM=ME；（2）求DME 的度數(shù)。 A 12 D E B C M 7、如圖，

26、M 是ABC 的邊 BC 的中點(diǎn)，AN 平分BAC，BNAN 于點(diǎn) N，且 AB=10，BC=15，MN=3， 求ABC 的周長(zhǎng)。 A N C B M 中點(diǎn)問(wèn)題探究（2） 8、如圖，平行四邊形ABCD 中，對(duì)角線AC、BD 相交于點(diǎn) O，BD=2AD，E、F、G 分別是 OC、OD、 AB 的中點(diǎn)。 求證：（1）BEAC（2）EG=EF A D F O G E B C 9、如圖，在ABC 中，AB=AC，延長(zhǎng) AB 到 D，使得 BD=AB，E 為 AB 中點(diǎn)，連接 CE、CD 求證： CD=2EC。 A E BC D 10、點(diǎn) O 是ABC 所在平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)OB、OC，并把 AB、OB

27、、OC、CA 的中點(diǎn) D、E、F、G 順次連結(jié)起來(lái)，設(shè) DEFG 能構(gòu)成四邊形。 （1）如圖，當(dāng)點(diǎn) O 在ABC 內(nèi)時(shí)，求證：四邊形DEFG 是平行四邊形； （2）當(dāng) O 點(diǎn)移動(dòng)到ABC 外時(shí)，（1）的結(jié)論是否成立？畫(huà)出圖形，說(shuō)明理由； （3）若四邊形 DEFG 是矩形，則點(diǎn) O 所在的位置滿足什么條件？試說(shuō)明理由。 A DG O 13 E B F C 11、如圖，在梯形 ABCD 中，ADBC，AB=AD=DC，C=60，AEBD 于點(diǎn) E，F(xiàn) 是 CD 的中點(diǎn)，DG 是 梯形的高。 （1）求證：四邊形 AEFD 是平行四邊形； （2）設(shè) AE=x，四邊形 DEFG 的面積為 y，求 y 關(guān)

28、于 x 的函數(shù)關(guān)系式。 AD EF C B G 12、（1）如圖 1，已知正方形ABCD 和正方形 CGEF（CGBC），B、C、G 在同一條直線上，M 為線段 AE 的中點(diǎn)，探究：線段 MD、MF 的關(guān)系。 （2）若將正方形 CGEF 繞點(diǎn) C 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 45，使得正方形 CGEF 的對(duì)角線 CE 在正方形 ABCD 的邊 BC 的延長(zhǎng)線上，M 為 AE 的中點(diǎn)，試問(wèn)：（1）中探究的結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，說(shuō)明 理由。 FE F M D A A D M BE C B G C G 圖 1圖 2 13、已知：在正方形 ABCD 中，對(duì)角線 AC、BD 交于 O，AF 為BAC

29、的平分線，交 BD 于 E，BC 于 F 求證：OE=FC 14 20122012 中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 5 5 圖形的中點(diǎn)問(wèn)題圖形的中點(diǎn)問(wèn)題 一. 知識(shí)要點(diǎn)： 線段的中點(diǎn)是幾何圖形中的一個(gè)特殊點(diǎn)，與中點(diǎn)有關(guān)的問(wèn)題很多，添加適當(dāng)?shù)妮o助線、恰當(dāng)?shù)乩?用中點(diǎn)是處理中點(diǎn)問(wèn)題的關(guān)鍵。 涉及中點(diǎn)問(wèn)題的幾何問(wèn)題，一般常用下列定理或方法： (1)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半; (2)三角形中位線定理； (3)等腰三角形三線合一的性質(zhì)； (4)倍長(zhǎng)中線，構(gòu)造全等三角形（或平行四邊形）； (5)平行四邊形的性質(zhì)與判定. 二.例題精選 1、若一點(diǎn)是直角三角形斜邊的中點(diǎn)或等腰三形底邊的中點(diǎn)，則常

30、過(guò)中點(diǎn)作中線，應(yīng)用“直角三角形斜 邊上的中線等于斜邊的一半”性質(zhì)或“等腰三角形三線合一”的性質(zhì)。 例 1.如圖，已知ABC 中，B =90，AB=BC,D 在 AB 上,E 在 BC 上，BD=CE , M 是 AC 的中點(diǎn)，求證：DEM 是等腰直角三角形. 提示：連結(jié) BM,證明 BDM CEM,得 DM=ME，DMB=EMC, 則DME= , 得 MDM 為等腰直角三角形 2、三角形中遇到兩邊的中點(diǎn)，常應(yīng)用“三角形的中位線定理”,若有一點(diǎn)是三 角 形 一 邊 的 中 點(diǎn) 或 梯 形 一 腰 的 中 點(diǎn) ， 則 常 過(guò) 中 點(diǎn) 作 中 位 線 。 例 2.如圖，在四邊形 ABCD 中，ADB

