函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)(獲獎教案

1、3.3.1函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)教材分析“函數(shù)單調(diào)性與導數(shù)”是高中數(shù)學（選修1-1）第三章導數(shù)及其應(yīng)用的第三節(jié)，本節(jié)的教學內(nèi)容屬導數(shù)的應(yīng)用，是在學生學習了導數(shù)的概念、計算、幾何意義的基礎(chǔ)上學習的內(nèi)容，學好它既可加深對導數(shù)的理解，又可為后面研究函數(shù)的極值和最值打好基礎(chǔ).由于學生在高一已經(jīng)掌握了單調(diào)性的定義，并能用定義判定在給定區(qū)間上函數(shù)的單調(diào)性.通過本節(jié)課的學習，應(yīng)使學生體驗到，用導數(shù)判斷單調(diào)性要比用定義判斷簡捷得多（尤其對于三次和三次以上的多項式函數(shù)，或圖象難以畫出的函數(shù)而言），充分展示了導數(shù)解決問題的優(yōu)越性.課時分配本節(jié)內(nèi)容用1課時完成，主要經(jīng)歷從生活中的變化率問題抽象概括出函數(shù)平均變化率概念的

2、過程，體會從特殊到一般的數(shù)學思想，體現(xiàn)了數(shù)學知識來源于生活，又服務(wù)于生活.教學目標重點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.難點： 探究函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關(guān)系; 如何用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性.知識點：1.探索函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關(guān)系;2.會利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性并求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.能力點：1.通過本節(jié)的學習，掌握用導數(shù)研究單調(diào)性的方法.2.在探索過程中培養(yǎng)學生的觀察、分析、概括的能力滲透數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化思想. 教育點：通過在教學過程中讓學生多動手、多觀察、勤思考、善總結(jié)，培養(yǎng)學生的探索精神，引導學生養(yǎng)成自主學習的學習習慣.自主探究點：通過問題的探究，體會知識的類比遷移.以已知探求

3、未知，從特殊到一般的數(shù)學思想方法.考試點：利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性并求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.易錯易混點：導數(shù)的正負決定函數(shù)的單調(diào)性，而不是導數(shù)的單調(diào)性決定函數(shù)的單調(diào)性.教具準備：多媒體課件,三角板課堂模式：學案導學一.引入新課師：判斷函數(shù)的單調(diào)性有哪些方法？比如判斷的單調(diào)性，如何進行？生：用定義法、圖像法.師： 因為二次函數(shù)的圖像我們非常熟悉,可以畫出其圖像，指出其單調(diào)區(qū)間，再想一下，有沒有需要注意的地方？生：注意定義域.師：如果遇到函數(shù)，如何判斷單調(diào)性呢？你能畫出該函數(shù)的圖像嗎？師：定義是解決問題的最根本方法，但定義法較繁瑣,又不能畫出它的圖像，那該如何解決呢？揭示并板書課題：函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)【

4、設(shè)計意圖】通過復(fù)習回顧，鞏固舊知.從已學過的知識（判斷二次函數(shù)的單調(diào)性）入手，提出新的問題（判斷三次函數(shù)的單調(diào)性），引起認知沖突，激發(fā)學習的興趣.師：函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的重要數(shù)學模型，研究函數(shù)時，了解函數(shù)的增與減、增減的快與慢以及函數(shù)的最大值或最小值等性質(zhì)是非常重要的通過研究函數(shù)的這些性質(zhì)，我們可以對數(shù)量的變化規(guī)律有一個基本的了解函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)的導數(shù)一樣都是反映函數(shù)變化情況的，那么函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)的導數(shù)是否有著某種內(nèi)在的聯(lián)系呢?二探究新知師：如圖（1），它表示跳水運動中高度隨時間變化的函數(shù)的圖像，圖（2）表示高臺跳水運動員的速度隨時間變化的函數(shù)的圖像運動員從起跳到最高點，以及從最

5、高點到入水這兩段時間的運動狀態(tài)有什么區(qū)別？生：通過觀察圖像，可以發(fā)現(xiàn)：（1）運動員從起點到最高點，離水面的高度隨時間的增加而增加，即是增函數(shù)相應(yīng)地，（2）從最高點到入水，運動員離水面的高度隨時間的增加而減少，即是減函數(shù)相應(yīng)地，【設(shè)計意圖】從具體的實際情景出發(fā)，提出本節(jié)課要探索的問題，函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關(guān)系.為學生提供一個聯(lián)想的“源”，巧妙設(shè)問，把學習任務(wù)轉(zhuǎn)移給學生；讓學生完成對函數(shù)單調(diào)性與導數(shù)關(guān)系的第一次認識，明確研究課題.師：導數(shù)的幾何意義是函數(shù)在該點處的切線的斜率，函數(shù)圖象上每個點處的切線的斜率都是變化的，那么函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)有什么關(guān)系呢？觀察下面函數(shù)的圖像，探討函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)正

