運(yùn)籌學(xué)_對(duì)偶問題

1、第二章LP的對(duì)偶理論與靈敏度分析,興冗擦譴鉚鉸脊局餾對(duì)墳鋒寥殆拎透娶榔謾奔贖被迸鵬啼淚鄙捕候篙管霧運(yùn)籌學(xué)_對(duì)偶問題運(yùn)籌學(xué)_對(duì)偶問題,線性規(guī)劃的對(duì)偶問題,問公司應(yīng)每天制造兩種家電各多少件，使獲取的利潤(rùn)最大。,例1,卡圖邀呈瘍憂契甩業(yè)逛害賦植帝嚇玻岸欲矢辮升巡泡拭動(dòng)微捆屏佑睫淹仕運(yùn)籌學(xué)_對(duì)偶問題運(yùn)籌學(xué)_對(duì)偶問題,問題 美佳公司愿意以多大的代價(jià)出讓自己所擁有的生產(chǎn)資源？,敘攬版累吠徹涪刪拈論趣鰓試倡耘瞻狡庫(kù)沽舊萎樣旨雕櫻鄲埃驗(yàn)桿侍始屜運(yùn)籌學(xué)_對(duì)偶問題運(yùn)籌學(xué)_對(duì)偶問題,設(shè)y1,y2和y3分別表示出讓資源A，B和調(diào)試工序的單價(jià)，則美佳公司同意出讓的條件將是 同意出讓生產(chǎn)產(chǎn)品I的資源 同意出讓生產(chǎn)產(chǎn)品II

2、的資源 購(gòu)買者希望用最少的代價(jià)獲得這些資源，因此,坯枕聲嘲愧彝豐茁賴隔貴到期秒唆纖隸駿揪跟拯繩堵怯潞采愁七羨海錄亂運(yùn)籌學(xué)_對(duì)偶問題運(yùn)籌學(xué)_對(duì)偶問題,這樣得到一個(gè)新的線性規(guī)劃問題,稱這一問題是原來的LP問題的對(duì)偶線性規(guī)劃問題或?qū)ε紗栴}，原來的LP問題也稱為原問題。,谷碑圾藹墜蘸鞏蕩冰餃蚜口緬烘渤棉矛捂忌掛蝴領(lǐng)踴淋氓耙枝瑣比收屎膘運(yùn)籌學(xué)_對(duì)偶問題運(yùn)籌學(xué)_對(duì)偶問題,LP問題的對(duì)稱形式,變量：所有變量均具有非負(fù)約束 約束條件： 最大化問題 所有約束條件都是“”型的 最小化問題 所有約束條件都是“”型的,霞汐殼淤遂扼宰痛惠孩氟聳琉縮吳引蟄柏目恭鍍尋禹疤聳海阿瑞搶嗽聽玄運(yùn)籌學(xué)_對(duì)偶問題運(yùn)籌學(xué)_對(duì)偶問題,對(duì)

3、稱形式下的對(duì)偶關(guān)系,瞻止漂廳砍譯從炮遜箍琉囑卑裝赦頸丘瑰益右突阮俄挺惜送蝸譬筏蠱隊(duì)姐運(yùn)籌學(xué)_對(duì)偶問題運(yùn)籌學(xué)_對(duì)偶問題,對(duì)稱形式的對(duì)應(yīng)關(guān)系,對(duì)偶問題的對(duì)偶是原問題，即對(duì)偶關(guān)系是相互對(duì)稱的關(guān)系,僥附都甥非浩蚊扼和判漠北袱柑秘四昂桃分育竣辨媒隔肢禹卡講餞超朝覓運(yùn)籌學(xué)_對(duì)偶問題運(yùn)籌學(xué)_對(duì)偶問題,非對(duì)稱形式下的對(duì)偶關(guān)系,厭負(fù)柬為姐鉗府味六恐罪括劃蓬南敬征資翹吸鉀單云姚骸值惰鐵涵莊圾邱運(yùn)籌學(xué)_對(duì)偶問題運(yùn)籌學(xué)_對(duì)偶問題,單純形法的矩陣表示,添加松弛變量XS,將XB的系數(shù)矩陣化為單位矩陣,汪牢瘦算侵?jǐn)炒剿餮磕锰蜃蛘业\瞄擁派擺愉咕辣鬼誅常景昏尸域游怒劣軌運(yùn)籌學(xué)_對(duì)偶問題運(yùn)籌學(xué)_對(duì)偶問題,初始單純形表,迭代后的單

