高中數(shù)學(xué)論文：圓錐曲線中最值問題求解舉例（通用）

1、圓錐曲線中最值問題求解舉例 圓錐曲線最值問題是高考中的一類常見問題，體現(xiàn)了圓錐曲線與三角、函數(shù)、不等式、方程、平面向量等代數(shù)知識(shí)之間的橫向聯(lián)系。解此類問題與解代數(shù)中的最值問題方法類似，。由于圓錐曲線的最值問題與曲線有關(guān)，所以利用曲線性質(zhì)求解是其特有的方法。下面介紹幾種常見求解方法。一、 定義法 有些問題先利用圓錐曲線定義或性質(zhì)給出關(guān)系式，再利用幾何或代數(shù)法求最值，可使題目中數(shù)量關(guān)系更直觀，解法更簡(jiǎn)捷。例1、 已知拋物線 ，定點(diǎn)A(3,1)，F(xiàn) 是拋物線的焦點(diǎn) ，在拋物線上求一點(diǎn) P,使|AP|+|PF|取最小值 ，并求的最小值 。分析：由點(diǎn)A引準(zhǔn)線的垂線，垂足Q，則 |AP|+|PF|=|AP

2、|+|PQ|, 即為最小值。OF(1,0) xA(3,1)y Q P解： 如圖，, 焦點(diǎn)F(1,0) 。 由點(diǎn)A引準(zhǔn)線x= -1的垂線 ，垂足Q，則 |AP|+|PF|=|AP|+|PQ|, 即為最小值. . 由, 得 為所求點(diǎn). 若另取一點(diǎn) ， 顯然 。點(diǎn)悟 利用圓錐曲線性質(zhì)求最值是一種特殊方法。在利用時(shí)技巧性較強(qiáng)，但可以避繁就簡(jiǎn)，化難為易。又如已知圓錐曲線內(nèi)一點(diǎn)A與其上一動(dòng)點(diǎn)P，求 的最值時(shí)，?？紤]圓錐曲線第二定義。二、 參數(shù)法 利用橢圓、雙曲線參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題，或利用直線、拋物線參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題求解。例2、橢圓的切線 與兩坐標(biāo)軸分別交于A,B兩點(diǎn) ， 求三角形OAB的最小

3、面積 。分析；寫出橢圓參數(shù)方程，設(shè)切點(diǎn)為，可得切線方程。 解： 設(shè)切點(diǎn)為 ， 則切線方程為 .令y=0, 得切線與x軸交點(diǎn)；令x=0,得切線與y軸交點(diǎn)B(0,)= 點(diǎn)悟 利用圓錐曲線參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)的最值問題，再利用三角函數(shù)的有界性得出結(jié)果。 三 、二次函數(shù)法 將所求問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)最值問題，再利用配方法或均值不等式或判別式等方法求解。例3、過動(dòng)直線x+2y=p與定直線2x-y=a的交點(diǎn)（其中）的等軸雙曲線系中 ， 當(dāng)p為何值時(shí)，達(dá)到最大值與最小值？分析：求出交點(diǎn)坐標(biāo)代入雙曲線,可得的二次函數(shù)表達(dá)式，再利用函數(shù)方法求解。解：由 , 得 交點(diǎn), 交點(diǎn)Q坐標(biāo)代入雙曲線,= =.當(dāng) , ,

4、又 ,；當(dāng)p=3a時(shí), 點(diǎn)悟 把所求的最值表示為函數(shù)，再尋求函數(shù)在給定區(qū)間上的最值，但要注意函數(shù)的定義域。 四 、幾何法 將圓錐曲線問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題，再利用平面幾何知識(shí)，如對(duì)稱點(diǎn)、三角形三邊關(guān)系、平行間距離等求解。例 4、 已知橢圓 和直線 l:x-y+9=0 ，在l上取一點(diǎn)M ，經(jīng)過點(diǎn)M且以橢圓的焦點(diǎn)為焦點(diǎn)作橢圓 ，求M在何處時(shí)所作橢圓的長(zhǎng)軸最短，并求此橢圓方程 。分析；設(shè) 是關(guān)于l對(duì)稱點(diǎn) ， 可求出 坐標(biāo) ，過的直線方程與x-y+9=0聯(lián)立得交點(diǎn)M為所求。y lP O xM解 ：由橢圓方程 ，得， 設(shè) 是關(guān)于l對(duì)稱點(diǎn) ， 可求出 坐標(biāo)為(-9,6) ， 過的直線方程:x+2y-3=0

5、與x-y+9=0聯(lián)立，得交點(diǎn)M(-5,4)， 即過M的橢圓長(zhǎng)軸最短。由 ,得，, 所求橢圓方程為 .點(diǎn)悟 ：在求圓錐曲線最值問題中，如果用代數(shù)方法求解比較復(fù)雜，可考慮用幾何知識(shí)求解，其中“三角形兩邊之和大于第三邊”是求最值常用的定理。同時(shí)，利用平幾知識(shí)求解，蘊(yùn)涵了數(shù)形結(jié)合的思想。 五、不等式法 列出最值關(guān)系式，利用均值不等式“等號(hào)成立”的條件求解。例5 、過橢圓的焦點(diǎn)的直線交橢圓A,B兩點(diǎn) ，求面積的最大值 。分析：由過橢圓焦點(diǎn)，寫出直線AB方程為y=kx+1，與橢圓方程聯(lián)立，消去y，得關(guān)于x的一元二次方程，巧妙的利用根與系數(shù)的關(guān)系，可以起到避繁就簡(jiǎn)的效果。 解 ： 橢圓焦點(diǎn) ，設(shè)過焦點(diǎn)(0,1) ，直線方程為y=kx+1 與聯(lián)立 ，消去y, 得 ， 其中兩根為A,B橫坐標(biāo) 。 將三角形AOB看作與組合而成 ，|OF| 是公共邊 ，它們?cè)诠策吷系母唛L(zhǎng)為 ., 其中 |OF|=c=1. =. 當(dāng) 即k=0 時(shí),取等號(hào) ，即當(dāng)直線為 y=1時(shí) , 得到的面積最大值為 。點(diǎn)悟 利用均值不等式求最值，有時(shí)要用“配湊法”，這種方法是一種技巧。在利用均值不等式時(shí)，要注意滿足三個(gè)條件：1、每一項(xiàng)要取正值；2