6、負的關(guān)系（1）函數(shù)的定義域為，并且在定義域上是增函數(shù)，其導數(shù)；（2）函數(shù)的定義域為，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；而，當時，其導數(shù)；當時，其導數(shù)；當時，其導數(shù)（3）函數(shù)的定義域為，在定義域上為增函數(shù)；而，若，則其導數(shù)，當時，其導數(shù)；（4）函數(shù)的定義域為，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減,而，因為,所以.師：以上四個函數(shù)的單調(diào)性及其導數(shù)符號的關(guān)系說明，在區(qū)間內(nèi),如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.【設(shè)計意圖】從具體的函數(shù)出發(fā)，體會數(shù)形結(jié)合思想的運用.讓學生體會從特殊到一般，從具體到抽象的過程，降低思維難度，讓學生在老師的引導下自主學習和探索，提高學習的成就感和自信心.

7、三. 理解新知師：如圖，導數(shù)表示函數(shù)在點處的切線的斜率觀察圖像回答，函數(shù)在某個點處的導數(shù)值與函數(shù)在該點處的單調(diào)性是怎樣的關(guān)系？生:在處，切線是“左下右上”式的，這時，函數(shù)在附近單調(diào)遞增；在處，切線是“左上右下”式的，這時，函數(shù)在附近單調(diào)遞減師生共同總結(jié)：函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關(guān)系: 在某個區(qū)間內(nèi)，如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減說明：如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)是常函數(shù)【設(shè)計意圖】通過導數(shù)的幾何意義來驗證由具體函數(shù)所得到的結(jié)論，形成一般性結(jié)論.讓學生經(jīng)歷觀察、分析、歸納、發(fā)現(xiàn)規(guī)律的過程，體會函數(shù)單調(diào)性與導數(shù)的關(guān)系.四運用新知例1、已知導函數(shù)的下列信息：當時，；

8、當，或時，；當，或時，試畫出函數(shù)圖像的大致形狀解：當時，可知在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；當，或時，；可知在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；當，或時，這兩點比較特殊，我們把它稱為“臨界點”綜上，函數(shù)圖像的大致形狀如圖所示 學生思考，并在紙上畫出函數(shù)圖像教師投影若干學生的作業(yè)情況,學生共同分析. 140x【設(shè)計意圖】讓學生通過此題加深理解導函數(shù)是如何影響原函數(shù)的,這是今后利用導函數(shù)研究函數(shù)的必備技能.這里讓學生切實理解，為今后學習掃清障礙.例2、判斷下列函數(shù)的單調(diào)性，并求出單調(diào)區(qū)間 （1）； （2）（3）； （4）解：（1）因為，所以， 因此，在R上單調(diào)遞增，如圖1所示（2）因為，所以， 當，即時，函數(shù)單調(diào)遞增；當，即

9、時，函數(shù)單調(diào)遞減；函數(shù)的圖像如圖2所示（3）因為，所以，因此，函數(shù)在單調(diào)遞減，如圖3所示（4）因為，所以 當，即 時，函數(shù) ；當，即 時，函數(shù) ；函數(shù)的圖像如圖4所示學生練（3）、（4）【設(shè)計意圖】讓學生初步體會用導數(shù)的方法確定函數(shù)單調(diào)性的簡便.【師生活動】總結(jié)求單調(diào)區(qū)間的步驟：（1）確定函數(shù)的定義域；（2）求導數(shù)；（3）解不等式，解集在定義域內(nèi)的部分為增區(qū)間；（4）解不等式，解集在定義域內(nèi)的部分為減區(qū)間例3已知函數(shù)，試討論出此函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.解：令. 解得的單調(diào)增區(qū)間是：令，解得的單調(diào)減區(qū)間是：練習：1題五.課堂小結(jié)（1）函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關(guān)系（2）求解函數(shù)單調(diào)區(qū)間【設(shè)計意圖】通過師生共同反思，優(yōu)化學生的認知結(jié)構(gòu).六. 布置作業(yè)必做：課本A組 1,2選做：1、求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：(1) (2) (3) (4) 2、已知的圖像過點且在處的切線方程為，求（1）的解析式；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.3、已知函數(shù)在R上是減函數(shù)，求a的取值范圍.【設(shè)計意圖】體現(xiàn)了分層、有梯度的教學，學生動手練習,加強學生的應(yīng)用意識.七.教后反思1. 本節(jié)課的亮點：教學過程中教師指導啟發(fā)學生以已知的熟悉的二次函數(shù)為研究的起點，發(fā)現(xiàn)函數(shù)的導數(shù)的正負與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，從而到更多的，更復(fù)雜的函數(shù)，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并推廣到一般.這個過程中既讓學生獲得了關(guān)于新知的內(nèi)容，更可貴的是讓學生體會到如何研究一個