第三章 線性系統(tǒng)的時域分析(第1講).ppt

1、控制理論基礎(chǔ) Automatic Control theory,學(xué)時與學(xué)分：48/3 基本教學(xué)內(nèi)容與學(xué)時安排 一緒論 2 學(xué)時 二自動控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 7 學(xué)時 三時間響應(yīng)分析 8 學(xué)時 四頻率特性分析 8 學(xué)時 五系統(tǒng)的穩(wěn)定性 8 學(xué)時 六系統(tǒng)的性能指標(biāo)與校正 7 學(xué)時 七線性離散系統(tǒng) 8 學(xué)時,第三章 時間響應(yīng)分析,在建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型（包括微分方程與傳遞函數(shù)）之后，就可以采用不同的方法，通過系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型來分析系統(tǒng)的特性。時間響應(yīng)分析是重要的方法之一。 本章內(nèi)容 1.概括地討論系統(tǒng)的時間響應(yīng)及其組成。因為這是正確進(jìn)行時間響應(yīng)分析的基礎(chǔ)；所謂系統(tǒng)的時間響應(yīng)及其組成就是指描述系統(tǒng)的微分方程

2、的解與其組成，它們完全反映系統(tǒng)本身的固有特性與系統(tǒng)在輸入作用下的動態(tài)歷程；,2.典型的輸入信號;及一階、二階系統(tǒng)的典型時間響應(yīng)。 典型輸入信號便于進(jìn)行時間響應(yīng)分析；任何高階系統(tǒng)均可化為零階、一階、二階系統(tǒng)等的組合；任何輸入產(chǎn)生的時間響應(yīng)均可由典型輸入信號產(chǎn)生的典型時間響應(yīng)而求得；,3.1 時間響應(yīng)及其組成,首先來分析最簡單的振動系統(tǒng)，即無阻尼的單自由度系統(tǒng)。如圖3.1.1所示， 質(zhì)量為m與彈簧剛度為k的單自由度系統(tǒng)在外力Fcoswt的作用下，系統(tǒng)的動力學(xué)方程為3.1.1:,圖3.1.1 單自由度的m-k系統(tǒng),（3.1.1）,這一非齊次常微分方程的完全解由兩部分組成： 式中， 是齊次微分方程的通

3、解； 是其一個特解。由理論力學(xué)與微分方程中解的理論知： 式中， ，為系統(tǒng)的無阻尼固有頻率。 將式（3.1.4）代入式(3.1.1)，有 化簡得， 式中 ，于是，式（3.1.1）的完全解為,（3.1.2）,（3.1.3）,（3.1.4）,（3.1.5）,（3.1.6）,求解常數(shù)A與B：將上式對t求導(dǎo)，有 設(shè) 時， ，代入式（3.1.6）與（3.1.7），聯(lián)立解得： 代入式（3.1.6），整理得通解： 第一、二項:初始條件（初始狀態(tài)）引起自由響應(yīng)，第三項:作用力引起的自由響應(yīng)，其振動頻率均為Wn，幅值受到F的影。第四項:作用力引起的強(qiáng)迫響應(yīng)，其振動頻率為作用力頻率W.,（3.1.7）,（3.1.8

4、）,系統(tǒng)的時間響應(yīng)分類: 振動性質(zhì): 自由響應(yīng) 強(qiáng)迫響應(yīng); 振動來源: 零輸入響應(yīng)（初態(tài)”引起的自由響應(yīng)） 零狀態(tài)響應(yīng)（僅由輸入引起的響應(yīng)）。 控制工程主要研究:零狀態(tài)響。,一般的情況，設(shè)系統(tǒng)的動力學(xué)方程為： 方程的解（時間響應(yīng)）為通解 （即自由響應(yīng)）與特解 （ 即強(qiáng)迫響應(yīng)）所組成， 若式（3.1.9）的齊次方程的特征根 各相同，則 而 又分為兩部分，即 第一項:初態(tài)引起的自由響應(yīng)；第二項:輸入引起的自由響應(yīng)，,（3.1.9）,（3.1.10）,（3.1.11）,全解: 其中:n和 只取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)與參數(shù)。 當(dāng)輸入函數(shù)有導(dǎo)數(shù)項:方程為： 利用線性原理:利用方程(3.1.9)的解3.1.12）

5、，可分別求出 作用時的響應(yīng)函數(shù)，然后疊加，就可以求得方程（3.1.13）的解，即系統(tǒng)的響應(yīng)函數(shù)。 傳遞函數(shù)(初態(tài)為零)求解:Laplace逆變換 就是系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。,（3.1.12）,（3.1.13）,瞬態(tài)響應(yīng)： 若所的 ，自由響應(yīng)隨著時間逐漸衰減,當(dāng) 時自由響應(yīng)則趨于零,系統(tǒng)穩(wěn)定,自由響應(yīng)稱為瞬態(tài)響應(yīng). 反之，只要有一個 ，即傳遞函數(shù)的相應(yīng)極點 在復(fù)數(shù)s平面右半平面，自由響應(yīng)隨著時間逐漸增大，當(dāng) 時，自由響應(yīng)也趨于無限大,系統(tǒng)不穩(wěn)定，自由響應(yīng)就不是瞬態(tài)響應(yīng)。 穩(wěn)態(tài)響應(yīng):指強(qiáng)迫響應(yīng)。,穩(wěn)定性、響應(yīng)快速性、響應(yīng)準(zhǔn)確性:與自由響應(yīng)密切相關(guān)的。 的正負(fù):決定自由響應(yīng)是衰減與發(fā)散，系統(tǒng)穩(wěn)定與不穩(wěn)定

