三種平均數(shù)的計(jì)算_第1頁(yè)
三種平均數(shù)的計(jì)算_第2頁(yè)
三種平均數(shù)的計(jì)算_第3頁(yè)
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四、算術(shù)平均數(shù)、調(diào)和平均數(shù)和幾何平均數(shù)之間有何關(guān)系?1、證明:現(xiàn)以兩個(gè)變量值來證明。2、三種平均數(shù)同源于一族。其通式為: .(1)當(dāng)k=1時(shí),即為算術(shù)平均數(shù)。(2)當(dāng)k=2時(shí),即為平方平均數(shù)。(3)當(dāng)k=3時(shí),即為立方平均數(shù)。(4)當(dāng)k=0時(shí),即為幾何平均數(shù)。證明:當(dāng)k=0時(shí),式表現(xiàn)為未定式,即:。對(duì)式列兩邊取對(duì)數(shù),此式仍屬于未定式的情況,我們運(yùn)用羅比塔法則求極限,得:即有:(5) 當(dāng)k= -1時(shí),即為調(diào)和平均數(shù)。 即:3、 n個(gè)變量值的證明。(1)證明:現(xiàn)以n4個(gè)變量值時(shí),證明。同樣方法可用來證明時(shí),上式也成立。當(dāng)m1,m2時(shí),上式顯然成立。當(dāng)mk1時(shí),可用數(shù)學(xué)歸納法證明:現(xiàn)在假設(shè)n不等于2的冪次,我們總可以找到一個(gè)適當(dāng)?shù)淖匀粩?shù)r,使得nr是2的冪,就是使得:。例如:當(dāng)n5時(shí),可取r3,就得。這樣,對(duì)于任何自然數(shù)來說,用不等式兩邊自乘nr次,便有:(2)同理:

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