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1、3.6 分 離 變 量 法,基本思想:,方 式:,所求場(chǎng)域的邊界面應(yīng)與某一正交坐標(biāo)系的坐標(biāo)面重合。,把待求的位函數(shù)表示為幾個(gè)未知函數(shù)的乘積,其中每一個(gè)未知函數(shù)僅是一個(gè)坐標(biāo)變量的函數(shù)。,代入偏微分方程進(jìn)行變量分離,將原偏微分方程分離為幾個(gè)常微分方程。,分別求解這些常微分方程,并利用場(chǎng)域及邊界條件確定其中的待定常數(shù),從而得到位函數(shù)的解。,應(yīng) 用:,求解二維拉普拉斯方程的邊界問(wèn)題。,如果問(wèn)題的邊界面與直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)面吻合,則可采用直角坐標(biāo)系中的分離變量法。,1. 直角坐標(biāo)系中的分離變量法,在直角坐標(biāo)系中的展開(kāi)式為,令,代入上式,得,無(wú)源區(qū)中電位滿足的拉普拉斯方程為,兩邊再除以 X(x)Y(y),得
2、,只與x有關(guān),只與y有關(guān),此常數(shù)寫(xiě)成 。,式中 k 稱為分離常數(shù),它的取值不同,常微分方程的解也有不同的形式。,由上可見(jiàn),經(jīng)過(guò)變量分離后,二維偏微分方程式被簡(jiǎn)化為二個(gè)一維常微分方程。常微分方程的求解較為簡(jiǎn)便,而且二個(gè)常微分方程又具有同一結(jié)構(gòu),因此它們解也一定具有相同的形式。,要使上式成立,式中每一項(xiàng)都必須為常數(shù)。,當(dāng) k = 0 時(shí),二常微分方程的解為,當(dāng) k 0 時(shí),二常微分方程的解為,雙曲函數(shù),含變量 x 或 y 的常微分方程的解具有完全相同的形式。這些解的線性組合仍然是方程的解。,式中 A, B, C, D 為待定常數(shù)。,為滿足給定的邊界條件,分離變量k 通常取一系列特定的值 kn (n
3、=1,2,)。,位函數(shù) 的通解為,若令 代替,,可得另一形式通解,解的形式的選擇是非常重要的,它完全決定于給定的邊界條件。解中各個(gè)待定常數(shù)也取決于給定的邊界條件。,例 橫截面為矩形的無(wú)限長(zhǎng)接地金屬導(dǎo)體槽,上部有電位為 的金屬蓋板;導(dǎo)體槽的側(cè)壁與蓋板間有非常小的間隙以保證相互絕緣。試求此導(dǎo)體槽內(nèi)的電位分布。,解: 導(dǎo)體槽在 方向?yàn)闊o(wú)限長(zhǎng),槽內(nèi)電位滿足直角坐標(biāo)系中的二維拉普拉斯方程。,(導(dǎo)體槽內(nèi)D域),由于槽內(nèi)電位 和 ,則其通解形式為,代入上式,得,為使上式對(duì) 在 內(nèi)成立,則,則,代入上式,得,為使上式對(duì) 在 內(nèi)成立,則,則,代入上式,得,其中 不能為零,否則 ,故有,得,為使上式對(duì) 在 內(nèi)成立
4、,且 則,則,代入上式,得,為確定常數(shù) ,將 在區(qū)間 上按 展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù),即,導(dǎo)體槽內(nèi)電位函數(shù)為,導(dǎo)體槽內(nèi)電位分布情況為,(D域內(nèi)),例一無(wú)限長(zhǎng)金屬槽,其三壁接地,另一壁與三壁絕緣且保持電位為 ,金屬槽截面為正方形(邊長(zhǎng)為a),試求金屬槽內(nèi)電位的分布。,解:選定直角坐標(biāo)系,例 由四塊沿軸方向放置的金屬板圍成的矩形長(zhǎng)槽,四條棱線處有無(wú)限小間隙以保證相互絕緣。試求槽內(nèi)空間的電位分布。,解: 設(shè)金屬板沿 方向?yàn)闊o(wú)限長(zhǎng),槽內(nèi)空間的電位函數(shù)滿足直角坐標(biāo)系中的二維拉普拉斯方程。,(矩形槽內(nèi)),2. 圓柱坐標(biāo)系中的分離變量法,電位微分方程在圓柱坐標(biāo)系中的展開(kāi)式為,令其解為,代入上式求得,上式中第二項(xiàng)僅為
5、變量 的函數(shù),而第一項(xiàng)與 無(wú)關(guān),因此二項(xiàng)均應(yīng)為常數(shù),令,具有圓柱面邊界的問(wèn)題,可采用圓柱坐標(biāo)系中的分離變量法求解。,即,式中k為分離常數(shù),通常變量 的變化范圍為 ,那么位函數(shù)隨 的變化一定是以 2 為周期的周期函數(shù)。因此分離常數(shù) k 一定是整數(shù),以保證函數(shù)的周期為2。即 且 ,則通解為,圓柱外電場(chǎng)線、等位面以及圓柱表面的電荷分布如下圖示:,3. 球坐標(biāo)系中的分離變量法,電位微分方程在球坐標(biāo)系中的展開(kāi)式為,令,代入上式,得,與前同理, 的解應(yīng)為,具有球面邊界的問(wèn)題,可采用球坐標(biāo)系中的分離變量法求解。,可見(jiàn),上式中第一項(xiàng)僅為 r 的函數(shù),第二項(xiàng)與 r 無(wú)關(guān)。因此,與前同理第一項(xiàng)應(yīng)為常數(shù)。為了便于進(jìn)一步求解,令,式中n 為整數(shù)。這是尤拉方程,其通解為,將此結(jié)果代入上式,得,令 ,則上式變?yōu)?上式為連帶勒讓德方程,其通解為第一類連帶勒讓德函數(shù) 與第二類連帶勒讓德函數(shù) 之和,這里 m n 。,當(dāng) n 是整數(shù)時(shí), 及 為有限項(xiàng)多項(xiàng)式。因此,要求 n 為整數(shù)。,根據(jù)第二類連帶勒讓德函數(shù)的特性知,當(dāng) 時(shí), 。因此,當(dāng)場(chǎng)存在的區(qū)域包括 或 時(shí), ,此時(shí)只能取第一類連帶勒讓德函數(shù)作為方程的解。所以,通常令,那么,電位微分方程的通解通常取為下列線
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