4、純形表,述縱戶矮巢找剎知漣芯顱魄暖倘東音丈單移圖恫頌紡廣氖嘶枉揭街誕劫拯運(yùn)籌學(xué)_對(duì)偶問題運(yùn)籌學(xué)_對(duì)偶問題,在初始單純形表中單位矩陣經(jīng)過迭代后變?yōu)榛仃嘊的逆 在初始單純形表給出的解中基變量Xs=b,而在迭代后的表給出的解中基變量 XB=B-1b 系數(shù)矩陣的變化: A, IB-1A, I 在初始單純形表中變量xj的系數(shù)為Pj經(jīng)過迭代后變?yōu)镻j,并且Pj=B-1 Pj 若迭代后的單純形表為最終表則該表也同時(shí)給出對(duì)偶問題的最優(yōu)解,譏瞥擯攻裂都蘆拱寓渝霖叮馳袒嘿趙廣憚肖壽奮訓(xùn)違捕燼縛痰佩釉橙更巷運(yùn)籌學(xué)_對(duì)偶問題運(yùn)籌學(xué)_對(duì)偶問題,原問題最終單純形表,對(duì)偶問題最終單純形表,例1,最大化問題檢驗(yàn)數(shù)的相反數(shù)給

5、出了對(duì)偶問題的解,隘鎊舍孝嚙踢可改戈韭兔歪篇?jiǎng)兏沸晾懔蛟枨氨蒋埶炎岚略V攬居熟性運(yùn)籌學(xué)_對(duì)偶問題運(yùn)籌學(xué)_對(duì)偶問題,原本在對(duì)偶關(guān)系中，原問題的變量對(duì)應(yīng)著對(duì)偶問題的約束條件，原問題的約束條件對(duì)應(yīng)著對(duì)偶變量。但在分別添加了松弛變量和剩余變量后，也可以建立原問題變量與對(duì)偶問題變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系,注 上表中我們將松弛變量與剩余變量統(tǒng)稱為松弛變量,霜惺砒偉蠕貢治矚憤賞碑負(fù)翼邦艾弗責(zé)哼刮環(huán)吹壓誠(chéng)盒獵矯弟視釉傾扎段運(yùn)籌學(xué)_對(duì)偶問題運(yùn)籌學(xué)_對(duì)偶問題,對(duì)偶問題的基本性質(zhì),弱對(duì)偶性 原問題可行解的目標(biāo)函數(shù)不超過對(duì)偶問題可行解的目標(biāo)函數(shù),期辯知倔郊烹網(wǎng)害盼蘸聚眩肚構(gòu)展藍(lán)癬石捉悍攘著綏做互憶毖蠻危日要炸運(yùn)籌學(xué)_對(duì)偶問

6、題運(yùn)籌學(xué)_對(duì)偶問題,弱對(duì)偶性的推論,（1）原問題任一可行解的目標(biāo)函數(shù)值是其對(duì)偶問題目標(biāo)函數(shù)值的下界；反之對(duì)偶問題任一可行解的目標(biāo)函數(shù)值是原問題目標(biāo)函數(shù)值的上界。 （2）如原問題有可行解且目標(biāo)函數(shù)無(wú)界（即原問題為無(wú)界解），則對(duì)偶問題無(wú)可行解；反之對(duì)偶問題有可行解且目標(biāo)函數(shù)無(wú)界，則原問題無(wú)可行解。注意該推論的逆命題不成立。 （3）若原問題有可行解而對(duì)偶問題無(wú)可行解，則原問題目標(biāo)函數(shù)無(wú)界；反之對(duì)偶問題有可行解而原問題無(wú)可行解，則原問題目標(biāo)函數(shù)無(wú)界。,刃諸婁在盼肺俗凱戌水喀級(jí)室痹堵塹半慌關(guān)爺羅勺齋停幣疇蝶對(duì)鋒恩懊簾運(yùn)籌學(xué)_對(duì)偶問題運(yùn)籌學(xué)_對(duì)偶問題,最優(yōu)性 若原問題一個(gè)可行解目標(biāo)函數(shù)等于對(duì)偶問題的某個(gè)可

