2014屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 8.5橢圓講解與練習(xí) 理 新人教A版

1、 備考方向要明了考 什 么怎 么 考1.掌握橢圓的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單性質(zhì)2.了解圓錐曲線的簡(jiǎn)單應(yīng)用3.理解數(shù)形結(jié)合的思想.1.橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)是高考的重點(diǎn)考查內(nèi)容，三種題型均有可能出現(xiàn)，如2012年山東T10等2.直線與橢圓位置關(guān)系問(wèn)題一直是高考的重點(diǎn)，多以解答題形式考查，難度相對(duì)較大，如2012年陜西T19等.歸納知識(shí)整合1橢圓的定義(1)滿足以下條件的點(diǎn)的軌跡是橢圓在平面內(nèi)；與兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離之和等于常數(shù)；常數(shù)大于|F1F2|.(2)焦點(diǎn)：兩定點(diǎn)(3)焦距：兩焦點(diǎn)間的距離探究1.在橢圓的定義中，若2a|F1F2|或2a|F1F2|，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡如何？提示：

2、當(dāng)2a|F1F2|時(shí)動(dòng)點(diǎn)的軌跡是線段F1F2；當(dāng)2ab0)1(ab0)圖形性質(zhì)范圍axabybbxbaya對(duì)稱性對(duì)稱軸：x軸、y軸對(duì)稱中心：(0,0)頂點(diǎn)A1(a,0)，A2(a,0) B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a) B1(b,0)，B2(b,0)軸長(zhǎng)軸A1A2的長(zhǎng)為2a短軸B1B2的長(zhǎng)為2b焦距|F1F2|2c離心率e，e(0,1)a，b，c的關(guān)系c2a2b2探究2.橢圓離心率的大小與橢圓的扁平程度有怎樣的關(guān)系？提示：離心率e越接近1，a與c就越接近，從而b就越小，橢圓就越扁平；同理離心率越接近0，橢圓就越接近于圓自測(cè)牛刀小試1橢圓1的離心率為()A.B.C.

3、D.解析：選Da216，b28，c28，e.2已知F1，F(xiàn)2是橢圓1的兩焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F2的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，在AF1B中，若有兩邊之和是10，則第三邊的長(zhǎng)度為()A6 B5C4 D3解析：選A根據(jù)橢圓定義，知AF1B的周長(zhǎng)為4a16，故所求的第三邊的長(zhǎng)度為16106.3橢圓x2my21的焦點(diǎn)在y軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的兩倍，則m的值為()A. B.C2 D4解析：選A由題意知a2，b21，且a2b，則4，得m.4若橢圓1過(guò)點(diǎn)(2，)，則其焦距為()A2 B2C4 D4解析：選C把點(diǎn)(2，)的坐標(biāo)代入橢圓方程得m24，所以c216412，所以c2，故焦距為2c4.5設(shè)F1、F2分別是橢圓1的左

4、、右焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，M是F1P的中點(diǎn)，|OM|3，則P點(diǎn)到橢圓左焦點(diǎn)的距離為_(kāi)解析：由題意知|OM|PF2|3，則|PF2|6.故|PF1|2564.答案：4橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程例1(1)已知ABC的頂點(diǎn)B、C在橢圓y21上，頂點(diǎn)A是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓的另外一個(gè)焦點(diǎn)在BC邊上，則ABC是周長(zhǎng)是()A2B6C4 D12(2)(2012山東高考)已知橢圓C：1(ab0)的離心率為.雙曲線x2y21的漸近線與橢圓C有四個(gè)交點(diǎn)，以這四個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積為16，則橢圓C的方程為()A.1 B.1C.1 D.1自主解答(1)根據(jù)橢圓定義，ABC的周長(zhǎng)等于橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)的2倍，即4.(2)由離

