公開課數(shù)學(xué)歸納法.ppt

1、,6.3 數(shù)學(xué)歸納法,福鼎二中 陳思玲,解:,猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式為,驗(yàn)證:同理得,正整數(shù)無數(shù)個(gè)!,（1）求出數(shù)列前4項(xiàng),你能得到什么猜想？,（2）你的猜想一定是正確的嗎？,問題情境一,問題情境二,多 米 諾 骨 牌 課 件 演 示,1、第一塊骨牌倒下,2、任意相鄰的兩塊骨牌，前一塊倒下一定導(dǎo)致后一塊倒下,條件（2）事實(shí)上給出了一個(gè)遞推關(guān)系，換言之就是假設(shè)第K塊倒下，則相鄰的第K+1塊也倒下,請同學(xué)們思考所有的骨牌都一一倒下只需滿足哪幾個(gè)條件,這與我們要解決的問題有相似性嗎？,多米諾骨牌游戲與我們前面所提到的要解決的問題有相似性嗎？,多米諾骨牌游戲原理,（1）當(dāng)n=1時(shí)，猜想成立,根據(jù)（1）和（

2、2），可知對任意的正整數(shù)n，猜想都成立。,通項(xiàng)公式為 的證明方法,上述事例啟發(fā)我們：在證明一個(gè)與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題時(shí)，我們常采用下面兩個(gè)步驟來證明它們的正確性：,（1）證明：當(dāng)n=1時(shí)命題成立;,數(shù)學(xué)歸納法,（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)命題成立，證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立.,這種證明方法叫做 數(shù)學(xué)歸納法,由（1），（2）可得命題對所有正整數(shù)n都成立。,證明:,(1)當(dāng),猜想成立。,(2),那么,當(dāng),根據(jù)(1)和(2)，猜想對于任何 都成立。,例1、用數(shù)學(xué)歸納法證明：,證明:(1)當(dāng)n=1時(shí),左邊=1,右邊=1,等式是成立的。 (2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)等式成立，就是 那么，當(dāng)n=k +1時(shí)， 這就是說，

3、當(dāng)n=k+1時(shí)，等式也成立。,因此,根據(jù)(1)和(2)可斷定,等式對于任何正整數(shù)n都成立。,例題講解,證明： （1）當(dāng)n=1時(shí)，左邊=1，右邊=1，等式成立,（2）假設(shè)當(dāng) 時(shí)，等式成立，就是,那么當(dāng)n=k+1時(shí),這就是說，當(dāng)n=k+1時(shí)，等式也成立,由（1）和（2），可知的等式對任何 都成立,練習(xí) 用數(shù)學(xué)歸納法證明:,那么，當(dāng)n=k+1時(shí),證明:(1)當(dāng)n=1時(shí),左邊=20=1, 右邊=21 1=1,等式成立,（2）假設(shè)n=k時(shí)，等式成立，即,即當(dāng)n=k+1時(shí)等式也成立,根據(jù)(1)和(2),可知等式對任何 都成立.,錯(cuò)誤原因：由證明n=k+1等式成立時(shí)沒有用到n=k命題成立的歸納假設(shè),例:欲用

4、數(shù)學(xué)歸納法證明 ，試問n的第一個(gè)取值 應(yīng)是多少?,解：當(dāng)n=1時(shí)，2n=2,n2=1, 2nn2 當(dāng)n=2時(shí)，2n=4,n2=4, 2n=n2 當(dāng)n=3時(shí)，2n=8,n2=9, 2nn2 當(dāng)n=6時(shí)，2n=64,n2=36, 2nn2 對n=1、2、3，逐一嘗試,可知初始值為n=5. 當(dāng)n5時(shí)，2nn2(證明略),一、數(shù)學(xué)歸納法適用范圍:,課堂小結(jié),二、用數(shù)學(xué)歸納法證明命題的步驟： (1)證明：當(dāng)n取第一個(gè)值n0（ 例如n0 =1或2）結(jié)論正確； (2)假設(shè)當(dāng)n=k(kN*，且kn0)時(shí)結(jié)論正確，證明當(dāng) n=k+1時(shí)結(jié)論也正確. 由(1)，(2)可知，命題對于從n0開始的所有正整數(shù)n都正確。,數(shù)學(xué)歸納法是一種證明與自然數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的重要方法。,遞推基礎(chǔ)不可少，歸納假設(shè)要用到，結(jié)論寫明莫忘掉,三、兩個(gè)注意： 1、“二步驟一結(jié)論”缺一不可。 2、第（2）步證明“假設(shè)n=k成立則n=k+1也成立”時(shí)一定 要用到歸納假