31、C，M、N 分別是 AB、CD 的中點(diǎn)，AD、BC 的延長(zhǎng)線分別交 MN 的延 長(zhǎng)線于 E、F 求證：DENF 15 提示：連結(jié) AC，作 AC 中點(diǎn) G，連結(jié) MG，NG。則 MG=NG，MGBC，NGAD。MGNF,GNM= DEN,MGN=GNM.DENF 3、若有三角形的中線或過(guò)中點(diǎn)的線段， 則通常加倍延長(zhǎng)中線或過(guò)中點(diǎn)的線段， 以構(gòu)造兩個(gè)三角形全等。 例 3.已知：如圖 2，AD 為ABC 的中線，BE 交 AC 于 E，交 AD 于 F，且 AE=EF，求證：AC=BF 提示：延長(zhǎng) AD 至 G，使 DG=AD，連結(jié) BG，則 BDG CDA，AC=BG=BF 4、遇到兩平行線所截得

32、的線段的中點(diǎn)時(shí)，常聯(lián)想或構(gòu)造“X 字型”全等三角形. 例 4.如圖，正方形ABCD和正方形CGEF的邊長(zhǎng)分別是 2 和 3，且點(diǎn) B，C，G在同一直線上，M是線段AE的中點(diǎn)，連結(jié)MF，則MF的長(zhǎng)為 提示：延長(zhǎng) AD、FM 交于點(diǎn) H，則 AH=EF=3，DH=1=DF， FH= MF= 5、有關(guān)面積的問(wèn)題中遇到中點(diǎn)，常用“等底等高的兩個(gè)三角形面積相等”的性質(zhì)。 例 5.如圖所示，點(diǎn) E、F 分別是矩形 ABCD 的邊 AB、BC 的中點(diǎn)，連 AF、CE 交于 點(diǎn) G，則=_ 提示：連接 BG， E 是線段 AB 的中點(diǎn)， SAEG= SBEG=x，SBGF= SGCF=y， 16 設(shè) AB=2

33、a，BC=2b，=2a2b=4ab， 根據(jù)題意，得：2 y +x=BCBE=ab，2x+y=BABF=ab，2x+y=2y+x，即 x=y=，S 四邊形 AGCD=4ab-4x = 等于， 三.能力訓(xùn)練 1.已知AD是ABC的角平分線， AB10，AC6，CNAD于N， 且M是BC的中點(diǎn).則MN的長(zhǎng)為_(kāi). 2.順次連結(jié)四邊形 ABCD 各邊中點(diǎn)得四邊形 MNPQ，給出以下 6 個(gè)命題： 若所得四邊形 MNPQ 為矩形，則原四邊形ABCD 為菱形； 若所得四邊形 MNPQ 為菱形，則原四邊形ABCD 為矩形； 若所得四邊形 MNPQ 為矩形，則 ACBD； 若所得四邊形 MNPQ 為菱形，則 A

34、C=BD； 若所得四邊形 MNPQ 為矩形，則BAD=90； 若所得四邊形 MNPQ 為菱形，則 AB=AD 以上命題中，正確的是() ABCD. 3.如圖，在ABC 中，DC=4，BC 邊上的中線 AD=2，AB+AC=3+，則 SABC等于() ABCD 4. 第 3 題 如圖，在ABCD中， BC=2AB，CEAB于E，F(xiàn)為AD的中點(diǎn),AEF=54，則B=. 5.ABC 中，AB=7,AC=3,則中線 AD 的取值范圍是_ 17 6.如圖，已知ABC 中，AB=5，AC=3，BC 上的中線 AD=2，求 BC 的長(zhǎng). 7.如圖，已知ABC 中，AD 是高，CE 是中線，DC=BE，DGC