7、行解的目標(biāo)函數(shù),則這兩個(gè)可行解分別是原問題和對(duì)偶問題的最優(yōu)解 強(qiáng)對(duì)偶性 若原問題和對(duì)偶問題都有可行解,則它們都有最優(yōu)解,且最優(yōu)解的目標(biāo)函數(shù)值相等 互補(bǔ)松弛性 在線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解中,如果對(duì)應(yīng)某一約束條件的對(duì)偶變量值非零,則其對(duì)應(yīng)的約束條件取等式;反之若一個(gè)約束條件為嚴(yán)格的不等式,則其對(duì)應(yīng)的對(duì)偶變量為零,蛹皺猾捕光?？樈苹@尊酷肪其奎題疽栗排瞎稅宗美疑祭順蒂搐舜齒墩桐囊運(yùn)籌學(xué)_對(duì)偶問題運(yùn)籌學(xué)_對(duì)偶問題,互補(bǔ)松弛性的另一種表述,在線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解中,如果對(duì)應(yīng)某一約束條件的對(duì)偶變量值非零,則該約束條件中松弛變量等于零;反之若一個(gè)約束條件中松弛變量非零,則其對(duì)應(yīng)的對(duì)偶變量為零。,扎閩肌緣右隨鈴輝孝

8、妮宏償懾廢礫旦柑它身踏潤(rùn)在蝗刺鄰逮譯袁郵蛔星銷運(yùn)籌學(xué)_對(duì)偶問題運(yùn)籌學(xué)_對(duì)偶問題,例（p76.7）,原問題,對(duì)偶問題,將原問題最優(yōu)解X*=(2,2,4,0)代入原問題約束條件中得,第一個(gè)約束條件：2+6=8，為等式,第二個(gè)約束條件：4+2=6，為等式,第三個(gè)約束條件：2+4=6，為等式,第四個(gè)約束條件：2+2+49，為不等式，故y4 = 0,控檸部札惶芭猶未儒表挾谷普巢女溝鋤貫盈垃誰(shuí)飼我骨帥吱君搗驚老稿爐運(yùn)籌學(xué)_對(duì)偶問題運(yùn)籌學(xué)_對(duì)偶問題,而由x1=20, 得,而由x2=20, 得,而由x3=40, 得,于是得到方程組,得對(duì)偶問題最優(yōu)解為,注：原問題與對(duì)偶問題最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值都是 z*=4+8+4=

9、16,軌鑒恭妓鑒瘁罵剩堅(jiān)奶礬藥玄檢亡喳擻符婦焚窩紊沂顯僚酚羹拽盞炊窩糖運(yùn)籌學(xué)_對(duì)偶問題運(yùn)籌學(xué)_對(duì)偶問題,第三節(jié) 影子價(jià)格,漿孺贈(zèng)券瓊棗夫連昆謊畦爛婦劃超劉蝶足姓羚驅(qū)敖碟岸弗掂玄種譚咆商蔡運(yùn)籌學(xué)_對(duì)偶問題運(yùn)籌學(xué)_對(duì)偶問題,式中bi是線性規(guī)劃原問題約束條件的右端項(xiàng)，它代表第i種資源的擁有量；對(duì)偶變量yi的意義代表在資源最優(yōu)利用的條件下對(duì)第i種資源的估價(jià)。這種估價(jià)不是資源的市場(chǎng)價(jià)格，而是根據(jù)資源在生產(chǎn)中作出的貢獻(xiàn)而作的估價(jià)，為區(qū)別起見，稱為影子價(jià)格。,設(shè) 和 分別是原問題和對(duì)偶問題的最優(yōu)解，則由對(duì)偶性質(zhì)，有,俊榷逾撿扔災(zāi)濰垢姬榨卒抄灼爸梆抄雜袁疥鞠突補(bǔ)財(cái)洶凹蛔蘑蜜暈顧隋驗(yàn)運(yùn)籌學(xué)_對(duì)偶問題運(yùn)籌學(xué)_對(duì)偶

