2020年高中數(shù)學(xué) 第一章 第9、10課時 解三角形復(fù)習(xí)課學(xué)案 蘇教版必修5（通用）

1、第9課時 解三角形復(fù)習(xí)課(1)、(2)學(xué)習(xí)要求 1 掌握正弦定理、余弦定理，并能初步運用它們解斜三角形；2 能利用計算器解決三角形的計算問題?！菊n堂互動】自學(xué)評價1正弦定理：(1)形式一：= 2R ；形式二：；（角到邊的轉(zhuǎn)換）形式三：，；（邊到角的轉(zhuǎn)換）形式四：；（求三角形的面積）(2)解決以下兩類問題： 1）、已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一角；（唯一解） 2）、已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角（從而進(jìn)一步求出其他的邊和角）。(3)若給出那么解的個數(shù)為：若，則無解；若，則一解；若，則兩解；2余弦定理：(1)形式一：，聽課隨筆形式二：，（角到邊的轉(zhuǎn)換）(2)解決以下兩類問題：1）、已知

2、三邊，求三個角；（唯一解）2）、已知兩邊和它們得夾角，求第三邊和其他兩個角；（唯一解）【精典范例】一、判定三角形的形狀【例1】根據(jù)下列條件判斷三角形ABC的形狀：(1) 若a2tanB=b2tanA；(2) b2sin2C + c2sin2B=2bccosBcosC;(3) (3)(sinA + sinB + sinC) (cosA + cosB + cosC)=1.【解】(1)由已知及正弦定理得(2RsinA)2 = (2RsinB)2 2sinAcosA=2sinBcosBsin2A=sin2B2cos(A + B)sin(A B)=0 A + B=90o 或 A B=0所以ABC是等腰三

3、角形或直角三角形.(2)由正弦定理得sin2Bsin2C=sinBsinCcosBcosC sinBsinC0, sinBsinC=cosBcosC,即 cos(B + C)=0, B + C=90o, A=90o,故ABC是直角三角形.(3)(sinA + sinB + sinC) (cosA + cosB + cosC)=12sincos+ sin(A + B) 2coscos+ 2cos2- 1=02sincos+ sin(A + B) 2coscos - 2sin2=0(sin- cos)(cos- sin)=0sin( - )sinsin=0ABC是Rt.二、三角形中的求角或求邊長問

4、題【例2】ABC中，已知：AB=2，BC=1，CA=，分別在邊AB、BC、CA上取點D、E、F，使DEF是等邊三角形.設(shè)FEC=，問sin為何值時，DEF的邊長最短？并求出最短邊的長。分析：要求最短邊的長，需建立邊長關(guān)于角的目標(biāo)函數(shù)?！窘狻吭O(shè)DEF的邊長為x，顯然C=90，B=60，故EC=xcos。因為DEC=DEF+=EDB+B，所以EDB=。在BDE中，由正弦定理得，聽課隨筆所以 ，因為BE+EC=BC，所以，所以 當(dāng)，。注：在三角形中，已知兩角一邊求其它邊，自然應(yīng)聯(lián)想到正弦定理?！纠?】在ABC中，已知sinB=, cosA=, 試求cosC的值?！窘狻坑蒫osA=，得sinA=, s

5、inBsinA, B中能是銳角 cosB=,又 cosC= - cos(A + B)=sinAsinB cosAcosB=.【例4】在ABC中，已知邊上的中線BD=，求sinA的值.分析：本題主要考查正弦定理、余弦定理等基礎(chǔ)知識，同時考查利用三角公式進(jìn)行恒等變形的技能和運算能力.【解】設(shè)E為BC的中點，連接DE，則DE/AB，且DE=在BDE中利用余弦定理可得：BD2=BE2+ED22BEEDcosBED，【例5】在ABC中，角A、B、C所對的邊分別為、b、c，且. （）求的值；（）若，求bc的最大值. 【解】() = = () 聽課隨筆,又 當(dāng)且僅當(dāng) b=c=時,bc=,故bc的最大值是.三

6、、解平面幾何問題【例6】已知圓內(nèi)接四邊形ABCD的邊長分別為AB=2，BC=6，CD=DA=4，求四邊形ABCD的面積。 分析：連結(jié)對角線BD，將四邊形面積轉(zhuǎn)化為三角形面積來求，而要求三角形面積，需求出A、C，這可由余弦定理列方程求得。【解】四邊形ABCD的面積S=.注：在應(yīng)用正弦定理解題時要注意方程思想的運追蹤訓(xùn)練一1. ABC中a=6,b=6 A=30則邊C=（ C ）A、6 B、12 C、6或12 D、62. ABC中若sin(A+B) ，則ABC是（ B ）A 銳角三角形 B 直角三角形 C 鈍角三角形 D 等腰三角形3. ABC中若面積S=則C=（ C ）A B C D4.ABC中已

7、知A=60，AB =AC=8：5，面積為10，則其周長為 20 ;5.ABC中A：B：C=1：2：3則a：b：c= 1:2 . 【選修延伸】四、解實際應(yīng)用問題【例7】某觀測站C在A城的南偏西20方向，由A城出發(fā)有一條公路定向是南偏東40，由C處測得距C為31km的公路上B處有1人沿公路向A城以v=5km/h的速度走了4h后到達(dá)D處，此時測得C、D間距離為21km。問這人以v的速度至少還要走多少h才能到達(dá)A城。【解】由已知得CD=21，BD=20，CB=31，CAD=60。設(shè)AD=x，AC=y。在ACB和ACD中，分別由余弦定理得，聽課隨筆人以v的速度至少還要走3h才能到達(dá)A城。五、證明三角恒等

8、式【例8】在ABC中， 求證： + +=0.【證明】因為 =4R2(cosB cosA),同理 =4R2(cosC cosB)=4R2(cosA cosC).所以左邊=4R2(cosB cosA) + 4R2(cosC cosB) + 4R2(cosA cosC)=0 得證.【例9】在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a, b, c, 證明：?！咀C明】由余弦定理知，兩式相減得。所以，所以。由正弦定理，所以=。故等式成立。追蹤訓(xùn)練二1ABC中若面積sinAcosBsinB=sinCsinAcosC 且周長為12，則其面積最大值為 36(3);2ABC中已知sin(A+B)+sin(A+B)=,cos(A+B)+cos(A+B)= 求角A和B【解】 聽課隨