35、E，G 為垂足求 證：(1)G 是 CE 的中點(diǎn)；(2)B=2BCE 8.在梯形 ABCD 中，ABCD，A=90，AB=2，BC=3，CD=1，E 是 AD 中點(diǎn) 請(qǐng)判斷 EC 與 EB 的位置關(guān)系，并寫(xiě)出推理過(guò)程。 18 9.如圖,在 ABC 中,ABC=2C,ADBC 于 D,E 是 AC 中點(diǎn),ED 的延長(zhǎng)線與AB 的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F, 求證:BF=BD 10. 如圖, ABC 中，角平分線 BE 與 BC 邊上的中線 AD 互相垂直,并且 BE=4，AD=6,求 AB 的長(zhǎng) 四.思維拓展 11.如圖，四邊形ABCD 中，E 為 BC 的中點(diǎn)，AE 與 BD 交于 F，且F 是 BD 的

36、 中點(diǎn)，O 是 AC，BD 的交點(diǎn)，AF=2EF，AOD 的面積是 3cm ，求四邊形 ABCD 的面積 2 19 12. 0 在圖 1，圖 2 中，ABC 和DEC 都是等腰直角三角形。ACB=DCE=90 ，F(xiàn) 是 DE 的中點(diǎn)，H 是 AE 的中點(diǎn)，G 是 BD 的中點(diǎn). (1)如圖 1，點(diǎn) D,E 分別在 AC,BC 的延長(zhǎng)線上，求證： (2)將圖 1 中的 FGH 是等腰直角三角形. FGH 還是等腰直角三角形嗎？若是,給DEC 繞點(diǎn) C 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)銳角，得到圖2， 出證明;若不是請(qǐng)說(shuō)明理由. 13. 如圖 1.在四邊形 ABCD 中,AB=CD,E、F 分別是 BC、AD 的中

37、點(diǎn)，連接 EF 并延長(zhǎng)，分別與 BA、CD 的 延長(zhǎng)線交于點(diǎn) M、N,則BME=CNE(提示：參見(jiàn)例 2). 問(wèn)題一：如圖2，在四邊形ADBC 中，AB 與 CD 相交于點(diǎn) O,AB=CD,E、F 分別是 BC、AD 的中點(diǎn)，連接EF, 分別交 DC、AB 于 M、N，判斷 問(wèn)題二：如圖 3，在 OMN 的形狀，請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)論。 ABC 中，ACAB,D 點(diǎn)在 AC 上，AB=CD,E、F 分別是 BC、AD 的中點(diǎn)，連接 EF 并延 ,連接 GD,判斷AGD 的形狀并證明.長(zhǎng)，與 BA 的延長(zhǎng)線交于點(diǎn) G,若EFC= 14. 如圖，正方形 ABCD 的邊長(zhǎng)是 2，M 是 AD 的中點(diǎn),點(diǎn) E

38、 從點(diǎn) A 出發(fā)，沿 AB 運(yùn)動(dòng)到點(diǎn) B 停止，連接 EM 并延長(zhǎng)交射線 CD 于點(diǎn) F，過(guò) M 作 EF 的垂線交射線 BC 于點(diǎn) G，連結(jié) EG、FG。 （1）設(shè) AE=時(shí)，EGF 的面積為,求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式,并寫(xiě)出自變量的取值范圍； 20 （2）P 是 MG 的中點(diǎn)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P 的運(yùn)動(dòng)路線的長(zhǎng)。 15. 如圖 1，在等腰梯形 （1）求點(diǎn) （2）點(diǎn) 到 為線段 ，連結(jié) ， 的距離； 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò) ，設(shè). 的形狀是否發(fā)生改變？若不變，求出的周長(zhǎng)； 作交于點(diǎn)，過(guò)作交折線 中， . ，是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn) 于點(diǎn) 當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)（如圖 2）， 若改變，請(qǐng)說(shuō)明理由； 當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)（如圖

39、 3），是否存在點(diǎn)，使為等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出所 有滿足要求的的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由. 21 答案： 1.22.B3. D4.725.2AD5 6.延長(zhǎng) AD 到 E，使 DE=AD，連結(jié) BE，AE=2AD=22=4. 在 ACD 和 EBD 中， AD=ED，ADC=EDB，CD=BD， ACD EBD.AC=BE，BE=AC=3. 22222 在 ABE 中，AE +BE =4 +3 =25=AB ，E=90. BD=.BC=2BD=2 7.(1)連接 DE，則在 RtABD 中，DE 是斜邊上的中線， DE=BE=DCDGECG 是 CE 的中點(diǎn) (2） DE=BEB=EDB