6、； 為負(fù)時,其絕對值的大小:決定自由響應(yīng)衰減速度，及系統(tǒng)響應(yīng)趨于穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的速度； :決定自由響應(yīng)的振蕩情況，決定系統(tǒng)的響應(yīng)在規(guī)定時間內(nèi)接近穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的情況，影響響應(yīng)的準(zhǔn)確性。,3.2 典型輸入信號,確定性信號和非確定性信號: 確定性信號：變量和自變量之間的關(guān)系能夠用一確定性函數(shù)描述。非確定性信號則反之，變量與自變量之間的關(guān)系是隨機(jī)的，只服從某些統(tǒng)計規(guī)律。 分析和設(shè)計系統(tǒng):采用典型輸入信號，比較其時間響應(yīng)。 任意輸入信號的時間響應(yīng):利用系統(tǒng)對典型輸入信號的響應(yīng)，由關(guān)系式 或 （*表卷積），就能求出。,輸入信號：正常工作輸入信號；外加測試信號;單位脈沖函數(shù)、單位階躍函數(shù)、單位斜坡函數(shù)、單位拋物線函數(shù)

7、、正弦函數(shù)和某些隨機(jī)函數(shù)。,a單位脈沖函數(shù),b單位階躍函數(shù),c單位斜坡函數(shù),d單位拋物線函數(shù),e正弦函數(shù),f隨機(jī)函數(shù),圖3.2.1 典型輸入信號,單位階躍函數(shù):其導(dǎo)數(shù)為零，對控制系統(tǒng)只給出了位置，故稱位置輸入信號； 單位斜坡函數(shù):其導(dǎo)數(shù)為常數(shù)，一般稱為恒速輸入信號或速度輸入信號； 單位拋物線函數(shù):其二次導(dǎo)數(shù)為常數(shù)，稱為加速度輸入信號。,下面分析一階與二階系統(tǒng)對單位脈沖與單位階躍函數(shù)的時間響應(yīng),3.3 一階系統(tǒng),一階微分方程描述的系統(tǒng)稱為一階系統(tǒng)，其微分方程和傳遞函數(shù)的一般形式為： T 稱為一階系統(tǒng)的時間常數(shù)，它表達(dá)了一階系統(tǒng)本身的與外界作用無關(guān)的固有特性，亦稱一階系統(tǒng)的特征參數(shù),一 一階系統(tǒng)的

8、單位脈沖響應(yīng),輸入信號 是理想的單位脈沖函數(shù) 時，系統(tǒng)輸出 稱為單位脈沖響應(yīng)函數(shù)或簡稱為單位脈沖響應(yīng)，記為 單位脈沖響應(yīng)函數(shù):系統(tǒng)傳遞函數(shù)的Laplace逆變換，即 所以,（3.3.1）,只有瞬態(tài)項，而B（t）為零。由式（3.3.1）可得表3.3.1,一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)函數(shù)是一個單調(diào)下降的指數(shù)曲線。 過渡過程：將指數(shù)曲衰減到初值的2%之前的過程定義為過渡過程，相應(yīng)的時間為4T。稱此時間為過渡過程時間或調(diào)整時間，記為 。 系統(tǒng)的時間常數(shù)T愈小, 愈短,系統(tǒng)的慣性愈小，反應(yīng)的快速性能愈好。 脈沖響應(yīng)形式類似與零輸入響應(yīng)。,實際脈沖信號:具有一定的脈沖寬度和有限的幅度的來代替理想的脈沖信號,脈沖

9、寬度與系統(tǒng)的時間常數(shù)T比，一般為:,二 一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng),輸入信號為單位階躍函數(shù)時，即 響應(yīng)函數(shù)的Laplace變換式為： 其時間響應(yīng)函數(shù)記為 為： 由式（3.3.2）和式（3.1.12）可知， 中 是瞬態(tài) 項，1是穩(wěn)態(tài)項B（t）,（3.3.2）,由式（3.3.2）可得表3.3.2和圖3.3.2,如圖3.3.2所示，式（3.3.2）表示的一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)是一條單調(diào)上升指數(shù)曲線，穩(wěn)態(tài)值為 。曲線有兩個重要的特征點。 A點：其對應(yīng)的時間t=T時，系統(tǒng)的響應(yīng) 達(dá)到了穩(wěn)態(tài)值的63.2%； 零點：其對應(yīng)的t=0時， 的切線斜率（響應(yīng)速度）等于1/T。 指數(shù)曲線的斜率，即速率 是隨時間t的增大

