三種平均數(shù)的計(jì)算_第1頁(yè)
三種平均數(shù)的計(jì)算_第2頁(yè)
三種平均數(shù)的計(jì)算_第3頁(yè)
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四、算術(shù)平均數(shù)、調(diào)和平均數(shù)和幾何平均數(shù)之間有何關(guān)系？1、證明：現(xiàn)以兩個(gè)變量值來證明。2、三種平均數(shù)同源于一族。其通式為： .（1）當(dāng)k=1時(shí)，即為算術(shù)平均數(shù)。（2）當(dāng)k=2時(shí)，即為平方平均數(shù)。（3）當(dāng)k=3時(shí)，即為立方平均數(shù)。（4）當(dāng)k=0時(shí)，即為幾何平均數(shù)。證明：當(dāng)k=0時(shí)，式表現(xiàn)為未定式，即：。對(duì)式列兩邊取對(duì)數(shù)，此式仍屬于未定式的情況，我們運(yùn)用羅比塔法則求極限，得：即有：(5) 當(dāng)k= -1時(shí)，即為調(diào)和平均數(shù)。 即：3、 n個(gè)變量值的證明。(1)證明：現(xiàn)以n4個(gè)變量值時(shí)，證明。同樣方法可用來證明時(shí)，上式也成立。當(dāng)m1，m2時(shí)，上式顯然成立。當(dāng)mk1時(shí)，可用數(shù)學(xué)歸納法證明：現(xiàn)在假設(shè)n不等于2的冪次，我們總可以找到一個(gè)適當(dāng)?shù)淖匀粩?shù)r，使得nr是2的冪，就是使得：。例如：當(dāng)n5時(shí)，可取r3，就得。這樣，對(duì)于任何自然數(shù)來說，用不等式兩邊自乘nr次，便有：(2)同理：

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