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文檔簡介

1、第二十一講三角函數(shù)的性質(zhì),回歸課本,1.正余弦曲線的定義 正弦函數(shù)的圖象和余弦函數(shù)的圖象分別叫做正弦曲線和余弦曲線.,2.周期函數(shù) 對于函數(shù)f(x),如果存在一個非零常數(shù)T,使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個值時,都有f(x+T)=f(x),那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù).非零常數(shù)T叫做這個函數(shù)的周期.如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù),那么這個最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期. 正弦函數(shù)余弦函數(shù)都是周期函數(shù),2k,kZ都是它們的周期,最小正周期是2.,3.正弦函數(shù)余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)如下表,4.y=tanx的性質(zhì) (1)定義域是x|xk+ ,kZ. (2)值域是R,即正切函數(shù)既無

2、最大值,也無最小值. (3)周期性:正切函數(shù)是周期函數(shù),最小正周期是. (4)奇偶性:正切函數(shù)是奇函數(shù).,(5)單調(diào)性:正切函數(shù)在開區(qū)間 kZ內(nèi)都是增函數(shù). (6)對稱性:正切函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱,正切曲線是中心對稱圖形,其對稱中心坐標(biāo)是 (kZ).正切函數(shù)無對稱軸.,5.y=tanx(xk+ kZ)的圖象,考點陪練,1.函數(shù) 的定義域是( ) A.x|2k- x2k+ ,kZ B.x|2kx2k+ ,kZ C.x|2k- x2k,kZ D.xR 答案:D,2.若 的最小正周期為T,且T(1,3),則正整數(shù)的最大值是( ) A.5B.6C.7D.8 答案:B,答案:C,答案:C,5.函數(shù) x

3、R是( ) A.奇函數(shù)B.偶函數(shù) C.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)D.非奇非偶函數(shù),答案:B,類型一三角函數(shù)的定義域 解題準(zhǔn)備:求函數(shù)定義域的題型,關(guān)鍵是求使式子有意義的x的取值范圍,將問題轉(zhuǎn)化為解不等式,此題是解三角不等式,常用的方法有:利用單位圓中的三角函數(shù)線;利用三角函數(shù)的圖象;利用函數(shù)單調(diào)性,一定要與相應(yīng)三角函數(shù)的周期聯(lián)系起來.,分析先寫出使函數(shù)有意義的不等式或不等式組,再利用三角函數(shù)圖象或單位圓求解集.,反思感悟求三角函數(shù)的定義域,既要注意一般函數(shù)的定義域的規(guī)律,又要注意三角函數(shù)本身的特有屬性,如題中出現(xiàn)tanx,則一定有xk+ ,kZ. 求三角函數(shù)的定義域通常使用三角函數(shù)線三角函數(shù)圖象或單

4、位圓.,類型二三角函數(shù)的值域及最值問題 解題準(zhǔn)備:三角函數(shù)的值域及最值問題,實質(zhì)上大多是含有三角函數(shù)的復(fù)合函數(shù)的值域問題,常用的方法有:化為代數(shù)函數(shù)的值域或化為關(guān)于sinx(或cosx)的二次函數(shù)式,再利用換元配方等方法求解.,【典例2】求下列函數(shù)的值域: (1)y=2cos2x+2cosx; (2)y=3cosx- sinx; (3)y=sinx+cosx+sinxcosx. 分析先將原函數(shù)式進(jìn)行等價變形,利用|sinx|1,|cosx|1,但要注意自變量的取值變化.,反思感悟(1)將原函數(shù)式化為y=Asin(x+)+B,y=Acos(x+)+B型或化為關(guān)于sinx(或cosx)的二次函數(shù)式

5、,利用換元法進(jìn)行配方可解決問題. (2)關(guān)于y=acos2x+bcosx+c,a0(或y=asin2x+bsinx+c,a0)型或可化為此型的函數(shù)求值域,一般可化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的值域問題,切忌忽視函數(shù)的定義域. (3)換元法,旨在三角問題代數(shù)化,要防止破壞等價性.,類型三三角函數(shù)的單調(diào)性 解題準(zhǔn)備:與三角函數(shù)單調(diào)性有關(guān)的問題,1.單調(diào)區(qū)間的求法 函數(shù)y=Asin(x+)(A0,0)的單調(diào)區(qū)間的確定,基本思想是把x+看作一個整體,比如:由2k- x+2k+ (kZ)解出x的范圍,所得區(qū)間即為增區(qū)間,由2k+ x+2k+ (kZ)解出x的范圍,所得區(qū)間即為減區(qū)間.,2.如何比較兩個三角函數(shù)值

6、的大小 比較三角函數(shù)值的大小,往往是利用奇偶性或周期性轉(zhuǎn)化為同一單調(diào)區(qū)間上的兩個同名函數(shù)值,再利用單調(diào)性比較.,反思感悟(1)求形如y=Asin(x+)或y= Acos(x+)(其中A0,0)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,可以通過解不等式的方法去解答,列不等式的原則是:把“x+(0)”視為一個“整體”;A0(A0)時,所列不等式的方向與y=sinx(xR)y=cosx(xR)的單調(diào)區(qū)間對應(yīng)的不等式方向相同(反).,(2)對于y=Atan(x+)(A為常數(shù)),其周期 單調(diào)區(qū)間利用x+ (kZ),解出x的取值范圍,即為其單調(diào)區(qū)間,對于復(fù)合函數(shù)y= f(v),v=(x),其單調(diào)性的判定方法是:若y=f(v)和v

