行列式按一行（列）展開(kāi) 河西學(xué)院

1、一、余子式、代數(shù)余子式,二、行列式按行(列)展開(kāi)法則,三、小結(jié),2.6 行列式按一行（列）展開(kāi),例如,上一節(jié)我們利用行列式的性質(zhì)把一個(gè)行列式化為上三角或下三角行列式，然后根據(jù)定義算出行列式的值，或者把一個(gè)行列式化成其中含有盡量多個(gè)零的行列式，然后算出行列式的值。本節(jié)我們沿著另一條思路來(lái)計(jì)算行列式的值，即通過(guò)把高階行列式轉(zhuǎn)化為低階行列式來(lái)計(jì)算行列式的值。,如果我們能把n階行列式轉(zhuǎn)化為n-1階行列式，把n-1階行列式轉(zhuǎn)化為n-2階，而行列式的階數(shù)越小越容易計(jì)算，我們就可以化繁為簡(jiǎn)，化難為易，從而盡快算出行列式的值。,為了這個(gè)目的，我們需引進(jìn)如下概念：,一、余子式、代數(shù)余子式,定義1,在 n 級(jí)行列

2、式 中將元素 所在的,第 i 行與第 j 列劃去，剩下 個(gè)元素按原位置,次序構(gòu)成一個(gè) 級(jí)的行列式，,稱之為元素 的余子式,記作 ,令,稱 之為元素 的代數(shù)余子式,注：, 行列式中每一個(gè)元素分別對(duì)應(yīng)著一個(gè)余子式,和代數(shù)余子式,無(wú)關(guān)，只與該元素的在行列式中的位置有關(guān), 元素 的余子式和代數(shù)余子式與 的大小,例如,引理 一個(gè) 階行列式，如果其中第 行所有元素除 外都為零，那末這行列式等于 與它的代數(shù)余子式的乘積，即 ,例如,二 、行列式按行(列)展開(kāi)法則,先考慮比較特殊的情況，即一個(gè)n階行列式中某一行（列）除一個(gè)元素外，其余元素都為零的情況，這時(shí)有以下引理.,即有,又,從而,在證一般情形,此時(shí),得,得,中的余子式,故得,于是有,定理1 行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即,證,例1,證,用數(shù)學(xué)歸納法,n-1階范德蒙德行列式,推論 行列式任一行（列）的元素與另一行（列）的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即,證,同理,關(guān)于代數(shù)余子式的重要性質(zhì),例 計(jì)算行列式,解,按第一行展開(kāi)，得,例 計(jì)算行列式,解,例5.設(shè) 求,和,解：,練習(xí)：,1. 計(jì)算行列式,2. 設(shè) 求,答案：,1. 行列式按行（列）展開(kāi)法則是把高階行列式的計(jì)算化為低階行列式計(jì)算的重要工具.,三、小結(jié),思考題,求第一行各元素的代數(shù)余子式之