40、,EDB=ECD+CED=2ECD B=2BCE 8.延長(zhǎng) CE 交 BA 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) G E 是 AD 中點(diǎn)，AE=ED， ABCD，CDE=GAE，DCE=AGE， CEDGEA，CE=GE，AG=DC， GB=BC=3，EBEC 9.E 是 AC 中點(diǎn), ADBCDE=ECC=EDC=BDF ABC=2C=2BDF,BDF=BFD,BF=BD 10 .作 DH/BE，交 AC 于點(diǎn) H，DH=1/2BE=2，BE 平分ABC，ADBEAF=FD=3 BE/DHFE=1/2DH=1BF=3,AB= 11.四邊形 AFCD 是平行四邊形，所以四邊形AFCD 的面積是 12 cm2。 三角形

41、 FCD 的面積是 6 cm2。 F 是 BD 的中點(diǎn)，F(xiàn)BC 的面積=DFC 的面積=6 cm2。 E 為 BC 中點(diǎn)，BEF 的面積=BCF 面積的一半=3 cm2。 又AF=2EF，BFA 的面積=BEF 的 2 倍=6 cm2。 四邊形 ABCD 面積= 24 cm2 12.（1）FHAD且FHAD/2，F(xiàn)GBE且FG FGFH且FG FGH 是等腰直角三角形 （2）連接AD、 易證得ACDBCE，ADBE 且 ADBE， 可知FHAD且FHAD/2，F(xiàn)GBE且FG FGFH且FG FGH 是等腰直角三角形 13.問(wèn)題一：OM=ON 問(wèn)題二:AGD 是直角三角形 22 BE/2 FH

42、BE BE/2 FH 證明：如圖連接 BD，取 BD 的中點(diǎn) H，連接 HF、HE， F 是 AD 的中點(diǎn)，HFAB，HF=AB/2，1=3 同理，HECD，HE=CD/2， 2=EFC AB=CDHF=HE，1=2 EFC=60，3=EFC=AFG=60， AGF 是等邊三角形 AF=FD，GF=FD，F(xiàn)GD=FDG=30 AGD=90即AGD 是直角三角形 23 、14 15解:（1）如圖 1，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn) 在 為的中點(diǎn)， 中， 即點(diǎn)到的距離為 在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)， 作于， ， （2）當(dāng)點(diǎn) 同理 如圖 2，過(guò)點(diǎn) 的形狀不發(fā)生改變 則 24 在中， 的周長(zhǎng)= 當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的形狀發(fā)生改變，但

43、恒為等邊三角形 當(dāng)時(shí)，如圖 3，作于，則 類似， 是等邊三角形， 此時(shí)， 時(shí)，如圖 4，這時(shí) 此時(shí)， 當(dāng)時(shí)，如圖 5， 則又 因此點(diǎn)與重合，為直角三角形 此時(shí)， 綜上所述，當(dāng)或 4 或時(shí)，為等腰三角形 25 當(dāng) 一一. .單選題單選題( (本大題共本大題共 8 8 小題，小題， 共共 8080 分分) ) 1.( (本小題本小題 1010 分分) ) 如圖，在平行四邊形 ABCD 中，E 為 AB 的中點(diǎn)，F(xiàn) 為 AD 上一點(diǎn)，EF 交 AC于G，AF=2cm， DF=4cm，AG=3cm，則AC的長(zhǎng)為() A. 9cm B. 14cm C. 15cm D. 18cm 核心考點(diǎn): 平行四邊形的

44、性質(zhì)相似三角形的判定與性質(zhì)類倍長(zhǎng)中線 2.( (本小題本小題 1010 分分) ) 如圖， 在菱形 ABCD 中， A=100， M， N 分別是 AB， BC 的中點(diǎn)， 于點(diǎn)P，則的度數(shù)為() A. 40 B. 45 C. 50 D. 55 核心考點(diǎn): 菱形的性質(zhì) 類倍長(zhǎng)中線 直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半 26 3.( (本小題本小題 1010 分分) ) 如圖，正方形 ABCD，正方形 CGEF 的邊長(zhǎng)分別是 2，3，且點(diǎn) B，C，G 在 同 一 直 線 上 ， M是 線 段AE 的 中 點(diǎn) ， 連 接FM ， 則FM的 長(zhǎng) 為 () A. B. C. D. 核心考點(diǎn): 正方形的性質(zhì)全

