大學(xué)數(shù)學(xué)解決高中數(shù)學(xué)問題

1、1. 我們知道，一個(gè)函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f(x)=0的話，使得f(x)=0的點(diǎn)就是極值點(diǎn)，那么，到底那個(gè)是極大(小)值呢？一般的方法是看它左右區(qū)間上導(dǎo)數(shù)的正負(fù)吧?？墒牵瑵?jì)版高等數(shù)學(xué)告訴我們?cè)O(shè)函數(shù)f(x)在x0處具有二階導(dǎo)數(shù)且f(x0)=0，f(x0)不等于0，那么1.當(dāng)f(x0)0時(shí)，函數(shù)f(x)在x0處取得極小值用這種方法，能夠快速判斷3次函數(shù)的極大值或極小值點(diǎn)。以及能求出導(dǎo)數(shù)中含有三角函數(shù)等難以用快速判斷極值點(diǎn)左右區(qū)間的正負(fù)的函數(shù)的極大值戶或極小值點(diǎn)。2. 湖北省部分重點(diǎn)中學(xué)2011屆高三第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)理科 11題：已知函數(shù)f(x)=a(x+1)(x-a)，若f(x)在x=a處取得極大值，

2、則a的取值范圍是_ (-1,0)對(duì)f(x)=a(x+1)(x-a)求2次導(dǎo)，f(x)=a(2x+1-a)，因?yàn)槭菢O大值，所以f(a)=a(a+1)0所以 (-1,0)什么叫不動(dòng)點(diǎn)？定義：方程f(x)=x的根稱為函數(shù)f(x)的不動(dòng)點(diǎn)，其實(shí)也就是函數(shù)圖像y=f(x)和y=x的交點(diǎn)。利用遞推數(shù)列的不動(dòng)點(diǎn)，可將某些遞推關(guān)系所確定的數(shù)列化為等比數(shù)列或較易求通項(xiàng)的數(shù)列，這種方法稱為不動(dòng)點(diǎn)法. 數(shù)列的差分什么叫數(shù)列的差分？簡單地說，就是相鄰兩項(xiàng)的差對(duì)任何數(shù)列A=a1, a2, ., 其差分算子(讀作delta)定義如下:a1=a2a1,a2=a3a2,a3=a4a3, .,一般地, 對(duì)任何n有an=an+1

3、an.應(yīng)用這個(gè)算子, 從原來的數(shù)列A構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列A, 從數(shù)列A可得到數(shù)列2A=2an,這里D2 an =(an)=an+1an=an+2an+1an+1+an=an+22an+1an,稱之為數(shù)列A的二階差分, 二階差分2an的差分, 3an稱為三階差分, 二階及二階以上的差分稱為高階差分, 而稱an為一階差分.下面有幾個(gè)定理 都很好理解定理1.1 若c和b為常數(shù)且對(duì)所有n=1, 2, 3,.有an=cn+b,則:1. 對(duì)所有n, 數(shù)列an的差分為常數(shù);2. 當(dāng)畫an關(guān)于n的圖形時(shí), 這些點(diǎn)都落在一條直線上.定理1.2 若an=c, 其中c是一個(gè)與n無關(guān)的常數(shù), 則有一個(gè)an的線性函數(shù)(即存

4、在常數(shù)b使an =cn+b).定理1.3若數(shù)列an由一個(gè)二次多項(xiàng)式定義,則該數(shù)列具有性質(zhì):其二階差分為常數(shù),2an =c.定理1.4 若數(shù)列an具有性質(zhì): 對(duì)一切n有2an =c, c為一個(gè)常數(shù),則該數(shù)列的項(xiàng)遵從二次變化模式, 而且表達(dá)其通項(xiàng)的公式是一個(gè)二次多項(xiàng)式.注: 一般地, 由k次多項(xiàng)式定義的數(shù)列的k+1階差分為零,反之,若數(shù)列an的k+1階差分為零, 則存在一個(gè)生成該數(shù)列的k次多項(xiàng)式.定理：若ak0), 則數(shù)列A=an在第k項(xiàng)處是遞增的。若akak+1(或akak+1而akak-1(或ak-10而ak0), 數(shù)列A在第k項(xiàng)處達(dá)到相對(duì)極大。若ak0), 數(shù)列A在第k項(xiàng)處達(dá)到相對(duì)極小。若akak-1(2ak-10).數(shù)列A在第k項(xiàng)處圖形為上凹,若akak-1(2ak-1=0時(shí)候不小于0，可以看出f(0)=0我們只需要證明f(x)在0,+)上遞增即可求導(dǎo) f(x)=ex -1 -2ax ，可以看出f(0)仍然等于0，我們只需要證明f(x)在0,+)上遞增即可 再求一次導(dǎo),f(x)=ex