有限元分析—空間問題簡介

1、有限元分析及應(yīng)用 finite element analysis andapplication,college of mechanical engineering yangzhou university,telmp:email: ,5.1 軸對稱問題 5.1.1基本概念、基本方程 5.1.2節(jié)點位移與節(jié)點載荷 5.1.3單元剛度矩陣 5.1.4單元剛度矩陣的疊加 5.1.5邊界條件 5.1.6工程實例 5.2 空間問題有限元法 5.2.1基本方程 5.2.2四面體單元 5.2.3等參數(shù)單元 5.2.4空間六面體單元 5.3工程實例,col

2、lege of mechanical engineering yangzhou university,有限元分析及應(yīng)用,第 5 章 空間問題簡介,第 5 章 空間問題簡介,第五章 空間問題簡介,工程實際中的很多問題難于簡化為平面問題，如受任意空間載荷作用的任意形狀幾何體，受對稱于軸線載荷作用的回轉(zhuǎn)體，本章簡單介紹兩類問題： 軸對稱問題和空間問題的有限元計算。 空間問題的主要困難： （1）離散化不直觀（網(wǎng)格自動生成）； （2）未知量的數(shù)目劇增（對某些問題簡化,軸對稱問題）。 空間分析的優(yōu)點： 精確。,1）幾何形狀關(guān)于軸線對稱； 2）作用于其上的載荷關(guān)于軸線對稱。 3）約束條件關(guān)于軸線對稱。 因過

3、z軸的任一子午面都是對稱面，其上任一點p只在該平面上發(fā)生位移，即彈性體內(nèi)任一點的位移、應(yīng)力與應(yīng)變只與坐標(biāo)r、z有關(guān)，與 無關(guān)。從而，軸對稱問題可轉(zhuǎn)化為二維問題，但因與平面問題有區(qū)別，常稱為二維半問題。,5-1 軸對稱問題,柱坐標(biāo)系,5-1 軸對稱問題,位移分量 應(yīng)力分量 應(yīng)變分量 虛功方程,基本方程,5-1 軸對稱問題,步驟1：選擇單元類型 步驟2：選擇位移函數(shù) 步驟3：確定應(yīng)變位移和應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系 步驟4：推導(dǎo)單元剛度陣,剛度陣的推導(dǎo)：,5-1 軸對稱問題,單元位移函數(shù) 利用節(jié)線位移，待定系數(shù)， 可得,單元類型：三角形單元,5-1 軸對稱問題,其中 為r的函數(shù)， 故b的元素不是常量，與平面三角

4、形單元有區(qū)別。 當(dāng)r 0時，f不存在，即奇異，需近似處理。,應(yīng)變矩陣,剛度矩陣,5-1 軸對稱問題,1）軸對稱單元為圓環(huán)體，單元與單元間為節(jié)圓相 連接； 2）節(jié)點力與節(jié)點載荷是施加于節(jié)圓上的均布力； 3）單元邊界是一回轉(zhuǎn)面； 4）應(yīng)變分量 中出現(xiàn)了 ，即應(yīng)變不是常量；且應(yīng)變矩陣在r 0 時，存在奇異點，需特殊處理，通常用該單元的形心坐標(biāo)替代節(jié)點坐標(biāo)。,軸對稱單元的特點,（與平面三角形單元的區(qū)別）,5-2 空間問題有限元法,基本方程,5-3 四面體單元,1.單元類型：,2.位移函數(shù),線性位移函數(shù),四面體單元節(jié)點位移向量,5-3 四面體單元,這些系數(shù)為四面體體積 v各行各元素的代數(shù)余子式,利用節(jié)點