10、而單調(diào)減小的，當(dāng)t為 時，其響應(yīng)速度為零； 當(dāng) 時，響應(yīng)已達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的98%以上，過渡過程時間 時間常數(shù)T 反映了固有特性，其值愈小，系統(tǒng)的慣性就愈小，系統(tǒng)的響應(yīng)也就愈快。,實驗方法求一階系統(tǒng)的傳遞函數(shù) ：,1. 輸入單位階躍信號，并測出它的響應(yīng)曲線，及穩(wěn)態(tài)值 ； 2.從響應(yīng)曲線上找出0.632 （即特征點A）所對應(yīng)的時間t,或t=0點的切線斜率 3.參考式（3.3.1）求出 ，或者，由單位階躍響應(yīng) ，根據(jù)關(guān)系 ；求得 ； 4由 求得 。,3.4 二階系統(tǒng),二階微分方程描述的系統(tǒng)稱為二階系統(tǒng)： 是二階系統(tǒng)的特征參數(shù)，表明固有特性。 二階系統(tǒng)的特征方程： 由此得兩個特征根為 由式（3.4.2）可

11、見，隨著阻尼比取值的不同，二階系統(tǒng)的特征根也不同。,（3.4.1）,（3.4.2）,（1）當(dāng) 時，特征根為共軛復(fù)數(shù) 一對位于復(fù)數(shù)s平面的左半平面內(nèi)的共軛復(fù)數(shù)極點，系統(tǒng)為欠阻尼系統(tǒng)。 （2）當(dāng) 時，兩特征根為共軛純虛根，即 系統(tǒng)為無阻尼系統(tǒng)。 （3）當(dāng) 時，特征方程有兩個相等的負(fù)實根，即 系統(tǒng)為臨界阻尼系統(tǒng)。 （4）當(dāng) 時，特征方程有兩個不等的負(fù)實根 系統(tǒng)為過阻尼系統(tǒng)。,過阻尼二階系統(tǒng)；傳遞函數(shù)可分解為兩個一階慣性環(huán)節(jié)相加或相乘,因此可視為兩個一階環(huán)節(jié)的并聯(lián)，也可視為兩個一階環(huán)節(jié)的串聯(lián)。 臨界阻尼的二階系統(tǒng)： 傳遞函數(shù)可分解為兩個相同的一階慣性環(huán)節(jié)相乘,但考慮負(fù)載效應(yīng),是不能等價為兩個相同的一階

12、慣性環(huán)節(jié)串、并聯(lián)。特殊情況下，有可能等價為兩個不同的一階慣性環(huán)節(jié)串聯(lián)。,一 二階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng),輸入信號是理想的單位脈沖函數(shù) 時，系統(tǒng)的輸出 稱為單位脈沖響應(yīng)函數(shù)，特別記為 。對于二階系統(tǒng)，因為 而 所以 同樣有： 記 ，稱 為二階系統(tǒng)的有阻尼固有頻率。,3.4.3,（1）當(dāng) ，欠阻尼系統(tǒng)時，由式（3.4.3）可得 （2）當(dāng) ，系統(tǒng)為無阻尼系統(tǒng)時，由式（3.4.3）可得 （3）當(dāng) ，系統(tǒng)為臨界阻尼系統(tǒng)時，由式（3.4.3）可得,3.4.4,3.4.5,3.4.6,（4）當(dāng) 1，系統(tǒng)為過阻尼系統(tǒng)時，由式（3.4.3）可得 由式（3.4.7）可知，過阻尼系統(tǒng)可視為兩個并聯(lián)的一階系統(tǒng)的單位脈沖響

13、應(yīng)函數(shù)的疊加。 當(dāng) 取不同值時，二階欠阻尼系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)如圖3.4.2所示。,3.4.7,欠阻尼系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)曲線:減幅的正弦振蕩曲線。愈小，衰減愈慢，振蕩頻率 愈大。故欠阻尼系統(tǒng)又稱為二階振蕩系統(tǒng)，其幅值衰減的快慢取決于 稱為時間衰減函數(shù)，記為)。 對于欠阻尼系統(tǒng)，單位脈沖響應(yīng)的最大值可由式（3.4.4）求得。 令 ，可解得 將此值代入式（3.4.4），得,二 二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng),若系統(tǒng)的輸入信號為單位階躍函數(shù)，即 則二階系統(tǒng)的階躍路應(yīng)函數(shù)的Laplace變換式為：,其響應(yīng)函數(shù)討論如下：,（1）當(dāng) ，系統(tǒng)為欠阻尼系統(tǒng)時，由式（3.4.8）有 或 式（3.4.10）中的第二項是瞬態(tài)

14、項，是減幅正弦振蕩函數(shù)，它的振幅隨時間t的增加而減小。,（3.4.10）,（2）當(dāng) ，系統(tǒng)為無阻尼系統(tǒng)時，由式(3.4.9)可知 （3）當(dāng) ，系統(tǒng)為臨界阻尼系統(tǒng)時，由式（3.4.8），有 其響應(yīng)的變化速度為： 由此式可知：當(dāng)t=0時， 時， 時， ，這說明過渡過程在開始時刻和最終時刻的變化速度為零，過渡過程是單調(diào)上升的。,(3.4.12),（4）當(dāng) ，系統(tǒng)為過阻尼系統(tǒng)時，由式（3.4.8）有 式中，,(3.4.13),計算表明，當(dāng) 時，在式（3.4.13）的兩個衰減的指數(shù)項中， 的衰減比 的要快得多，因此，過渡過程的變化以 項其主要作用。從S平面看，愈靠近虛軸的根，衰減越慢，對過渡過程影響愈大