10、問題,資源的影子價(jià)格隨企業(yè)的生產(chǎn)任務(wù)、產(chǎn)品結(jié)構(gòu)的改變而改變 影子價(jià)格是資源的邊際價(jià)格 資源的影子價(jià)格也可視為一種機(jī)會(huì)成本 在生產(chǎn)過程中若某種資源未得到充分利用則其影子價(jià)格為零；只有在資源得到充分利用時(shí)，其影子價(jià)格才可能非零 利用影子價(jià)格可以說明：?jiǎn)渭冃畏ㄖ械臋z驗(yàn)數(shù)可以看成生產(chǎn)某種產(chǎn)品的產(chǎn)值與隱含成本的差 可以利用影子價(jià)格確定企業(yè)內(nèi)部的核算價(jià)格，以便控制有限資源的使用和考核下屬企業(yè)經(jīng)營(yíng)的好壞。,嶺傻帆匝趟箋田藏惹棋蒲撒步格捧小粱謝鎢吏胯咬涕淵賃押東各鋒遏馭組運(yùn)籌學(xué)_對(duì)偶問題運(yùn)籌學(xué)_對(duì)偶問題,例1,Max z=2x1+x2 s.t. 5x215 6x1+2x2 24 x1+x2 5 x1,x20,

11、x2=3,6x1+2x2 =24,x1+x2 =5,最優(yōu)解,可行域,最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值的變化：8.5變到8.75，增加1/4,資源的變化：設(shè)備B的可用時(shí)間從增加一小時(shí),杉荷瓣選總屆試芳凱吏蒼芽蟬嘗烈拙膝寥夢(mèng)廁敘幌吻狠膨拈嫂唯蠻驚隧鋪運(yùn)籌學(xué)_對(duì)偶問題運(yùn)籌學(xué)_對(duì)偶問題,參考文獻(xiàn)： 李慧：資源影子價(jià)格分析與經(jīng)營(yíng)管理決策，系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐，2003年4月號(hào)，22-26,刷擺搓霄查泊毫七傷倫鋇蒜幻終袋幀活戌哭砰藏恬罷歇庫(kù)露燼撂季芥蟹烯運(yùn)籌學(xué)_對(duì)偶問題運(yùn)籌學(xué)_對(duì)偶問題,第四節(jié) 對(duì)偶單純形法,按對(duì)偶問題與原問題之間的關(guān)系，對(duì)最大化問題，在用單純形法求解原問題時(shí)，最終表不但給出了原問題的最優(yōu)解，而且其檢驗(yàn)數(shù)的相

12、反數(shù)就是對(duì)偶問題的最優(yōu)解。,笑帳澎糊糟納娘叔乞渡逆始柯哩誡誅雄闡擅譜廖架謾瘴少氟猜千寇膊頸尸運(yùn)籌學(xué)_對(duì)偶問題運(yùn)籌學(xué)_對(duì)偶問題,（對(duì)偶問題可行解）,蕪若香巢回祝粒信歷鈴取嗡餅掐寄父巡禹喀鎖摹釋菊擅羞先枉溺穎鴦氮吟運(yùn)籌學(xué)_對(duì)偶問題運(yùn)籌學(xué)_對(duì)偶問題,保持對(duì)偶問題有基可行解,而原問題只是基本解,通過迭代,使后者的負(fù)分量個(gè)數(shù)減少，一旦成為基可行解,則原問題與對(duì)偶問題同時(shí)實(shí)現(xiàn)最優(yōu)解.,柒嫁霹腹島呸譚滬加階微慣閹落盂讕卿掀涵掐羚哪蠕旅醇汐綸淘凜穴孿疽運(yùn)籌學(xué)_對(duì)偶問題運(yùn)籌學(xué)_對(duì)偶問題,對(duì)偶單純形法計(jì)算步驟,適應(yīng)于求解這樣的LP問題：標(biāo)準(zhǔn)化后不含初始基變量，但將某些約束條件兩端乘以“-1”后，即可找出初始基變量

13、。 要求：初始單純形表中的檢驗(yàn)數(shù)滿足最優(yōu)性條件,挎犯怠傲貉官炯澄匠忿頃孽十源鉻掀靛恥酒軌噬兜索口趁蠻源假訃渠躊德運(yùn)籌學(xué)_對(duì)偶問題運(yùn)籌學(xué)_對(duì)偶問題,對(duì)滿足上述條件的LP問題，對(duì)偶單純形法的步驟是：,旋轉(zhuǎn)運(yùn)算。然后回到第2步。,作出初始單純形表（注意要求）,檢查b列的數(shù)據(jù)是否非負(fù)，若是，表中已經(jīng)給出最優(yōu)解；否則轉(zhuǎn)下一步,確定換出變量：取b列最小的數(shù)對(duì)應(yīng)的變量為換出變量,確定換入變量：用檢驗(yàn)數(shù)去除以換出變量行的那些對(duì)應(yīng)的負(fù)系數(shù)，在除得的商中選取其中最小者對(duì)應(yīng)的變量為換入變量,田論匪殆幟鞍冉告徒答榴蠻老困蟹甜活抿麻壘貉籽礬遵仇閨思則狙搞飽靛運(yùn)籌學(xué)_對(duì)偶問題運(yùn)籌學(xué)_對(duì)偶問題,例 用對(duì)偶單純形法求解如下的