5、心率為得，a24b2，排除選項(xiàng)B，雙曲線的漸近線方程為yx，與橢圓的四交點(diǎn)組成的四邊形的面積為16可得在第一象限的交點(diǎn)坐標(biāo)為(2,2)，代入選項(xiàng)A、C、D，知選項(xiàng)D正確答案(1)C(2)D用待定系數(shù)法求橢圓方程的一般步驟(1)作判斷：根據(jù)條件判斷橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，還是在y軸上，還是兩個(gè)坐標(biāo)軸都有可能；(2)設(shè)方程：根據(jù)上述判斷設(shè)方程1(ab0)或1(ab0)；(3)找關(guān)系：根據(jù)已知條件，建立關(guān)于a、b、c或m、n的方程組；(4)得方程：解方程組，將解代入所設(shè)方程，即為所求.注意：用待定系數(shù)法求橢圓的方程時(shí)，要“先定型，再定量”，不能確定焦點(diǎn)的位置時(shí)，可進(jìn)行分類討論或把橢圓的方程設(shè)為mx2ny

6、21(m0，n0).1已知橢圓G的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，長(zhǎng)軸在x軸上，離心率為，且橢圓上一點(diǎn)到橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為12，則橢圓G的方程為_(kāi)解析：設(shè)橢圓方程為1(ab0)，根據(jù)橢圓定義2a12，即a6，又，得c3，故b2a2c236279，故所求橢圓方程為1.答案：12已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：1(ab0)的左、右焦點(diǎn)，P為橢圓C上一點(diǎn)，且12.若PF1F2的面積為9，則b_.解析：設(shè)橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(c,0)根據(jù)橢圓定義和PF1F2是一個(gè)面積等于9的直角三角形，有式兩端平方并把、兩式代入可得4c2364a2，即a2c29，即b29，故b3.答案：3橢圓的幾何性質(zhì)及應(yīng)用例2(2012安徽高考)如圖

7、，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓C：1(ab0)的左、右焦點(diǎn)，A是橢圓C的頂點(diǎn)，B是直線AF2與橢圓C的另一個(gè)交點(diǎn)，F(xiàn)1AF260.(1)求橢圓C的離心率；(2)已知AF1B的面積為40，求a，b的值自主解答(1)由題意可知，AF1F2為等邊三角形，a2c，所以e.(2)法一：a24c2，b23c2，直線AB的方程可為y(xc)將其代入橢圓方程3x24y212c2，得B.所以|AB|c.由SAF1B|AF1|AB|sin F1ABaca240，解得a10，b5.法二：設(shè)|AB|t.因?yàn)閨AF2|a，所以|BF2|ta.由橢圓定義|BF1|BF2|2a可知，|BF1|3at.再由余弦定理(3at)2a2t

8、22atcos 60可得，ta.由SAF1Baaa240知，a10，b5.橢圓離心率的求法求橢圓的離心率(或范圍)時(shí)，一般是依據(jù)題設(shè)得出一個(gè)關(guān)于a，b，c的等式(或不等式)，利用a2b2c2消去b，即可求得離心率或離心率的范圍3橢圓1(ab0)的兩頂點(diǎn)為A(a,0)，B(0，b)，且左焦點(diǎn)為F，F(xiàn)AB是以角B為直角的直角三角形，則橢圓的離心率e為()A.B.C. D.解析：選B根據(jù)已知a2b2a2(ac)2，即c2aca20，即e2e10，解得e，故所求的橢圓的離心率為.4橢圓1(a為定值，且a)的左焦點(diǎn)為F，直線xm與橢圓相交于點(diǎn)A，B，F(xiàn)AB的周長(zhǎng)的最大值是12，則該橢圓的離心率是_解析：

9、設(shè)橢圓右焦點(diǎn)為F，由圖及橢圓定義知，|AF|AF|BF|BF|2a.又FAB的周長(zhǎng)為|AF|BF|AB|AF|BF|AF|BF|4a，當(dāng)且僅當(dāng)AB過(guò)右焦點(diǎn)F時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)4a12，則a3，故橢圓方程為1, 所以c2，所以e.答案：直線與橢圓的綜合例3如圖，橢圓C：1(ab0)的離心率為，其左焦點(diǎn)到點(diǎn)P(2,1)的距離為.不過(guò)原點(diǎn)O的直線l與C相交于A，B兩點(diǎn)，且線段AB被直線OP平分(1)求橢圓C的方程；(2)求ABP面積取最大值時(shí)直線l的方程自主解答(1)設(shè)橢圓左焦點(diǎn)為F(c,0)，則由題意得解得所以橢圓方程為1.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，線段AB的中點(diǎn)為M.當(dāng)直線AB與