15、，起主導(dǎo)作用。,式（3.4.10）式（3.4.13）所描述的單位階躍響應(yīng)函數(shù)如圖3.4.3所示,二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)函數(shù)過渡過程特性 ：為衰減振蕩，隨著阻尼的減小，振蕩愈加強(qiáng)烈；=0：等幅振蕩；=1和1時：單調(diào)上升。 過渡過程的持續(xù)時間： 無振蕩單調(diào)上升的曲線：=1時的時間t最短； 在欠阻尼系統(tǒng)中，當(dāng)=0.4-0.8時，時間比=1時的更短，而且振蕩不太嚴(yán)重。 設(shè)計：二階系統(tǒng)一般工作在=0.4-0.8的欠阻尼狀態(tài)。保證振蕩適度、持續(xù)時間較短。 特征參數(shù) 與值 決定 瞬態(tài)響應(yīng) 決定 過渡過程。,在根據(jù)給定的性能指標(biāo)設(shè)計系統(tǒng)時，將一階系統(tǒng)與二階系統(tǒng)相比，通常選擇二階系統(tǒng)，這是因為二階系統(tǒng)容易得到較

16、短的過渡過程時間，并且也能同時滿足對振蕩性能的要求。,三 二階系統(tǒng)響應(yīng)的性能指標(biāo),考慮：一）產(chǎn)生階躍輸入比較容易，而且從單位階躍響應(yīng)也較容易求得任何其它輸入的響應(yīng)；二）在實際中，許多輸入與階躍輸入相似，而且階躍輸入又往往是實際中最不利的輸入情況。 因此:性能指標(biāo)以系統(tǒng)對單位階躍輸入的時域響應(yīng)量值給出。 因為：無振蕩的單調(diào)過程的過渡時間太長，故除了那些不允許產(chǎn)生振蕩的系統(tǒng)外，通常都允許系統(tǒng)有適度的振蕩，以獲得較短的過渡過程時間。 所以：在設(shè)計二階系統(tǒng)時，常使系統(tǒng)在欠阻尼（通常取 ）狀態(tài)下工作。,有關(guān)二階系統(tǒng)響應(yīng)的性能指標(biāo)的定義及計算公式除特別說明者外，都是針對欠阻尼二階系統(tǒng)而言的； 更確切地說，

17、是針對欠阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)的過渡過程而言的。 欠阻尼二階系統(tǒng)的單位階響應(yīng)的過渡過程的特性，通常采用下列性能指標(biāo)（見圖3.4.4）描述:,（1）上升時間 （2）峰值時間 （3）最大超調(diào)量 （4）調(diào)整時間 （5）振蕩次數(shù)N,1、上升時間,響應(yīng)曲線從原工作狀態(tài)出發(fā)，第一次達(dá)到輸出穩(wěn)態(tài)值所需的時間定義為上升時間（對于過阻尼系統(tǒng)，一般將響應(yīng)曲線從穩(wěn)態(tài)值的10%上升到90%所需的時間稱為上升時間）。 欠阻尼二階系統(tǒng)（ ），階躍相應(yīng)為： 根據(jù)定義， 時， 由式（3.4.9），得 考慮 故有 令 得 因為上升時間 是 第一次到達(dá)輸出穩(wěn)態(tài)值的時間，故取 即 由關(guān)系式 ，當(dāng) 增大， 就增大。,(3.4.9

18、),2、峰值時間,響應(yīng)曲線達(dá)到第一個峰值所需的時間定義為峰值時間，將式（3.4.9）對時間t求導(dǎo)數(shù)，并令其為零，便可求得峰值時間即由 由定義取 因此 可見峰值時間是有阻尼振蕩周期 的一半，另外，由關(guān)系式（3.4.15）及 可知，當(dāng)一定時， 增大， 就減??；當(dāng) 一定時，增大， 就增大，此情況與 的相同。,(3.4.15),3、最大超調(diào)量,最大超調(diào)量定義，即 因為最大超調(diào)量發(fā)生在峰值時間， 時，故將式（3.4.9）與 代入式（3.4.16），可求得： 超調(diào)量 只與阻尼比有關(guān)，而與無阻尼固有頻率 無關(guān)。所以， 的大小說明系統(tǒng)的阻尼特性。當(dāng)系統(tǒng)阻尼比確定后，即可求得與其相對的超調(diào)量 ；反之，如果給出了

19、系統(tǒng)所要求的 ，也可由此確定相應(yīng)的阻尼比。當(dāng)=0.40.8時，相應(yīng)的超調(diào)量 。,4、調(diào)整時間,是指定微小量，一般取 所需的時間，定義為調(diào)整時間 。，在 之后，系統(tǒng)的輸出不會超過下述允許范圍： 又因此時 因此 由 所表示的曲線是式（3.4.20）所描述的減幅正弦曲線的包絡(luò)線，因此，可將由式（3.4.20）所表達(dá)的條件改為： 解得,代入式（3.4.19），得,若取 得 若取 得 當(dāng) 時，可分別將式（3.4.22）和式（3.4.23）近似取為： 與之間的精確關(guān)系，可由式（3.4.20）求得，當(dāng) ， 為最?。划?dāng) ， 為最小，在設(shè)計二階系統(tǒng)時，一般取 作為最佳阻尼比。 此時不僅 小，而且起調(diào)量 也不大，