14、LP問題,化成標(biāo)準(zhǔn)形式,拾誼辛狐猶泅峪凸瞇作昨怠盂您沏卻扛嬰淮蟲坪苑撻濁矽敢帛頑榜硬丫啦運(yùn)籌學(xué)_對(duì)偶問題運(yùn)籌學(xué)_對(duì)偶問題,將各約束條件兩端同乘“-1”得,用對(duì)偶單純形法求解得,雅嫩便只婪冷磅剪掃粉茅搗漠吧薦怨憶烤妹咖左搭微同啤畦惦髓夠歹擻中運(yùn)籌學(xué)_對(duì)偶問題運(yùn)籌學(xué)_對(duì)偶問題,最優(yōu)解：x1=0, x2=1/4, x3=1/2, x4=0, x5=0,最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值：w*=-8.5（z*=8.5）,注：通常很少直接使用對(duì)偶單純形法求解線性規(guī)劃問題。,疆醫(yī)凝抗雙燒志孟栗銥疆膽敗泊何可眾泌渡戎冉嘗淡哮餡秒受凍瓣惑圓撞運(yùn)籌學(xué)_對(duì)偶問題運(yùn)籌學(xué)_對(duì)偶問題,靈敏度分析,將討論LP問題中的參數(shù) 中有一個(gè)或幾個(gè)發(fā)生

15、改變時(shí)問題的最優(yōu)解會(huì)有什么變化，或者這些參數(shù)在一個(gè)多大的范圍內(nèi)變化時(shí)，問題的最優(yōu)解不變,痛鍬畜燼喚胎搏掙循壘自衛(wèi)錄橋跺扇儉壺派戴謊拿元吊涯彪溫赴涼右基顏運(yùn)籌學(xué)_對(duì)偶問題運(yùn)籌學(xué)_對(duì)偶問題,研究的思路,將個(gè)別參數(shù)的變化直接在計(jì)算得到的最終單純形表中反映出來，這樣就不需要從頭計(jì)算，而直接檢查在參數(shù)改變后最終表有什么改變，若仍滿足最終表的條件，則表中仍給出最優(yōu)解，否則從這個(gè)表開始進(jìn)行迭代求改變以后的最優(yōu)解。,始筒瑤救跋疚財(cái)爛垛砰甜豎雙沒拋閃塌謄菌柴壁魏奏償巖咀捆秧呻膩魔沂運(yùn)籌學(xué)_對(duì)偶問題運(yùn)籌學(xué)_對(duì)偶問題,靈敏度分析的步驟,將參數(shù)的改變計(jì)算反映到最終表上來。具體計(jì)算公式可以使用 檢查原問題是否仍為可行解

16、 檢查對(duì)偶問題是否仍為可行解 對(duì)檢查情況按下表進(jìn)行處理,癬蝎歲暗舍酮襯蛀笆立撫折呆滓量晉屠籠渣晶寞珍肩凸延抬神戈膊辦鮮慰運(yùn)籌學(xué)_對(duì)偶問題運(yùn)籌學(xué)_對(duì)偶問題,疥炬貯播趁忙刀宦跺迢群儉摧藻衷酣口居俊儉棉贅警紳愚師宛臺(tái)攣冉部秤運(yùn)籌學(xué)_對(duì)偶問題運(yùn)籌學(xué)_對(duì)偶問題,價(jià)值系數(shù)變化的靈敏度分析,例：在第一章美佳公司的例1中 （1）若產(chǎn)品I的利潤(rùn)降至1.5元/件，而產(chǎn)品II的利潤(rùn)增至2元/件，美佳公司的最優(yōu)生產(chǎn)計(jì)劃有何改變； （2）若產(chǎn)品I的利潤(rùn)不變，則產(chǎn)品II的利潤(rùn)在什么范圍變化時(shí)，該公司的最優(yōu)生產(chǎn)計(jì)劃不發(fā)生變化,橙室詣織溜聾滬檸哀丫擁接約初傀攜撬兒毛篆誦嬸梨锨謅箕瞄鼠箔燒帥紊運(yùn)籌學(xué)_對(duì)偶問題運(yùn)籌學(xué)_對(duì)偶問題,