7、=(x)同為增(減)函數(shù)時,y=f(x)為增函數(shù);若y=f(v)和v=(x)一增一減時,y=f(x)為減函數(shù).,類型四三角函數(shù)的奇偶性 解題準(zhǔn)備:1.當(dāng)=k時,y=Asin(x+),y=Acos(x+)(A,0)分別為奇函數(shù)和偶函數(shù)(kZ). 2.當(dāng)=k+ 時,y=Asin(x+),y=Acos(x+)(A,0)分別為偶函數(shù)和奇函數(shù)(kZ).,3.函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的前提條件,因此在判斷函數(shù)奇偶性時,應(yīng)首先判斷函數(shù)定義域的對稱性. 4.當(dāng)函數(shù)定義域關(guān)于原點對稱時,只需分析f(-x)與f(x)的關(guān)系即可.,【典例4】判斷下列函數(shù)的奇偶性 (1)f(x)=|sinx|+cos

8、x (2)y=lg(sinx+ ) 分析先確定定義域,再用函數(shù)奇偶性的定義.,解(1)f(x)的定義域為R, f(-x)=|sin(-x)|+cos(-x)=|sinx|+cosx=f(x),故此函數(shù)是偶函數(shù).,反思感悟判斷函數(shù)奇偶性時應(yīng)注意“定義域關(guān)于原點對稱是函數(shù)為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要條件”的應(yīng)用.確定定義域是研究函數(shù)問題的前提,因此解函數(shù)問題的步驟是:先研究函數(shù)的定義域.再用相關(guān)定義加以判斷.,類型五三角函數(shù)的周期 解題準(zhǔn)備:三角函數(shù)周期的求法有三種: (1)定義法:即直接利用周期函數(shù)的定義求周期;,(2)公式法:三角函數(shù)y=sinx,y=cosx和y=tanx的周期分別為22和.函數(shù)y

9、=Asin(x+)的周期 函數(shù)y=Acos(x+)的周期為 函數(shù)y=Atan(x+)的周期為 (A,為常數(shù),A0); (3)轉(zhuǎn)化法:對于較為復(fù)雜的三角函數(shù),可通過恒等變形轉(zhuǎn)化為y=Asin(x+)+k,y=Acos(x+)+k,y=Atan(x+)+k的類型,再利用公式法求得.,反思感悟求三角函數(shù)最小正周期的基本方法有兩種:一是將所給函數(shù)化為y=Asin(x+)(或y=Acos(x+)的形式;二是利用圖象的基本特征求.,錯源一沒注意三角函數(shù)的有界性出錯 【典例1】求函數(shù)y=-3sin2x+9sinx+ 的最大值. 錯解配方得 , 故函數(shù)的最大值是ymax=8.,剖析上述解法的錯誤在于把題中函數(shù)

10、與通常的二次函數(shù)等同起來了,它們雖有相似之處但也有嚴(yán)格的區(qū)分.忽視了-1sinx1的隱含條件.,正解事實上,二次函數(shù) 在t-1,1上遞增.故原函數(shù)當(dāng)sinx=1時取最大值,即ymax=,評析正余弦的值域是固定在某一個確定的范圍內(nèi),在解三角題時,一定要深入挖掘條件中由正余弦函數(shù)有界性產(chǎn)生的隱含因素,否則就會擴大解集,造成解題的失誤.,錯源二確定單調(diào)性時不注意復(fù)合規(guī)律而致錯 【典例2】求函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間.,剖析上述解法忽視了復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的復(fù)合規(guī)律.因為構(gòu)成原函數(shù)的內(nèi)層函數(shù) 在(xR)上為減函數(shù),因此所求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為外層函數(shù)y=cosu的減區(qū)間.,錯源三確定函數(shù)的周期時不注意體現(xiàn)最小而

11、致錯 【典例3】求y=|sinx|+|cosx|的周期. 錯解設(shè)f(x)=|sinx|+|cosx|,因為f(x+)=|sin(x+)|+|cos(x+)|=|sinx|+|cosx|=f(x),所以f(x)最小正周期為. 剖析三角函數(shù)周期是指最小正周期,而上述解法沒有體現(xiàn)出所求周期為最小正周期.,正解因為y=|sinx|+|cosx|0,所以函數(shù)y的周期與函數(shù)y2=1+|sin2x|的周期相同,而y2=1+|sin2x|的周期為 所以函數(shù)y=|sinx|+|cosx|的周期為,評析求三角函數(shù)的最小正周期主要有三種方法:一是根據(jù)定義,但要注意體現(xiàn)最小;二是利用三角函數(shù)的圖象;三是公式法,即函數(shù)y=Asin(x+)+B,y=Acos(x+)+B,y=Atan(x+)+B(0)的最小正周期分別為,錯源四利用正切函數(shù)圖象求解方程根作圖有誤而致錯,剖析產(chǎn)生錯解的原因是對y=sinx與y=tanx的圖象的性質(zhì)認(rèn)識不清.,答案A,技法求函數(shù)周期的若干策略 一數(shù)形結(jié)合 當(dāng)一個函數(shù)的周期不容易求得時,畫出它的圖象是行之有效的好方法.,【典例1】已知函數(shù) 指出函數(shù)的最小正周期.,顯然函數(shù)的最小正周期為T=2.,二轉(zhuǎn)化與化歸 形如“y=tanx+cotx”、“y=tanx-cotx”類型的正切函數(shù)可以通過化簡轉(zhuǎn)換成單一函數(shù)名稱的三角函數(shù),然后再求周期.,【典例2】

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