20、取 的另一理由將在4.4中說明。,（3.4.22）,（3.4.23）,具體設(shè)計：根據(jù)最大超調(diào)量 的要求，確定阻尼，所以調(diào)整時間 主要是根據(jù)系統(tǒng)的 來確定的。 由此可見，二階系統(tǒng)的特征參數(shù) 決定系統(tǒng)的調(diào)整時間 和最大超調(diào)量 ；反過來，根據(jù)對 的要求，也能確定二階系統(tǒng)的特征參數(shù) 。,5、振蕩次數(shù)N,在過渡過程時間 內(nèi)， 穿越其穩(wěn)態(tài)值 的次數(shù)的一半定義為振蕩次數(shù)，從式（3.4.10）可知，系統(tǒng)的振蕩周期是 所以其振蕩次數(shù)為： 因此，當(dāng) 時，由 ，得 從式（3.4.24）和式（3.4.25）可以看出，振蕩次數(shù)N隨著的增大而減小，它的大小直接反映了系統(tǒng)的阻尼特性。,（3.4.24）,（3.4.25）,由

21、以上討論，可得如下結(jié)論：,（1）要使二階系統(tǒng)具有滿意的動態(tài)性能指標(biāo)，必須選擇合適的阻尼比和無阻尼固有頻率 ， 提高 ，可以提高系統(tǒng)的響應(yīng)速度，減少 增大，可以減弱系統(tǒng)的振蕩性能，降低 ，減小N，但增大 。 一般情況下，系統(tǒng)在欠阻尼狀態(tài) 下工作，通常根據(jù)允許的超調(diào)量來選擇阻尼比. （2）系統(tǒng)的響應(yīng)速度與振蕩性能（穩(wěn)定性）之間是存在矛盾的。要兼顧系統(tǒng)的振蕩性能和響應(yīng)速度，就要選取合適的和 值。,四.二階系統(tǒng)計算舉例,解 由圖3.4.6（a）可知， 是階躍力輸入， 8.9N， 是輸出位移。由圖3.4.6（b）可知系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出 0.03m， 0.0029m， ，此系統(tǒng)的傳遞函數(shù)顯然為： 式中：,（1

22、）求k 由Laplace變換的終值定理可知：,而 0.03m，因此k297N/m.。 其實，根據(jù)Hooker定律很容易直接計算k。因為 即為靜變形， 即可視為靜載荷，從而有 即得,(2 ) 求m 由式（3.4.16）得,又由式（3.4.17）求得 將 代入 中，得 。 再由 求得m77.3kg。 （3） 求c 由 ，求得,例3.,解 (1) 將系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)寫成如式（3.4.1）所示的標(biāo)準(zhǔn)型式： 對照式（3.4.1），可知此二階系統(tǒng)的 和 。將值代入式（3.4.17）得 但 ，故不能滿足本題要求。,(2)圖3.4.7（b）所示系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為： 為了滿足條件： ，由式（3.4.17）算

23、得 。現(xiàn)因 ，而 從而求得 從此題可以看出，如第二章所講，當(dāng)系統(tǒng)加入微分負(fù)反饋時，相當(dāng)于增加了系統(tǒng)的阻尼比，改善了系統(tǒng)振蕩性能，即減小了 ，但并沒有改變無阻尼固有頻率 。, 3.5 高階系統(tǒng)的響應(yīng)分析,實際上，大量的系統(tǒng)，用高階微分方程來描述。這種系統(tǒng)叫做高階系統(tǒng)。 對高階系統(tǒng)的研究和分析，一般是比較復(fù)雜的。在分析高階系統(tǒng)時，要抓住主要矛盾，忽略次要因素，使問題簡化為零階、一階與二階環(huán)節(jié)等的組合，而且也可包含延時環(huán)節(jié)，而一般所關(guān)注的，往往是高階系統(tǒng)中的二階振蕩環(huán)節(jié)的特性。 因此，本節(jié)將著重闡明高階系統(tǒng)過渡過程的閉環(huán)主導(dǎo)極點的概念，并利用這一概念，將高階系統(tǒng)簡化為二階振蕩系統(tǒng)。,351 高階系統(tǒng)

24、的時間響應(yīng)分析,設(shè)高階系統(tǒng)的動力學(xué)方程（此處未計入延時環(huán)節(jié)）為： 于是系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：,（3.5.1）,若n階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)有q個實數(shù)極點和2r個共軛復(fù)數(shù)極點（包含共軛虛數(shù)）則可寫成為： 故系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)函數(shù)的Laplace變換式為： 式中,由以上分析可知，在系統(tǒng)的傳遞函數(shù)的極點中，如果距虛軸最近的一對共軛復(fù)數(shù)極點的附近沒有零點，而其他的極點距虛軸的距離都在這對極點距虛距離的五倍數(shù)上時，則系統(tǒng)的過渡過程的形式及其性能指標(biāo)主要取決于距虛軸最近的這對共軛復(fù)數(shù)極點。這種距虛軸最近的極點稱為“主導(dǎo)極點”，它們經(jīng)常以共軛復(fù)數(shù)的形式成對出現(xiàn)。 應(yīng)用主導(dǎo)極點分析 高階系統(tǒng)的過渡過程，實質(zhì)上就是把高階系

