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1、等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的兩個(gè)側(cè)重摘要:本文從在思想方法的角度給出了等差數(shù)列前n項(xiàng)和兩個(gè)公式的側(cè)重點(diǎn)。 關(guān)鍵詞:等差數(shù)列 思想 前n項(xiàng)和公式我們知道,教材就等差數(shù)列前n項(xiàng)和給出了兩個(gè)公式:設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式和為,公差為,則 (公式一) (公式二) 這兩個(gè)公式在解決問題時(shí)如何使用,下面舉例說明。以下,不再說明。一 側(cè)重于函數(shù)方程思想的公式一1 方程思想:所謂方程思想就是將題目條件運(yùn)用前n項(xiàng)和公式,表示成關(guān)于首項(xiàng)a1和公差d的兩個(gè)方程,通過解決方程來解決問題。例1 已知an為等差數(shù)列,前10項(xiàng)的和S10=100,前100項(xiàng)的和S100=10,求前110項(xiàng)的和S110.剖析:方程的思想,將題目條件
2、運(yùn)用前n項(xiàng)和公式,表示成關(guān)于首項(xiàng)a1和公差d的兩個(gè)方程.解析:設(shè)an的首項(xiàng)為a1,公差為d,則解得S110=110a1+110109d=110.拓展:觀察結(jié)構(gòu)特點(diǎn),將公式一做如下變形:,在處理問題是會(huì)更方便。例2 如果等差數(shù)列的前4項(xiàng)和是2,前9項(xiàng)和是,求其前n項(xiàng)和公式。解:由變形公式得: 將代入得:2 函數(shù)思想將,當(dāng),數(shù)列為常數(shù)列;當(dāng),則是關(guān)于n的二次函數(shù),若令則。此時(shí)可利用二次函數(shù)的知識解決。例題3 設(shè)等差數(shù)列滿足,且,則的前多少項(xiàng)的和最大?解析:思路一:由3 a8=5a13得:d=a1,若前n項(xiàng)和最大,則,又a10得:,n=20,即的前20項(xiàng)和最大。這一做法為通法。思路二:,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)n
3、最大。點(diǎn)評:這一做法突顯了數(shù)列的函數(shù)特征。思路三:由得,又,的圖象是開口向下的拋物線上的點(diǎn)列,對稱軸恰為,故時(shí)Sn最大。點(diǎn)評:這一做法中幾乎沒有運(yùn)算,抓住了題目條件,結(jié)合數(shù)列的函數(shù)特性做處理,顯得十分巧妙。二 側(cè)重于等差數(shù)列性質(zhì)的公式二1 側(cè)重于性質(zhì):若則。有些涉及等差數(shù)列前項(xiàng)和的題目,常與等差數(shù)列的上述性質(zhì)融合在一起,將與其他條件進(jìn)行轉(zhuǎn)換。例題4 一個(gè)只有有限項(xiàng)的等差數(shù)列,它的前5項(xiàng)的和為34,最后5項(xiàng)的和為146,所有項(xiàng)的和為234,則它的第七項(xiàng)等于( ) A. 22B. 21C. 19D. 18解:設(shè)該數(shù)列有項(xiàng)且首項(xiàng)為,末項(xiàng)為,公差為,則依題意有 結(jié)合上述性質(zhì)可得 代入(3)有 從而有 又所求項(xiàng)恰為該數(shù)列的中間項(xiàng), 故選D 點(diǎn)評:依題意能列出3個(gè)方程,若將作為一個(gè)整體,問題即可迎刃而解。在求時(shí),巧用等差中項(xiàng)的性質(zhì)也值得關(guān)注。知識的靈活應(yīng)用,來源于對知識系統(tǒng)的深刻理解。2 側(cè)重于等差中項(xiàng)利用等差中項(xiàng),可以實(shí)施等差數(shù)列前項(xiàng)和與其通項(xiàng)的轉(zhuǎn)換:例題5 在等差數(shù)列和中,它們的
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