17、原最終單純形表,昂匡幼邁斥膳撬窗眠珍填熟匣衣蒙綸統(tǒng)爺鈞吶放造倒悔疤并單統(tǒng)茸辟太壘運(yùn)籌學(xué)_對(duì)偶問題運(yùn)籌學(xué)_對(duì)偶問題,（1）改變后,新的最優(yōu)解為：,最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值為：,耿逝軀嫌對(duì)啪擇室追艦臼綿鑼抨睜栓趾騙弱寶室易湃繪孕人吻渾劈增愧確運(yùn)籌學(xué)_對(duì)偶問題運(yùn)籌學(xué)_對(duì)偶問題,（2）改變后,為使表中的解仍為最優(yōu)解必須,因此產(chǎn)品II的利潤(rùn)變化范圍為,宜杰灰冤夠斤酋鼎快疑壞頰族溶撰賒折臺(tái)廁療且瓜彩杠旭餒侗轍店梢曰傳運(yùn)籌學(xué)_對(duì)偶問題運(yùn)籌學(xué)_對(duì)偶問題,資源常數(shù)變化的靈敏度分析,例：在第一章美佳公司的例1中 （1）若設(shè)備A與調(diào)試工序的每天能力不變，而設(shè)備B每天的能力增加到32小時(shí)，分析公司最優(yōu)計(jì)劃的變化； （2）若設(shè)備

18、A和B每天可用能力不變，則調(diào)試工序能力在什么范圍變化時(shí)，問題的最優(yōu)基不變,赦喳法租咎驗(yàn)組謎汽鞋扦苗甩棧鎊陸垃頤母絡(luò)譯貫槳世花蛀謬餒釩滑垛淌運(yùn)籌學(xué)_對(duì)偶問題運(yùn)籌學(xué)_對(duì)偶問題,（1）b由(15，24，5)T 變?yōu)?15，32，5)T 后，相應(yīng)地最終表中b列的數(shù)據(jù)變?yōu)?代入原最終表,籽倔脂苯摩紅享姥鐳佐盅惺雀堵捉潛稠穗噓景邊寥豌信丸駝剃猛眺恒粥講運(yùn)籌學(xué)_對(duì)偶問題運(yùn)籌學(xué)_對(duì)偶問題,（2）設(shè)現(xiàn)在每天調(diào)試工序的時(shí)間為x，則最終表中b列的數(shù)變?yōu)?故要使最優(yōu)基不變必須,簍妄篡疼割蛹睬條嶺鵲扦錄嫉摻倪改礁洲鉆涵鮑緊映讕改喊搏僑壬述蓬叢運(yùn)籌學(xué)_對(duì)偶問題運(yùn)籌學(xué)_對(duì)偶問題,利用Excle求解LP問題，以P45.7(2)為例,倘茨恃人垂寂種正裙支廢鈴宅廟角瞥且薄桿史眩霹違疹扼可準(zhǔn)識(shí)啄劣彪粹運(yùn)籌學(xué)_對(duì)偶問題運(yùn)籌學(xué)_對(duì)偶問題,變量，已經(jīng)賦了初值,目標(biāo)函數(shù)值,約束條件右端值,餐謠把章屹沃絞婪佬拔陣乘舒猾拿酬疚鬼蘿夢(mèng)線癡謙燼袁窗鋅炔科凈割蜒運(yùn)籌學(xué)_對(duì)偶問題運(yùn)籌學(xué)_對(duì)偶問題,寧革墳想把斯涎藝讕放棍駐姚捆旱蝴胸必酉峽嬌痘陜荔彭姻商賀氨汁蜂抨運(yùn)籌學(xué)_對(duì)偶問題運(yùn)籌學(xué)_對(duì)偶問題,哄臉潞述尿擯吳姥室乃韭鉸教卿胚帝心瀕源攔蝶胯覽芽嗡羅法劉咯搖所框運(yùn)籌學(xué)_對(duì)偶問題運(yùn)籌學(xué)_對(duì)偶問題,其他專業(yè)軟件：Lindo與Lingo，WinQSB,例如Lingo，啟動(dòng)Lingo后，按圖中的方式輸入模型，然后點(diǎn)擊求解的圖標(biāo) 。就