25、統(tǒng)近似作為二創(chuàng)振蕩系統(tǒng)來處理，這樣就大大簡化了系統(tǒng)的分析和綜合工作，但在應(yīng)用這種方法時一定要注意條件，同時還要注意，在精確分析中，其他極點與零點對系統(tǒng)過渡的影響不能忽視。,3.6 系統(tǒng)誤差分析與計算,“準(zhǔn)確”是控制系統(tǒng)的一個重要性能 。 實際系統(tǒng)：輸出量不能絕對精確地達(dá)到所期望的數(shù)值，期望的數(shù)值與實際輸出的差就是所謂的誤差。 1.存在隨機(jī)干擾作用時，可能帶來隨機(jī)誤差； 2.元件的性能不完善、變質(zhì)或者存在諸如干摩擦、間隙、死區(qū)等非線性時，也可能帶來誤差。 本節(jié)討論在沒有隨機(jī)干擾作用，元件也是理想的線性元件的情況下，系統(tǒng)的誤差。,穩(wěn)定的自動控制系統(tǒng)，在某一典型輸入作用下，系統(tǒng)的運動大致可以分為兩個

26、階段：過渡過程或瞬態(tài)；某種新的平衡狀態(tài)或穩(wěn)態(tài)。 系統(tǒng)的輸出量:瞬態(tài)分量(或自由響應(yīng));穩(wěn)態(tài)分量(或強(qiáng)迫響應(yīng)) 系統(tǒng)的誤差:瞬態(tài)誤差;穩(wěn)態(tài)誤差 瞬態(tài)誤差隨過渡過程逐漸衰減，穩(wěn)態(tài)誤差最后成為誤差的主要部分。這一誤差與系統(tǒng)的輸入、系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)。 對不穩(wěn)定系統(tǒng)根本談不上誤差問題。,1.系統(tǒng)的誤差e(t)與偏差的計算,控制系統(tǒng)的誤差：以系統(tǒng)輸出端為基準(zhǔn)來定義的。 設(shè) 是控制系統(tǒng)所希望的輸出， 是其實際的輸出，則誤差定義為： 其Laplace變換記為 （為避免與偏差E(s)混淆，用下標(biāo)1區(qū)別）， 控制系統(tǒng)的偏差：以系統(tǒng)的輸入端為基準(zhǔn)來定義的,記為： 其Laplace變換為 ： 式中，H(s)為反饋

27、回路的傳遞函數(shù)；,(3.6.1),(3.6.2),偏差 之間存在關(guān)系：閉環(huán)控制系統(tǒng)之所以能對輸出Xo(s)起自動控制作用，就在于運用偏差 進(jìn)行控制。當(dāng) 時，由于E(s)0，控制作用力圖將Xo(s)值調(diào)節(jié)到Xor(s)值；反之 時，應(yīng)有E(s)0，而使 不再對Xo(s)進(jìn)行調(diào)節(jié)。,當(dāng) 時: 故 或 由上式可求得一般情況下系統(tǒng)的誤差與偏差之間的關(guān)系為： 或 偏差：在實際系統(tǒng)中是可以測量的,因而具有一定的物理意義；誤差：在實際系統(tǒng)中無法測量，因而一般只具有數(shù)學(xué)意義，在性能指標(biāo)中經(jīng)常使用。 在后面敘述中，均采用偏差進(jìn)行計算與分析。如果需要計算誤差，求出偏差后依據(jù)(3.6.4)式可求出。 對單位反饋系統(tǒng)

28、來說來說 ，故偏差 與誤差e(t)相同.上述關(guān)系如圖3.6.1所示。,(3.6.4),(2) 誤差e(t)的一般計算,一般情況下分析、計算系統(tǒng)的誤差e(t)：設(shè)輸入 與干擾N(s)同時作用于系統(tǒng)，如圖3.6.2所示.,現(xiàn)可求得在圖示情況下的Xo(s)，即 式中， 為輸入與輸出之間的傳遞函數(shù) 為干擾與輸出之間的傳遞函數(shù) 將式（3.6.3）、式（3.6.5）代入式（3.6.1）得：,3.6.5,式中， 為無干擾n(t)時誤差e(t)對于輸入xi(t)的傳遞函數(shù)， 為無輸入xi(t)時誤差e(t)對于干擾n(t)的傳遞函數(shù)。 與 總稱為誤差傳遞函數(shù)，反映了系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)與參數(shù)對誤差的影響。,（3.6.6

29、）,3.系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差與穩(wěn)態(tài)偏差,系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差：穩(wěn)定的系統(tǒng)進(jìn)入穩(wěn)態(tài)后的誤差,因此, 穩(wěn)態(tài)誤差的定義為： 為了計算穩(wěn)態(tài)誤差，可先求出系統(tǒng)的誤差信號的Laplace變換式，再用終值定理求解 同理，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)偏差,3.6.7,3.6.8,3.6.9,4.與輸入有關(guān)的穩(wěn)態(tài)偏差,現(xiàn)分析如圖3.6.3所示的系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)偏差。由圖3.6.3可知 故 由終值定理得穩(wěn)態(tài)偏差為 即,（3.6.10）,（3.6.11）,穩(wěn)態(tài)偏差不僅與系統(tǒng)特性（結(jié)構(gòu)與參數(shù)）有關(guān)，而且與輸入信號特性有關(guān)。,設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)Gk(s)為 式中，n,m分別為GK(s)的分母，分子階數(shù)，k是系統(tǒng)的開環(huán)增益, v為串聯(lián)積分環(huán)節(jié)的個數(shù)，或稱