10、x軸垂直時(shí)，直線AB的方程為x0，與不過(guò)原點(diǎn)的條件不符，舍去故可設(shè)直線AB的方程為ykxm(m0)，由消去y，整理得(34k2)x28kmx4m2120，則64k2m24(34k2)(4m212)0，所以線段AB的中點(diǎn)M.因?yàn)镸在直線OP：yx上，所以.得m0(舍去)或k.此時(shí)方程為3x23mxm230，則3(12m2)0，所以|AB|x1x2|.設(shè)點(diǎn)P到直線AB距離為d，則d.設(shè)ABP的面積為S，則S|AB|d.其中m(2，0)(0,2)令u(m)(12m2)(m4)2，m2，2 ，u(m)4(m4)(m22m6)4(m4)(m1)(m1)所以當(dāng)且僅當(dāng)m1時(shí)，u(m)取到最大值故當(dāng)且僅當(dāng)m1

11、時(shí)，S取到最大值綜上，所求直線l方程為3x2y220.直線與橢圓相交時(shí)的常見(jiàn)問(wèn)題的處理方法涉及問(wèn)題處理方法弦長(zhǎng)根與系數(shù)的關(guān)系、弦長(zhǎng)公式中點(diǎn)弦或弦的中點(diǎn)點(diǎn)差法5(2013洛陽(yáng)模擬)已知橢圓1(ab0)的離心率為，短軸的一個(gè)端點(diǎn)為M(0,1)，直線l：ykx與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)A，B.(1)若|AB|，求k的值；(2)求證：不論k取何值，以AB為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)M.解：(1)由題意知，b1.由a2b2c2可得cb1，a，橢圓的方程為y21.由得(2k21)x2kx0.k24(2k21)16k20恒成立設(shè)A(x1，y1)，B(x2，x2)，則x1x2，x1x2，|AB|x1x2|，化簡(jiǎn)得23k413

12、k2100，即(k21)(23k210)0，解得k1.(2)證明：(x1，y11)，(x2，y21)，x1x2(y11)(y21)(1k2)x1x2k(x1x2)0.不論k取何值，以AB為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)M.1個(gè)規(guī)律橢圓焦點(diǎn)位置與x2、y2系數(shù)之間的關(guān)系給出橢圓方程1時(shí)，橢圓的焦點(diǎn)在x軸上mn0；橢圓的焦點(diǎn)在y軸上0mn.1種思想數(shù)形結(jié)合思想在橢圓幾何性質(zhì)中的運(yùn)用求解與橢圓幾何性質(zhì)有關(guān)的問(wèn)題時(shí)要結(jié)合圖形進(jìn)行分析，即使不畫(huà)出圖形，思考時(shí)也要聯(lián)想到圖形當(dāng)涉及到頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、長(zhǎng)軸、短軸等橢圓的基本量時(shí)，要理清它們之間的關(guān)系，挖掘出它們之間的內(nèi)在聯(lián)系2種方法求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的方法(1)定義法：根據(jù)橢圓定義，

13、確定a2，b2的值，再結(jié)合焦點(diǎn)位置，直接寫(xiě)出橢圓方程(2)待定系數(shù)法：根據(jù)橢圓焦點(diǎn)是在x軸還是y軸上，設(shè)出相應(yīng)形式的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后根據(jù)條件確定關(guān)于a、b、c的方程組，解出a2、b2，從而寫(xiě)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程3種技巧與橢圓性質(zhì)、方程相關(guān)的三種技巧(1)橢圓上任意一點(diǎn)M到焦點(diǎn)F的所有距離中，長(zhǎng)軸端點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離分別為最大距離和最小距離，且最大距離為ac，最小距離為ac.(2)求橢圓離心率e時(shí)，只要求出a，b，c的一個(gè)齊次方程，再結(jié)合b2a2c2就可求得e(0e0”是“方程mx2ny21的曲線是橢圓”的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充分必要條件 D既不充分也不必要條件解析：選B因?yàn)楫?dāng)m0，n

14、0，n0，mn0.2已知橢圓：1的焦距為4，則m等于()A4 B8C4或8 D以上均不對(duì)解析：選C由得2mb0)的左、右焦點(diǎn)，P為直線x上一點(diǎn)，F(xiàn)2PF1是底角為30的等腰三角形，則E的離心率為()A. B.C. D.解析：選C根據(jù)題意直線PF2的傾斜角是，所以ac|PF2|F1F2|2c，解得e.二、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分)7若橢圓1(ab0)與曲線x2y2a2b2恒有公共點(diǎn)，則橢圓的離心率e的取值范圍是_解析：由題意知，以半焦距c為半徑的圓與橢圓有公共點(diǎn)，故bc，所以b2c2，即a22c2，所以.又1，所以eb0)的左、右頂點(diǎn)分別是A，B，左、右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2.

