計(jì)算方法-第二章-數(shù)值積分PPT課件

1、第二章數(shù)值積分，第一章數(shù)值積分，第二章牛頓-庫(kù)特公式3用貝格算法4高斯求積公式5數(shù)值微分，根據(jù)，緒論，微積分基本定理，只要找到乘積函數(shù)的原始函數(shù)，牛頓-勒沃尼茲公式就找不到用基本函數(shù)表示的原始函數(shù)，實(shí)驗(yàn)測(cè)量或數(shù)值計(jì)算通常是函數(shù)表，因此牛頓-勒沃尼茲公式往往不能直接使用。因此，需要研究積分的數(shù)值計(jì)算問題。牛頓(Newton，1643 -1727)，萊布尼茨(Gottfried Wilhelm Leibniz，1646年1716)，數(shù)值求積法的基本思想1，根據(jù)積分平均值定理，底部較高的矩形面積恰好是所需的曲線，數(shù)值求積的基本思路2，根據(jù)積分平均值定理，底部高，矩形區(qū)域正好等于所需曲線角的梯形面積。

2、使用加權(quán)平均法獲取多個(gè)節(jié)點(diǎn)的高度并生成平均高度。這種求積公式稱為機(jī)械求積公式。公式中稱為求積節(jié)點(diǎn)，也稱為求積系數(shù)，還稱為伴隨節(jié)點(diǎn)的權(quán)重。重要的，代數(shù)精度的概念1，數(shù)值求積方法是近似的，自然提供的求積公式對(duì)“盡可能多”函數(shù)是正確的。機(jī)器求積公式對(duì)都是正確的，但在不正確的情況下，機(jī)器求積公式具有二次代數(shù)精度。重要的，代數(shù)精度的概念2，代數(shù)精度的概念3，代數(shù)精度的概念4，數(shù)值求積法是近似值，為了保證精度，自然要提供的求積公式對(duì)“盡可能多”函數(shù)是正確的。機(jī)器求積公式對(duì)都是正確的，但在不正確的情況下，機(jī)器求積公式具有二次代數(shù)精度。實(shí)際上，如果讓求積公式正確成立，即給出求積公式節(jié)點(diǎn)，就表明求積公式的構(gòu)造問

3、題是求解線性方程的代數(shù)問題。M=n時(shí)，存在唯一的解決方案。將節(jié)點(diǎn)上指定的函數(shù)值設(shè)置為插值多項(xiàng)式的插值求積公式，因?yàn)槎囗?xiàng)式的乘積容易，所以稱為插值求積公式，其求積系數(shù)是定理機(jī)器求積公式具有最小二次代數(shù)精度的充分必要條件。重要的，定理的證明，3.2牛頓割公式，由相同，步長(zhǎng)，分割點(diǎn)組成的插值求積公式(此處)稱為階牛頓割公式(Newton-Cotes)。Cotes系數(shù)與a，b無關(guān)。牛頓切割公式2、等分、步長(zhǎng)和分割點(diǎn)組成的插值求積公式(此處)稱為階牛頓切割公式。第一次和第二次牛頓切割公式是梯形公式，切割系數(shù)為P.61，第八次切割系數(shù)為負(fù)值。還有新保生公式，也稱為四次牛頓切割公式，科特公式，幾個(gè)低階求積公

4、式的代數(shù)精度，階牛頓切割公式至少具有二次代數(shù)精度，事實(shí)上，二次新保生公式和四次切割公式在精度上分別具有三次和五次代數(shù)精度，得到“加法”的好處。因此，在一些較低的命令下，牛頓柯特的公式中，人們更感興趣的是階梯公式(這是最簡(jiǎn)單和最基本的)、新保生公式和科特公式。利用幾個(gè)子求積公式的余數(shù)1，幾個(gè)子求積公式的余數(shù)2，幾個(gè)子求積公式的余數(shù)項(xiàng)，線性插值的余數(shù)公式和積分平均值定理，得到梯形公式的余數(shù)。利用埃爾米特插值的余數(shù)公式和積分中值定理，得到了心算公式的余數(shù)。還得到了庫(kù)爾特公式的積分余數(shù)，即復(fù)合求積公式。使用牛頓庫(kù)爾特公式時(shí)，增加階數(shù)并不總是得到滿意的結(jié)果。提高求積公式準(zhǔn)確性的有效方法是綜合求積。類似于

5、等距線段插值。等分、相位、分?jǐn)?shù)稱為復(fù)合求積公式。也就是說，得到每個(gè)子段的積分值，并使用該值作為積分的近似值。復(fù)合梯形公式為：剩下的是復(fù)合求積公式2，復(fù)合求積公式的截?cái)嗾`差，梯形方法的遞歸，在實(shí)際計(jì)算中，通常很難預(yù)先指定合適的步驟，因此在步驟大小調(diào)整的計(jì)算過程中反復(fù)使用復(fù)雜求積公式，直到計(jì)算出正確的積分值為止。設(shè)定表示復(fù)雜梯形的積分值。其下標(biāo)為等差，其中梯形方法遞歸2，梯形方法的加速度，梯形方法的算法簡(jiǎn)單，但精度低，收斂速度慢。如何提高收斂速度，節(jié)約計(jì)算量？復(fù)雜梯形公式的截?cái)嗾`差公式可以用作后誤差估計(jì)。此外，這樣推導(dǎo)出的加速度公式是：long Berk算法1，long Berg算法2，我們可以在

