3-誤差傳播律

1、,偶然誤差服從正態(tài)分布； 精度； 精度指標：方差（中誤差）； 單個觀測值: 方差、協(xié)方差 觀測值向量： 方差-協(xié)方差陣、互協(xié)方差陣,設有：Y1=4X1-3X2-50,Y2=-X1+X2， 今已知： 求： X1的方差DX1 ,X2中誤差DX2 , X1 X2的協(xié)方差DX1X2 , Y1的方差DY1,觀測值函數(shù)的中誤差,X-獨立觀測值向量,設有：Y1=4X1-3X2-50,Y2=-X1+X2， 今已知： 求： X1的方差DX1 ,X2中誤差DX2 , X1 X2的協(xié)方差DX1X2 , Y1的方差DY1,第三章,協(xié)方差傳播律及權,3.1 協(xié)方差的傳播,一、 數(shù)學期望的特性 處理帶有偶然誤差的觀測值時

2、，常用數(shù)學期望表示其真值。 數(shù)學期望的定義： 性質： 如果隨機變量兩兩相互獨立，,3.1 協(xié)方差的傳播,二、 方差的特性 方差的定義： 性質：,設有：Y1=4X1-3X2-50,Y2=-X1+X2， 今已知： 求： X1的方差DX1 ,X2中誤差DX2 , X1 X2的協(xié)方差DX1X2 , Y1的方差DY1,二、觀測值線性函數(shù)的方差,設有向量：,證明：設：,那么：,二、觀測值線性函數(shù)的方差,那么：,-協(xié)方差傳播律,誤差傳播律：在間接觀測中，觀測值必須由一個或一系列的其他直接觀測值通過一定的函數(shù)關系間接計算出來，闡述觀測值函數(shù)的中誤差和觀測值中誤差的關系的公式成為誤差傳播律。,例1、設有：Y1=

3、4X1-3X2-50,Y2=-X1+X2， 今已知： 求：Y1的方差DY1，Y2的方差DY2， Y1關于Y2的協(xié)方差DY1Y2 F=Y1+Y2的方差DFF 51cm2,例2、設三角形中，同精度獨立觀測得到三個內(nèi)角L1，L2，L3，其中誤差為。 求：將三角形閉合差平均分配后的各角 的協(xié)方差陣。,二、觀測值線性函數(shù)的協(xié)方差,設有向量：,證明：設：,那么：,二、觀測值線性函數(shù)的方差,那么：,-協(xié)方差傳播律,二、觀測值線性函數(shù)的方差,協(xié)方差傳播律,二、協(xié)方差傳播律,例3 設隨機向量,，其自協(xié)方差陣分別是,、,，互協(xié)方差陣是 。 今有函數(shù),求： 解：,二、協(xié)方差傳播律,例3 設隨機向量,，其自協(xié)方差陣分

4、別是,、,，互協(xié)方差陣是 。 今有函數(shù),求： 解：,二、協(xié)方差傳播律,例4 如圖，觀測角 的中誤差 協(xié)方差 . 若 無誤差，求角 的中誤差。,K,例5、如圖，已知直線兩端點數(shù)字化坐標的平差值為：A(x1,y1), B(x2,y2),其協(xié)方差陣為： 邊長S1及S無誤差。 試求：AB直線上，AP = S1處的P點坐標（x,y）及其 協(xié)方差陣。,例5、如圖，已知直線兩端點數(shù)字化坐標的平差值為：A(x1,y1), B(x2,y2),其協(xié)方差陣為： 邊長S1及S無誤差。 試求：AB直線上，AP = S1處的P點坐標（x,y）及其 協(xié)方差陣。,三、觀測值非線性函數(shù)的方差,例1、已知隨機向量 的自協(xié)方差陣是

5、: 求函數(shù)向量 的方差陣。,設有觀測值向量X的非線性函數(shù)：,已知：,將Z=f(X)按Tailor級數(shù)在X0處展開：,非線性函數(shù)的線性化：,協(xié)方差傳播律：,三、觀測值非線性函數(shù)的方差,例1、已知隨機向量 的自協(xié)方差陣是: 求函數(shù)向量 的方差陣。,例2、已知函數(shù)： L的中誤差是。求x、y、z的方差和協(xié)方差。,協(xié)方差傳播應用步驟:,根據(jù)實際情況確定觀測值與函數(shù),寫出具體表達式 寫出觀測量的協(xié)方差陣 對函數(shù)進行線性化 協(xié)方差傳播律應用,3.2 協(xié)方差傳播定律 在測量中的應用,例1、由三角形閉合差計算測角中誤差（菲列羅公式） 設在三角網(wǎng)中獨立等精度觀測了各三角形之內(nèi)角，中誤差皆為。 設各三角形的閉合差為