30、系統(tǒng)的無差度，它表征遼系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)特征。,3.6.12,若記 顯然 則將系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)表達(dá)為 工程上一般規(guī)定： v=0,1,2時 分別稱為0型,I 型和II 型系統(tǒng)。v 愈高,穩(wěn)態(tài)精度愈高,但穩(wěn)定性愈差,因此,一般系統(tǒng)不超過III型。,3.6.13,（1）當(dāng)輸入為階躍信號（位置輸入信號） 時，系 統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)偏差為,式中， 稱 為位置無偏系數(shù)。 表示單位階躍輸入時的穩(wěn)態(tài)偏差，稱穩(wěn)態(tài)位置偏差 對于 0型系統(tǒng)， ， ，為有差系統(tǒng)，且K愈大 愈小。 對于I 、II 型系統(tǒng)， ， ，為位置無差系統(tǒng)。 可見，當(dāng)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)中有積分環(huán)節(jié)存在時，系統(tǒng)階躍響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)值將是無差的。而沒有積分環(huán)節(jié)時，穩(wěn)態(tài)是有差

31、的。為了減少誤差，應(yīng)當(dāng)適當(dāng)提高放大倍數(shù)。但過大的K值，將影響系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性。,3.6.14,3.6.15,（2）當(dāng)輸入為斜坡信號（速度輸入）時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)偏差,xi(t)=r(t)=t (t0)， Xi(s)=1/s2， 稱 為速度無偏系數(shù)， 對于0型系統(tǒng)， 對于I型系統(tǒng)， 對于II型系統(tǒng)， 表示單位斜坡輸入時的穩(wěn)態(tài)偏差，稱穩(wěn)態(tài)速度偏差。,3.6.16,3.6.17,上述分析說明，0型系統(tǒng)不能適應(yīng)斜坡輸入，因為其穩(wěn)態(tài)偏差為；I型系統(tǒng)能跟蹤斜坡輸入，但存在穩(wěn)態(tài)偏差，同樣可以增大K值來減少偏差；對于II型或高于II型的系統(tǒng)，對斜坡輸入響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)是無差的。用三角波模擬I型系統(tǒng)斜坡輸入時的輸出波形如

32、圖3.6.4所示。,（3）當(dāng)輸入為拋物線信號（加速度）輸入時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)偏差,xi(t)= t2/2 (t0)，Xi(s)=1/s3 式中 稱為加速度無偏系數(shù)。 對于 0、I型系統(tǒng)， 對于II 型系統(tǒng)，,3.6.19,3.6.18,可見，當(dāng)輸人為加速度信號時，0、工型系統(tǒng)不能跟隨，型為有差，要無差則應(yīng)采用型或高于型的系統(tǒng)。型系統(tǒng)加速度信號輸人時，輸入輸出波形如圖365所示。上述討論的穩(wěn)態(tài)偏差根據(jù)式(364)可以換算為穩(wěn)態(tài)誤差。,綜上所述，在不同輸入時不同類型系統(tǒng)中的穩(wěn)態(tài)偏差可以列成表361。,系統(tǒng)的輸入,系統(tǒng)的開環(huán),根據(jù)上面的討論，可歸納出如下幾點：,(1)無偏系數(shù)的物理意義：穩(wěn)態(tài)偏差與輸入信

33、號的形式有關(guān)，在隨動系統(tǒng)中一般稱階躍信號為位置信號，斜坡信號為速度信號，拋物線信號為加速度信號。 由輸人“某種”信號而引起的穩(wěn)態(tài)偏差用一個系數(shù)來表示，就叫“某種”無偏系數(shù)，如位置無偏系數(shù)，它表示了穩(wěn)態(tài)的精度?！澳撤N”無偏系數(shù)愈大，精度愈高；當(dāng)無偏系數(shù)為零時即穩(wěn)態(tài)偏差，表示不能跟隨輸出；無偏系數(shù)為 ，則穩(wěn)態(tài)無差。,(2)增加系統(tǒng)的型別時，系統(tǒng)的準(zhǔn)確度將提高，然而當(dāng)系統(tǒng)采用增加開環(huán)傳遞函數(shù)中積分環(huán)節(jié)的數(shù)目的辦法來增高系統(tǒng)的型別時，系統(tǒng)的穩(wěn)定性將變差， 開環(huán)傳遞函數(shù)中包含兩個以上積分環(huán)節(jié)時，要保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性是比較困難的，因此型或更高型的系統(tǒng)實現(xiàn)起來是不容易的，實際上也是極少采用的。 增大K也可以有