6、步長(zhǎng)的逐步分段過程中用更高精度的積分值逐步加工粗糙積分值?；蛘?，將收斂速度慢的梯形值序列加工為收斂快速積分值數(shù)列的加速方法稱為朗伯算法。longberg算法3，考慮以下球體公式，其中包括操作、常規(guī)、設(shè)置、n系數(shù)和n節(jié)點(diǎn)：適當(dāng)?shù)倪x擇系數(shù)和求積節(jié)點(diǎn)可以使上述求積公式達(dá)到二次代數(shù)精度。這種高精度求積公式稱為高斯公式，高斯公式的求積節(jié)點(diǎn)稱為高斯點(diǎn)。德國(guó)數(shù)學(xué)家和科學(xué)家高斯(1777-1855年)和牛頓，阿基米德一起被評(píng)為有史以來第三大數(shù)學(xué)家，名字是“數(shù)學(xué)王子”?？扑棺钣忻墓适率撬?0歲時(shí)的計(jì)算算術(shù)問題：123100？即可從workspace頁(yè)面中移除物件。高斯對(duì)數(shù)論、代數(shù)、鄭智薰-歐洲幾何、復(fù)合函數(shù)、

7、微分幾何等做出了劃時(shí)代的貢獻(xiàn)。他還將數(shù)學(xué)應(yīng)用于天文學(xué)、大地測(cè)量學(xué)和磁學(xué)的研究，發(fā)明了最小平方原理。物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家卡爾弗里德里希高斯(1777年4月30日，1855年2月23日)，出生于勃列日里克，哥廷根，德國(guó)著名數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、天文學(xué)家和大地學(xué)家。科斯莫斯被認(rèn)為是最重要的數(shù)學(xué)家之一，擁有數(shù)學(xué)王子的名聲，他是歷史上偉大的數(shù)學(xué)家之一，與阿基米德、牛頓和歐拉一起獲得了名聲?？扑褂?777年4月30日出生在布倫斯威克的一個(gè)岳父家里，1855年2月23日在哥廷根去世。小時(shí)候很窮，但很聰敏，在貴族的幫助下入學(xué)了。17951798年，他在1798年從格丁根大學(xué)調(diào)到赫爾姆斯塔特大學(xué)，第二年獲得了代數(shù)基本定

8、理的博士學(xué)位。從1807年開始擔(dān)任哥廷根大學(xué)教授和哥廷根天文臺(tái)隊(duì)長(zhǎng)。高斯成果在數(shù)學(xué)領(lǐng)域廣泛進(jìn)行，在數(shù)論、鄭智薰歐洲幾何、微分幾何、超幾何級(jí)數(shù)、復(fù)合函數(shù)理論和橢圓函數(shù)理論等方面做出了劃時(shí)代的貢獻(xiàn)。他重視數(shù)學(xué)的應(yīng)用，在天文學(xué)、大地測(cè)量學(xué)、磁力學(xué)研究中也注重運(yùn)用數(shù)學(xué)方法的研究。1792年，15歲的科斯進(jìn)入了Braunschweig學(xué)院?？扑鼓归_始了對(duì)高等數(shù)學(xué)的研究。二項(xiàng)式定理的一般形式、數(shù)論上的二次互易定律、素?cái)?shù)分布定理、算術(shù)幾何平均(arithmetic-geometric mean)考斯于1795年進(jìn)入哥廷根大學(xué)。1796年，19歲的科斯莫斯在數(shù)學(xué)史上取得了很重要的結(jié)果。這就是鄭17卞子圖表的

9、理論和方法。五年后，高斯證明了可以將相當(dāng)于permat小數(shù)的正多邊形變成直紋面。1855年2月23日早上，科斯在睡夢(mèng)中去世了。，科斯的肖像印在1989年至2001年流通的10德國(guó)馬克的紙幣上，日本原福澤由紀(jì)奇，現(xiàn)代啟蒙思想家、教育家。明治維新時(shí)代的日本重要長(zhǎng)官。日本元新都浩大學(xué)，大教育家，農(nóng)學(xué)家。名牌布什道，“東京大學(xué)預(yù)備學(xué)校一級(jí)校長(zhǎng)，東京女子大學(xué)第一任校長(zhǎng)。高斯公式1，高斯公式2，高斯點(diǎn)的基本特性，高斯點(diǎn)的確定原則上可以轉(zhuǎn)變?yōu)榇鷶?shù)問題，但結(jié)果方程是非線性的，其分析存在實(shí)際困難，因此必須從研究高斯點(diǎn)的基本特性開始解決高斯公式的構(gòu)造問題。在求積公式中設(shè)置為高斯點(diǎn)時(shí)，清理節(jié)點(diǎn)是與任意次數(shù)的多項(xiàng)式正交的多項(xiàng)式正交。即，定理稱為Gauss公式3，操作，兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的高斯求積公式，legend多項(xiàng)式，高斯點(diǎn)為零的多項(xiàng)式，稱為L(zhǎng)egendre多項(xiàng)式。一般來說，勒讓德多項(xiàng)式是基于它的。按照數(shù)學(xué)分析的定義，、3.5的數(shù)值微分是成為商人時(shí)的極限。因此，利用商作為微分的近似，可以得到簡(jiǎn)單的數(shù)值微分法。如果使用的階分別為向前、向后和中心階，則可以分別設(shè)置以下三種數(shù)值微