6、W1、W2Wn。 設閉合差的中誤差W。 求:測角中誤差。,解： 因為閉合差是真誤差，故由中誤差定義可得閉合差的中誤差是,應用誤差傳播定律有：,測角中誤差是,其估值公式：,測量中：由三角形閉合差計算測角中誤差的菲列羅公式。,三、協(xié)方差傳播率的應用,2、算術平均值是最可靠的估值,在相同的觀測條件下，對一個量進行多次觀測，則所有觀測值的算術均值為該量的最佳估值。,證明,說明，n趨近無窮大時，算術平均值即為真值。,例2、獨立等精度觀測一個量，其算術平均值的中誤差 設一個量的n個獨立等精度的觀測值是L1、L2Ln，中誤差均為；其算術平均值是 則算術平均值的精度為： 算術平均值的中誤差為觀測值的中誤差的

7、倍,三、協(xié)方差傳播率的應用,結 論,n增大，即觀測次數(shù)增大，則均值的精度提高。 但，觀測次數(shù)增加到一定的次數(shù)后（如10次），精度提高很慢。,結論：要提高均值的精度，不能簡單的從無限制的增加觀測次數(shù)達到目的。而是要采用適當?shù)挠^測方法、適當?shù)膬x器和適當?shù)挠^測次數(shù)等幾個方面入手。,例3、水準測量的精度 A、B兩點間進行水準測量，共設N站次. A、B兩點間高差等于各站測量得到的高差之和: 求A、B點間高差的中誤差 。,三、協(xié)方差傳播率的應用,3、水準測量的精度,設水準測量中每一測站觀測高差hi的精度相同, 其方差均為 , 則具有N個測站的水準路線的總高差為,應用協(xié)方差傳播公式可得,在平坦地區(qū)的水準測量

8、中, 每公里的測站數(shù)大致相等, 因此, 每公里觀測高差的方差相等, 設其均為 , 則S公里觀測高差的方差和中誤差分別為,水準測量高差的中誤差 與水準距離、測站數(shù)的平方根成正比,結 論,例4、限差的確定 1、已知二等三角測量中的觀測角中誤差是 ，則三角形閉合差的限差： 2、已知用T2經(jīng)緯儀觀測每一個方向的中誤差是 。兩次照準零方向的觀測值是L1和L2。歸零差 ,其中誤差是： 歸零差d的限差是:,三、協(xié)方差傳播率的應用,5、等精度觀測數(shù)據(jù)的精度計算,第一公式,第二公式 （白塞爾公式）,條件：觀測值真已知,條件：觀測值真值未知，算術平均值L已知,其中 觀測值改正數(shù)，,三、協(xié)方差傳播率的應用,證明：,

9、兩式相加，有,即,證：,設 則,三、協(xié)方差傳播率的應用,將上列等式兩端各自平方，并求其和，則,將 代入上式，則,故,（PQ）,又因,三、協(xié)方差傳播率的應用,由于 為偶然誤差，它們的非自乘積 仍具有偶然誤差的性質，根據(jù)偶然誤差的特性，即,第二公式 （白塞爾公式）,三、協(xié)方差傳播率的應用,6、等精度觀測數(shù)據(jù)均值中誤差,三、協(xié)方差傳播率的應用,例6設用經(jīng)緯儀測量某個角6測回，觀測值列于 表中。試求觀測值的中誤差及算術平均值中誤差。,算術平均值L中誤差是：,獨立等精度觀測一個量，其算術平均值的中誤差 水準測量高差的中誤差,3.3 協(xié)因數(shù)的傳播,一、權的定義,稱pi為觀測值Li的權。,例：設有三個觀測值

10、,其中誤差是,、,求各個觀測值的權。6:3:2,（三）權是衡量精度的相對指標，為了使權起到比較精度的作用，一個問題只選一個0。,（四）只要事先給定一定的條件，就可以定權。,權與方差成反比。,二、常用的定權方法,1、水準測量的權,或,水準測量中，高差的權與路線長或水準距離成反比,2、算術平均值的權,算術平均值的權是等精度觀測值的權的n倍。 與觀測次數(shù)成正比。,例1：對A角進行4次同精度獨立觀測，一次測角中誤差為2.4秒。已知4次算術平均值的權為2.欲使A的權等于6，應觀測幾次？ 例：相同觀測條件下觀測兩個角度：A=300000， B=300000。 若對A觀測9個測回，其均值的權為1.則對B觀測