15、若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比數(shù)列，則此橢圓的離心率為_(kāi)解析：依題意得|F1F2|2|AF1|BF1|，即4c2(ac)(ac)a2c2，整理得5c2a2，得e.答案：9已知橢圓C：1(ab0)的離心率為.過(guò)右焦點(diǎn)F且斜率為k(k0)的直線與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)若3，則k_.解析：根據(jù)已知，可得a2c2，則b2c2，故橢圓方程為1，即3x212y24c20.設(shè)直線的方程為xmyc，代入橢圓方程得(3m212)y26mcyc20.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則根據(jù)3，得(cx1，y1)3(x2c，y2)，由此得y13y2，根據(jù)韋達(dá)定理y1y2，y1y2，把y13y2代入

16、得，y2，3y，故9m2m24，故m2，從而k22，k.又k0，故k.答案：三、解答題(本大題共3小題，每小題12分，共36分)10已知P點(diǎn)在以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的橢圓上，點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)的距離分別為和，過(guò)P點(diǎn)作焦點(diǎn)所在軸的垂線，它恰好過(guò)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，求橢圓方程解：設(shè)兩焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，且|PF1|，|PF2|.由橢圓定義知2a|PF1|PF2|2，即a.由|PF1|PF2|知，|PF2|垂直焦點(diǎn)所在的對(duì)稱軸，所以在RtPF2F1中，sinPF1F2.可求出PF1F2，2c|PF1|cos，從而b2a2c2.所以所求橢圓方程為1或1.11已知橢圓G：1(ab0)的離心率為，右焦點(diǎn)為(2，0)斜率為1

17、的直線l與橢圓G交于A，B兩點(diǎn)，以AB為底邊作等腰三角形，頂點(diǎn)為P(3,2)(1)求橢圓G的方程；(2)求PAB的面積解：(1)由已知得c2，解得a2，又b2a2c24.所以橢圓G的方程為1.(2)設(shè)直線l的方程為yxm.由得4x26mx3m2120.設(shè)A，B的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)(x1b0)，右焦點(diǎn)為F2(c,0)因AB1B2是直角三角形，又|AB1|AB2|，故B1AB2為直角，因此|OA|OB2|，得b.結(jié)合c2a2b2得4b2a2b2，故a25b2，c24b2，所以離心率e.在RtAB1B2中，OAB1B2，故SAB1B2|B1B2|OA|OB2|OA|bb2.由題

18、設(shè)條件SAB1B24，得b24，從而a25b220.因此所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)由(1)知B1(2,0)，B2(2,0)由題意知直線l的傾斜角不為0，故可設(shè)直線l的方程為xmy2.代入橢圓方程得(m25)y24my160.設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則y1，y2是上面方程的兩根，因此y1y2，y1y2，又(x12，y1)，(x22，y2)，所以(x12)(x22)y1y2(my14)(my24)y1y2(m21)y1y24m(y1y2)1616，由PB2QB2，得0，即16m2640，解得m2.所以滿足條件的直線有兩條，其方程分別為x2y20和x2y20.1設(shè)e1，e2分別為具有公共焦點(diǎn)F1與F2的橢圓和雙曲線的離心率，P為兩曲線的一個(gè)公共點(diǎn)，且滿足120，則的值為_(kāi)解析：設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為a1，雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)為a2，|F1F2|2c，由題意得|PF1|PF2|2a1，|PF1|PF2|2a2，|PF1|2|PF2|22a2a.又120，PF1PF2.|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，即2a2a4c2.222，即2，即2.答案：22已知F1，F(xiàn)2為橢圓1(0b10)的左、右焦點(diǎn)，P是橢圓上一點(diǎn)(1)求|PF1|PF2|的最大值；(2)若F1PF260且F