45、等三角形的判定與性質(zhì)類倍長(zhǎng)中線 4.( (本小題本小題 1010 分分) ) 如圖，在等腰三角形 ABC 中，ABC=90，D 為 AC 的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) D 作 DEDF，交 AB 于點(diǎn) E，交 BC 于點(diǎn) F若，則 AB 的長(zhǎng)為 () A. 3 B. 6 C. 9 D. 18 核心考點(diǎn): 直角三角形斜邊上的中線 等腰直角三角形 全等三角形的判定與性質(zhì) 27 5.( (本小題本小題 1010 分分) ) 如圖，在矩形 ABCD 中， AD于 點(diǎn)E ， 連 接CE交BF于 點(diǎn) ，BC=3，F(xiàn) 為 CD 的中點(diǎn)，EFBF 交 G ， 則EG的 長(zhǎng) 為 () A. B. C. D. 核心考點(diǎn): 勾股定

46、理相似三角形的判定與性質(zhì)類倍長(zhǎng)中線 6.( (本小題本小題 1010 分分) ) 如圖，在ABC 中，BE 平分ABC 交 AC 于點(diǎn) E，CF 平分ACB 交 AB 于 點(diǎn) F，且BE，CF 相交于點(diǎn) O，AGBE 于點(diǎn) G，AHCF 于點(diǎn) H若AB=9，AC=14，BC=18，則 GH的長(zhǎng)為() A. B. 5 C. 3 D. 6 28 核心考點(diǎn): 角平分線的性質(zhì) 三角形中位線定理 全等三角形的判定與性質(zhì) 7.( (本小題本小題 1010 分分) ) 如圖，ABCD，E，F(xiàn) 分別為 AC，BD 的中點(diǎn)，若 AB=5，CD=3，則 EF 的 長(zhǎng)為() A. 4 B. 3 C. 2 D. 1

47、核心考點(diǎn): 三角形中位線定理全等三角形的判定與性質(zhì) 8.( (本小題本小題 1010 分分) ) 如圖，邊長(zhǎng)為 1 的正方形 EFGH 在邊長(zhǎng)為 3 的正方形 ABCD 所在的平面上 移動(dòng)， 且始終保持 EFAB設(shè)線段 CF，DH 的中點(diǎn)分別為 M，N，則線段 MN 的長(zhǎng)為() A. B. C. D. 29 核心考點(diǎn): 梯形中位線 三角形中位線 二二. .填空題填空題( (本大題共本大題共 2 2 小題，小題， 共共 2020 分分) ) 9.( (本小題本小題 1010 分分) ) 把一副直角三角板如圖放置，已知E 是 AB 的中點(diǎn)，連接CE，DE，CD，F(xiàn) 是CD的中點(diǎn)，連接EF若AB=8

48、，則=_ 核心考點(diǎn): 直角三角形斜邊上的中線 10.( (本小題本小題 1010 分分) ) 如圖，在四邊形 ABCD 中，AC=8，BD=6，且 ACBD，E，F(xiàn)，G，H 分別 是AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，則_ 核心考點(diǎn): 勾股定理 中點(diǎn)四邊形 直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半 1 1、如圖，在銳角三角形、如圖，在銳角三角形 ABCABC 中，中，ADADBCBC 于于 D,ED,E、F F、G G 分別是分別是 ACAC、ABAB、BCBC 的中點(diǎn)。的中點(diǎn)。 求證：四邊形求證：四邊形 OEFGOEFG 是等腰梯形。是等腰梯形。 30 C C D

49、D N N A A MM 2 2、如圖所示，、如圖所示，BDBD、CECE 是三角形是三角形 ABCABC 的兩條高，的兩條高，MM、N N 分別是分別是 BCBC、DEDE 的中點(diǎn)的中點(diǎn)A A F F E E 求證：求證：MNMNDEDE B B B B G G D DC C A A 3 3、已知梯形、已知梯形 ABCDABCD 中，中，B+B+C C9090o o，EFEF 是兩底中點(diǎn)的是兩底中點(diǎn)的 E EN N 線，試說(shuō)明線，試說(shuō)明 ABABADAD2EF2EF D D B B MM C C A A E E D D B BC C 4 4、如圖，四邊形、如圖，四邊形 ABCDABCD 中，中，DAB=DAB=DCB=90DCB=90o o F F ， 點(diǎn)點(diǎn) MM、N N 分別是分別是 BDBD、ACAC 的中點(diǎn)。的中點(diǎn)。MNMN、ACAC 的位置關(guān)系如何？證明你的猜想。的位置關(guān)系如何