11、16個測回的均值的權是多少？,（三）權是衡量精度的相對指標，為了使權起到比較精度的作用，一個問題只選一個0。,（四）只要事先給定一定的條件，就可以定權。,權與方差成反比。,三、 的意義： 1、當 pi=1時， 2、當 時， pi=1 權為1的觀測值Li 稱 為單位權觀測值。 Li的方差稱為單位權方差 。,例3：某角以每測回中誤差為 的精度測量了9次，其平均值的權為1。試求單位權中誤差。 例4：水準路線長450米，其高差之權是4，若使得高差的權為1，路線長應當為多少？ 權是衡量精度的相對指標,三、 協(xié)因數(shù)與協(xié)因數(shù)陣,同理有：觀測值向量 的協(xié)因數(shù)陣由：,特點： 對稱可逆方陣,QXX-為協(xié)因數(shù)陣,四

12、、權陣,五、協(xié)因數(shù)傳播律,因協(xié)因數(shù)陣和協(xié)方差陣的關系是：,協(xié)因數(shù)傳播律,將協(xié)方差傳播定律和協(xié)因數(shù)傳播定律 合稱為廣義誤差傳播定律,協(xié)方差傳播律,例1：已知獨立觀測值L1、L2、L3的協(xié)因數(shù)分別是16、4、25， 求函數(shù) 的協(xié)因數(shù)。 例2：已知 u的協(xié)因數(shù)為Qu =4， 求x、y、z的協(xié)因數(shù)和Qxy,例3、已知獨立觀測值Li(i=1n)的權均為p, 求:算術平均值的權。 例4、已知獨立觀測值Li(i=1n)的權為pi(i=1n) 求:加權平均值的權。,六、非等精度觀測數(shù)據(jù)的精度估計,等精度觀測數(shù)據(jù)的精度,非等精度觀測數(shù)據(jù)，如何求？,通過加權化為等精度觀測,六、非等精度觀測值中誤差計算,六、非等精

13、度觀測數(shù)據(jù)的精度估計,六、非等精度觀測數(shù)據(jù)的精度估計,非等精度觀測數(shù)據(jù)中誤差為：,非等精度觀測數(shù)據(jù)單位權中誤差計算公式,六、非等精度觀測數(shù)據(jù)的精度估計,用改正數(shù)計算的非等精度觀測數(shù)據(jù)的精度估計：,六、單位權中誤差0,設有觀測值向量： 其方差、權和單位權方差的關系： 因： 有,上式兩邊取矩陣的跡： 因為 所以 ， 估值公式,當觀測值有t個時，用觀測值改正數(shù)計算單位權中誤差：,六、非等精度觀測數(shù)據(jù)的精度估計,七、用雙觀測量之差求單位權中誤差,觀測數(shù)據(jù)的真誤差一般是不知道的，測量時常對一系列觀測量進行成對觀測（雙觀測），形成雙觀測量，可以用雙觀測量求單位權中誤差,水準測量往返測 像點坐標重復測量 G

14、PS重復測量 邊長往返對測,用雙觀測量之差求取單位權中誤差觀測精度計算,例5、水準測量中，每段路線均進行往返測，得獨立觀測值對及其權 ： 求：1）觀測值對差的權及單位權中誤差 2）觀測值的中誤差 3）任意一對觀測對均值的中誤差,六、非等精度觀測數(shù)據(jù)的精度估計,七、用雙觀測量之差求單位權中誤差,由協(xié)因數(shù)傳播律有： 觀測值對差的權：,六、非等精度觀測數(shù)據(jù)的精度估計,1）雙觀測量單位權中誤差,六、非等精度觀測數(shù)據(jù)的精度估計,2）雙觀測量列（每一組）單次觀測值中誤差,六、非等精度觀測數(shù)據(jù)的精度估計,3）雙觀測量列（每一組）平均值中誤差,六、非等精度觀測數(shù)據(jù)的精度估計,例1：,3、舉例,六、非等精度觀測

15、數(shù)據(jù)的精度估計,3、舉例,例2：,3.4 系統(tǒng)誤差的傳播,一、觀測值的系統(tǒng)誤差： 設有觀測值L，其真值為 ，則觀測值的綜合誤差為： 綜合誤差的數(shù)學期望： 是真值與觀測值的數(shù)學期望之差，反映了觀測值的數(shù)學期望對于真值的偏差愈小-準確度,當觀測值中既存在偶然誤差，又存在系統(tǒng)誤差時，常常用觀測值的綜合誤差的方差均方誤差，來表征觀測值的可靠性。 例：當系統(tǒng)誤差為中誤差的三分之一時 實際應用中，如果系統(tǒng)誤差是偶然誤差的三分之一或更小時，則可將系統(tǒng)誤差的影響忽略，或說：偶然誤差占主導地位。,二、系統(tǒng)誤差傳播,當觀測值只存在有系統(tǒng)誤差時，其函數(shù)也將產(chǎn)生系統(tǒng)誤差，稱之為系統(tǒng)誤差的傳播。,三、系統(tǒng)誤差和偶然誤差的聯(lián)合傳播,當獨立觀測值中，同時含有偶然誤差和系統(tǒng)誤差時，,嗎,例：在用鋼尺量