34、效地提高系統(tǒng)的準(zhǔn)確度，然而也會使系統(tǒng)的穩(wěn)定性變差。因此，穩(wěn)定與準(zhǔn)確是有矛盾的，需要統(tǒng)籌兼顧。為了減小誤差，是增大系統(tǒng)的開環(huán)放大倍數(shù)K還是提高系統(tǒng)的型別也需要根據(jù)具體情況作全面的考慮。,(3)根據(jù)線性系統(tǒng)的疊加原理，可知當(dāng)輸入控制信號是上述典型信號的線性組合時，即 輸出量的穩(wěn)態(tài)偏差應(yīng)是它們分別作用時穩(wěn)態(tài)偏差之和，即 (4)對于單位反饋系統(tǒng)，穩(wěn)態(tài)偏差等于穩(wěn)態(tài)誤差。對于非單位反饋系統(tǒng)，可由式(364)將穩(wěn)態(tài)偏差換算為穩(wěn)態(tài)誤差。必須注意，不能將系統(tǒng)化為單位反饋系統(tǒng)，再由計算偏差得到誤差，因為兩者計算出的偏差和誤差是不同的。,例361 設(shè)具有測速發(fā)電機(jī)反饋的位置隨動系統(tǒng)如圖3.6.6及3.6.7所示。要

35、求計算當(dāng) ,系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)偏差，并對系統(tǒng)在不同輸入形式下，具有不同穩(wěn)態(tài)偏差的現(xiàn)象進(jìn)行物理說明。,圖3.6.6,圖3.6.7,解:圖3.6.6與圖3.6.7是同一個系統(tǒng),后者是原來的結(jié)構(gòu)圖,前者則是由后者變化而來. 下面現(xiàn)分別求穩(wěn)態(tài)偏差. 圖3.6.6所示，開環(huán)傳遞函數(shù): ,為I型系統(tǒng): 圖3.6.7所示系統(tǒng),開環(huán)傳遞函數(shù)為 ,為I型系統(tǒng),同一系統(tǒng)不同結(jié)構(gòu)圖下求得的偏差不同: 物理意義從圖3.6.7較好解釋: 系統(tǒng)對于階躍輸入信號不存在穩(wěn)態(tài)偏差,由于系統(tǒng)受到階躍位置信號作用后，其穩(wěn)態(tài)輸出必定是一個恒定的位置，這時伺服電動機(jī)必須停止轉(zhuǎn)動。顯然，要使電動機(jī)不轉(zhuǎn)，加在電動機(jī)控制繞組上的電壓必須為零。這就意

36、味著偏差信號的穩(wěn)態(tài)值等于零，因此系統(tǒng)不存在位置偏差。 斜坡輸入信號作用于系統(tǒng)，那么系統(tǒng)的輸出量在進(jìn)入穩(wěn)態(tài)以后，必定以輸入信號的速度轉(zhuǎn)動。這樣，就要求電動機(jī)作恒速運轉(zhuǎn)，因此在電動機(jī)控制繞組上需要作用以一個恒定的電壓，由此推得偏差信號的終值應(yīng)等于一個常值，所以系統(tǒng)存在常值速度偏差o 等加速輸入信號作用于系統(tǒng)時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出也應(yīng)作等加速變化，為此要求電動機(jī)控制繞組有等加速變化的電壓輸入，最后歸結(jié)為要求誤差信號隨時間線性增長。顯然，當(dāng) 時， 系統(tǒng)的加速度偏差差必為無窮大。,5.與干擾有關(guān)的穩(wěn)態(tài)偏差,對系統(tǒng)除應(yīng)考慮控制的輸入作用外，還應(yīng)考慮各種擾動的輸入作用。系統(tǒng)在擾動作用下的穩(wěn)態(tài)偏差反映了系統(tǒng)的抗干

37、擾能力，對如圖3.6.2所示系統(tǒng)，在考慮干擾的影響時，可以不考慮輸入，即令 ，此時，由干擾引起的誤差，即為干擾所引起的輸出。 由干擾引起的穩(wěn)態(tài)偏差可由下式算出 根據(jù)式(6.2.4)可換算得穩(wěn)態(tài)誤差.下面通過例子，討論控制器設(shè)計問題。,3.6.20,3.6.21,3.6.22,3.6.23,例362，圖3.6.8是采用比例控制器的系統(tǒng)。比例控制器輸出力矩M，用以改變被控對象的位置，N表示出現(xiàn)在執(zhí)行機(jī)構(gòu)上的階躍力矩擾動。所謂比例控制規(guī)律是指控制器輸出信號與誤差信號之間呈比例關(guān)系，輸入信號及干擾均為單位階躍信號，分析系統(tǒng)其穩(wěn)態(tài)偏差？,圖3.6.8 比例控制規(guī)律控制階躍干擾,解：令 ，開環(huán)傳遞函數(shù): ,為I型系統(tǒng)，階躍輸入下，穩(wěn)態(tài)偏差為0； 令 ， ，則偏差為 系統(tǒng)總偏差為 。系統(tǒng)在階躍力矩作用下，存在穩(wěn)態(tài)偏誤差的物理意義是明顯的，穩(wěn)態(tài)時，比例控制器產(chǎn)生一個與擾動力矩兄大小相等而方向相反的力矩，以進(jìn)行平衡，該力矩折算到比較裝置輸出端的數(shù)值為 ，所以系統(tǒng)必定存在常值誤差 。,為了減小階躍擾動作用下的穩(wěn)態(tài)誤差，可以加大比例控制器增益，然而，過分加大增益對于本例雖不會使系統(tǒng)失去穩(wěn)定,但卻會使時間響應(yīng)振蕩性增大。如果是二階以上系統(tǒng)，過大的可能導(dǎo)致系統(tǒng)失去