18小振動.ppt

1、第十七講 小 振 動,本講導讀,動能和勢能的泰勒展開,線性齊次方程的求解,簡正頻率,簡正坐標,一、多自由度力學體系的小振動,一個完整的穩(wěn)定、保守的力學體系在平衡位置時的廣義坐標均等于零. 如果力學體系自平衡位置發(fā)生微小偏移, 力學體系的勢能可以在平衡位形區(qū)域內展成泰勒級數(shù),利用保守體系的平衡方程, 略去二級以上的高級項并令V=0, 就得到,在穩(wěn)定約束時, 動能T只是速度的二次齊次函數(shù), 即,式中系數(shù)a是廣義坐標q的顯函數(shù). 把a 在力學體系平衡位形的區(qū)域內展成泰勒級數(shù), 就得到,由于q值很小, 因此展開式中只保留頭一項, 動能T變?yōu)?現(xiàn)在式中系數(shù)a 是不變的. 展開式中的系數(shù)具有特別名稱, 即

2、c 稱為恢復系數(shù)或準彈性系數(shù), 而a 則稱為慣性系數(shù).,所以,把這些表示式代入拉格朗日方程式就得到力學體系在平衡位置附近的動力學方程,這是線性齊次常微分方程組, 它的解,式中A 及是常數(shù). 把這表示式代回, 得,從行列式,求出2s個的本征值l, (l1,2,2s). 然后求出一組A(l), 方程式的解即是,為了物體在平衡位置附近振動, 則力學體系的勢能V 0 (即平衡位置V0是極小值), 方程所有的根l為純虛數(shù).,既然l是純虛數(shù), 因此可令,這樣, 解可以寫為,實數(shù) 解為,實際上, 我們把的某一本征值l代入原方程后, 并不能得出s個互相獨立的常數(shù)A ( 1,2,s), 而只能得出它們的比, 因

3、為此時系數(shù)行列式等于零. 如果行列式的 (s-1)階代數(shù)余子式中有一個不等于零, 則在一組解A 中只有一個數(shù)是可以任意取的. 如果設此常數(shù)為A(l) ,則A (l)可寫為,即,在方程的解中共有2s2個常數(shù), 因為每個l對應一個任意常數(shù), 而共有2s個l, 所以2s2個常數(shù)只有2s個是獨立的. 這2s個常數(shù), 可由起始條件決定, 即t0時的初始位置和初始速度應為已知. 這樣，,實數(shù)解：,這里的l叫做簡正頻率, 它的數(shù)目共有 s個, 和力學體系的自由度數(shù)相等.,多自由度體系的小振動問題比較復雜的原因是在勢能和動能中都有交叉項(相互作用). 消除之,可以簡化問題.,因為動能總是正定的, 根據線性代數(shù)

4、理論, 總能找到線性變換,使得T和V同時變成正則形式, 即沒有交叉項. 變換后,相應的拉氏方程為,二、簡正坐標,所以,可得, 解,式中,坐標l叫做簡正坐標, l仍為簡正頻率.,每一個簡正坐標都做具有自己固有頻率 l的諧振動, 而廣義坐標, 作為簡正坐標的線性函數(shù), 將是s個諧振疊加而成的復雜運動.,例1 耦合擺 兩相同的單擺,長為a,擺錘的質量為m,用倔強系數(shù) 為k且其自然長度等于兩擺懸點之間距離的無重彈簧相耦合.略去阻尼作用,試求此體系的運動.,解:兩個擺在同一平面內振動,取振動平面為 xy平面, 并且令兩個擺錘的坐標為(x1, y1)及(x2,y2), 則由于約束關系(兩擺的擺長一定),

5、四個坐標中只有兩個是獨立的. 選x1及x2作為兩個廣義坐標, 而x1及x2等于零時相當于耦合擺的平衡狀態(tài). 耦合擺的勢能等于彈簧的彈性勢能與擺錘重力勢能兩者之和,即,耦合擺的動能為,因為,故,為了算出在平衡位置附近的勢能及動能, 按泰勒級數(shù)展開,可得,又,故在平衡位置附近, V與T簡化為,運用拉氏方程,得動力學方程,這是二階常系數(shù)線性齊次方程組,具有形式解,所以,此方程組有非零解的充要條件為,由此得到4個本征值如下:,這樣得到通解,把1,2帶入行列式,得到,4個任意常數(shù)由初始條件決定.,如果令 則1, 2將以單一的頻率1, 2振動, 因此1, 2就是簡正坐標.,例2 線對稱三原子分子的振動 設兩個質量為m的原子, 對稱地位于質量為M的原子兩側, 三者皆處于一直線上, 其間的相互作用可近似地認為是準彈性的, 即相當于用彈性系數(shù)為k的兩個相同彈簧把它們聯(lián)結起來. 如平衡時, M與每一m間的距離均等于b,求三者沿聯(lián)線振動時的簡正頻率.,解:由圖知, 若以水平軸x上某處O為原點. 系統(tǒng)的勢能為,而,令,則,本問題是三個自由度, 故q1,q2,q3就是廣義坐標, 由拉氏方程得,設解的形式為,帶入動力學方程組, 得,有非零解的條件