隨機(jī)變量函數(shù)的分布

1、問(wèn)題的提出,在實(shí)際中，人們有時(shí)對(duì)隨機(jī)變量的函數(shù)更感興趣。如: 已知圓軸截面直徑 D 的分布,2.4 隨機(jī)變量函數(shù)的分布,求截面面積 的分布。,一般地，設(shè)隨機(jī)變量 X 的分布已知，求Y = g(X) (設(shè) g 是連續(xù)函數(shù)) 的分布。,這個(gè)問(wèn)題無(wú)論在理論上還是在實(shí)際中都非常重要。,Y 的可能值為,即 0, 1, 4.,解:,例1:,2.4.1 離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布,故 Y 的分布律為,由此歸納出離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布律的求法.,離散型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布,2.4.2 連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布,解：設(shè) Y 的分布函數(shù)為 FY(y)，則,例2：設(shè)隨機(jī)變量X 有概率密度,求 Y = 2X+8 的概

2、率密度。,于是Y 的密度函數(shù),注意到,得,如何驗(yàn)證對(duì)否？,求導(dǎo)可得,當(dāng) y0 時(shí),例3：設(shè) X 具有概率密度f(wàn)X(x)，求Y=X2的密度。,解：設(shè)Y 和X的分布函數(shù)分別為FY(y)和FX(x),注意到 Y=X2 0，故當(dāng) y0時(shí)，F(xiàn)Y(y)=0；,從上述兩例中可以看到, 在求PYy的過(guò)程中, 關(guān)鍵的一步是設(shè)法從 g(X)y 中解出X,從而得到與 g(X)y 等價(jià)的X的不等式 。 例如: 用X(y-8)/2 代替 2X+8y,用 代替 X2 y 。,這樣做是為了利用已知的 X的分布，求出相應(yīng)的Y的分布函數(shù) FY (y)。,這是求隨機(jī)變量函數(shù) Y = g(X) 的分布函數(shù)的一種常用方法。,下面給出

3、一個(gè)定理，當(dāng)定理的條件滿(mǎn)足時(shí)，可直接求隨機(jī)變量函數(shù)的概率密度 。,定理的證明與前面的解題思路類(lèi)似。,其中 x = h(y) 是 y = g(x) 的反函數(shù)，,注意: 若 X的概率密度 fX(x)在區(qū)間(a，b)之外取值為零，就只需 g(x)在區(qū)間(a，b)是處處可導(dǎo)的嚴(yán)格單調(diào)函數(shù), 則隨機(jī)變量Y = g(X)是連續(xù)型隨機(jī)變量，概率密度為,證明：,X 的概率密度為,例4：,結(jié)論：,特別的，,解：由題設(shè)，知X的密度函數(shù)為,例5：已知,求Y的密度函數(shù).,所以當(dāng)0y時(shí)，有,因此得Y的密度函數(shù)為,解: X的概率密度為：,例6：已知X服從U(0,1)分布.求隨機(jī)變量Y的概率密度.,所以當(dāng)0y時(shí)，有,所以Y=2lnX的概率密度為,的概率密度為,注意：若函數(shù)g(x)在X的概率密度非零區(qū)間上不單調(diào)，不能用公式求Y=g(X)的概率密度，只能用定義法.,例7：設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為,求 Y = sinX 的概率密度。,解：注意到,0Y1.,當(dāng) y0 時(shí)， FY(y)=0；,當(dāng) y1時(shí)，F(xiàn)Y(y)=1；,當(dāng) 0 y 1時(shí),而,對(duì) FY (y) 求導(dǎo)，得,所以,1. 離散型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布,