5、位移可待定系數(shù)，并整理為如下形式,其中,5-3 四面體單元,3.應(yīng)變矩陣,其中,顯然b為常量矩陣，故四面體單元為常應(yīng)變單元,5-3 四面體單元,4.剛度矩陣,5-4 等參數(shù)單元,從前可知，矩形單元比三角形有更高的精度，而三角形有較矩形單元更好的邊界適應(yīng)性。實際工程中，往往更希望有單元精度高、邊界適應(yīng)性好的單元。本章將介紹的等參單元具有此特點。所謂等參單元：即以規(guī)則形狀單元（如正四邊形、正六面體單元等）的位移函數(shù)相同階次函數(shù)為單元幾何邊界的變換函數(shù)，進行坐標(biāo)變換所獲得的單元。由于單元幾何邊界的變換式與規(guī)則單元的位移函數(shù)有相同的節(jié)點參數(shù)，故稱由此獲得的單元為等參單元。借助于等參單元可以對一般任意形

6、狀的求解域方便地進行有限元離散。,5-4 等參數(shù)單元,局部坐標(biāo),總體坐標(biāo),變換函數(shù),1.等參變換,將局部坐標(biāo)下的規(guī)則形狀單元轉(zhuǎn)換為總體坐標(biāo)下幾何形狀扭曲的單元，以滿足任意形狀離散的要求。,m為單元節(jié)點數(shù)，ni為局部 坐標(biāo)下表示的形函數(shù)，xi為 總體坐標(biāo)下的節(jié)點坐標(biāo),對四節(jié)點四邊形等參元，ni,最方便的變換函數(shù)是:,5-4 等參數(shù)單元,變換實例,5-4 等參數(shù)單元,2.形函數(shù)的性質(zhì)同前,注意：不是直線,在矩形單元上 的變化如圖,5-4 等參數(shù)單元,形函數(shù)n1的正確表示,直線,（1,-1）,不是平面,5-4 等參數(shù)單元,單元內(nèi)任意點p的位移函數(shù)(2d)：,其中：ni和坐標(biāo)變換式的形函數(shù)相同。,3.

7、等參單元位移函數(shù),5-4 等參數(shù)單元,1）應(yīng)變矩陣 注意：應(yīng)變?yōu)槲灰茖，y的導(dǎo)數(shù)，如四節(jié)點四邊形單元計算式如右： 2）復(fù)合求導(dǎo) 利用x，y，z與局部坐標(biāo)系的關(guān)系，有,用于二維等參元,4.等參單元剛度矩陣,5-4 等參數(shù)單元,記為矩陣(如四節(jié)點四邊形單元)j稱為jacobi矩陣，由坐標(biāo)變換式確定，當(dāng)j的逆存在時，則形函數(shù)對x，y的導(dǎo)數(shù)可求，即應(yīng)變陣可求。,2）復(fù)合求導(dǎo),5-4 等參數(shù)單元,應(yīng)變矩陣,5-4 等參數(shù)單元,一般而言，等參單元的剛度積分很難有解析式，必須進行數(shù)值積分，目前普遍采用高斯數(shù)值積分法。(略),3）剛度矩陣,5-5 空間六面體單元,5-5 空間六面體單元,（i=1,2,8),其中：,例：,形函數(shù),5-5 空間六面體單元,1）等參單元為協(xié)調(diào)元，滿足有限元解收斂的充要條件。證 明略。 2）等參單元存在的充要條件是： 為了保證能進行等參變換(即總體坐標(biāo)與局部坐標(biāo)一一對應(yīng))，通常要求總體坐標(biāo)系下的單元為凸，即不能有內(nèi)角大于或等于或接近180度情況。,等參單元的幾點說明：,5-5 空間六面體單元,3）等參單元的優(yōu)點是當(dāng)單元邊界呈二次以上的曲線時，容易用很少的單元去逼近曲線邊界。 4）上述等參單元的理論公式可適應(yīng)三次以上的曲線型等參元，只是階次提高，單元自由度相應(yīng)增加，計算更復(fù)雜，積分更困難，實際中，很少超過3次曲線型。 5）上述推導(dǎo)要求：保持坐標(biāo)變換中幾何模式階次與描述