人教版高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)課時(shí)作業(yè)62

1、課時(shí)作業(yè)課時(shí)作業(yè) 62圓錐曲線中的最值、范圍與定值、定點(diǎn) 問(wèn)題 圓錐曲線中的最值、范圍與定值、定點(diǎn) 問(wèn)題 1已知橢圓 C 過(guò)點(diǎn) M，點(diǎn) F(，0)是橢圓的左焦點(diǎn)， ( 1， 6 2 ) 2 點(diǎn) P，Q 是橢圓 C 上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且|PF|，|MF|，|QF|成等差數(shù)列 (1)求橢圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)求證：線段 PQ 的垂直平分線經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn) A. 解：(1)設(shè)橢圓 C 的方程為1(ab0)，由已知，得Error! x2 a2 y2 b2 解得Error! 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 1. x2 4 y2 2 (2)證明：設(shè) P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 x2 4 y2

2、2 1，可知|PF| x 1 22y2 1 x 1 222x 2 1 2 2x1，同理|QF|2x2， 2 2 2 2 |MF|2， 1 2 2( 6 2 ) 2 2 2 2|MF|PF|QF|， 24(x1x2)，x1x22. ( 2 2 2 ) 2 2 ()當(dāng) x1x2時(shí)，由Error! 得 x x 2(y y )0， 2 12 22 12 2 . y1y2 x1x2 1 2 x1x2 y1y2 設(shè)線段 PQ 的中點(diǎn)為 N(1，n)，由 kPQ， y1y2 x1x2 1 2n 得線段 PQ 的中垂線方程為 yn2n(x1)， (2x1)ny0，該直線恒過(guò)一定點(diǎn) A. ( 1 2，0) ()

3、當(dāng) x1x2時(shí)， P， Q或 P， Q， ( 1， 6 2 )( 1， 6 2 )( 1， 6 2 ) ( 1， 6 2 ) 線段 PQ 的中垂線是 x 軸，也過(guò)點(diǎn) A. ( 1 2，0) 綜上，線段 PQ 的中垂線過(guò)定點(diǎn) A. ( 1 2，0) 2已知橢圓1(ab0)的離心率為，且過(guò)點(diǎn)(2，) x2 a2 y2 b2 2 2 2 (1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)四邊形 ABCD 的頂點(diǎn)在橢圓上，且對(duì)角線 AC，BD 過(guò)原點(diǎn) O， 若 kACkBD. b2 a2 求證：四邊形 ABCD 的面積為定值 解 ： (1)由題意 e ，1，又 a2b2c2，解得 a28， c a 2 2 4 a2 2

4、 b2 b24，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 1. x2 8 y2 4 (2)證明：設(shè)直線 AB 的方程為 ykxm，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 聯(lián)立Error!得(12k2)x24kmx2m280， (4km)24(12k2)(2m28)8(8k2m24)0， 由根與系數(shù)的關(guān)系得Error! kACkBD ， ， b2 a2 1 2 y1y2 x1x2 1 2 y1y2 x1x2 . 1 2 1 2 2m28 12k2 m24 12k2 又 y1y2(kx1m)(kx2m) k2x1x2km(x1x2)m2 k2kmm2， 2m28 12k2 4km 12k2 m28k2 12k2 ，(m2

5、4)m28k2， m24 12k2 m28k2 12k2 4k22m2. 設(shè)原點(diǎn)到直線 AB 的距離為 d，則 SAOB |AB|d|x2x1| 1 2 1 2 1k2 |m| 1k2 |m| 2 x 1x224x1x2 |m| 2 ( 4km 12k2) 24 2m28 12k2 |m| 2 8m2 12k22 2，2 S四邊形 ABCD4SAOB8，2 即四邊形 ABCD 的面積為定值 3在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，動(dòng)點(diǎn) P 到兩點(diǎn)(，0)，(，0)33 的距離之和等于 4，設(shè)點(diǎn) P 的軌跡為曲線 C，直線 l 過(guò)點(diǎn) E(1，0)且 與曲線 C 交于 A，B 兩點(diǎn) (1)求曲線 C 的軌

6、跡方程； (2)AOB 的面積是否存在最大值，若存在，求出AOB 的面積 的最大值；若不存在，說(shuō)明理由 解：(1)由橢圓定義可知，點(diǎn) P 的軌跡 C 是以(，0)，(，0)33 為焦點(diǎn)，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為 2 的橢圓 故曲線 C 的軌跡方程為 y21. x2 4 (2)AOB 的面積存在最大值 因?yàn)橹本€ l 過(guò)點(diǎn) E(1,0)，所以可設(shè)直線 l 的方程為 xmy1 或 y0(舍)由Error! 整理得(m24)y22my30，(2m)212(m24)0. 設(shè)點(diǎn) A(x1，y1)，B(x2，y2)，其中 y1y2. 解得 y1，y2. m2 m2 3 m24 m2 m2 3 m24 則|y2y1|. 4

7、 m2 3 m24 因?yàn)?SAOB |OE|y1y2| 1 2 2 m2 3 m24 . 2 m23 1 m23 設(shè) t，t，g(t)t ，則 g(t)1 ，故當(dāng) tm233 1 t 1 t2 3 時(shí)，g(t)0 恒成立，則 g(t)在區(qū)間，)上為增函數(shù)，所以3 g(t)g().3 4 3 3 所以 SAOB，當(dāng)且僅當(dāng) m0 時(shí)取等號(hào) 3 2 所以 SAOB的最大值為. 3 2 1(2014新課標(biāo)全國(guó)卷)已知點(diǎn) A(0，2)，橢圓 E： x2 a2 y2 b2 1(ab0)的離心率為，F(xiàn) 是橢圓 E 的右焦點(diǎn)，直線 AF 的斜率為 3 2 ，O 為坐標(biāo)原點(diǎn) 2 3 3 (1)求 E 的方程；

8、(2)設(shè)過(guò)點(diǎn) A 的動(dòng)直線 l 與 E 相交于 P，Q 兩點(diǎn)，當(dāng)OPQ 的面積 最大時(shí)，求 l 的方程 解：(1)設(shè) F(c,0)，由條件知， ，得 c. 2 c 2 3 3 3 又 ，所以 a2，b2a2c21. c a 3 2 故 E 的方程為 y21. x2 4 (2)當(dāng) lx 軸時(shí)不合題意，故設(shè) l：ykx2，P(x1，y1)，Q(x2， y2) 將 ykx2 代入 y21 得 x2 4 (14k2)x216kx120. 當(dāng) 16(4k23)0，即 k2 時(shí)，x1,2. 3 4 8k 2 4k2 3 4k21 從而|PQ|x1x2|.k21 4 k 21 4k23 4k21 又點(diǎn) O

9、到直線 PQ 的距離 d.所以O(shè)PQ 的面積 2 k21 SOPQ d|PQ|. 1 2 4 4k2 3 4k21 設(shè)t，則 t0，SOPQ.4k23 4t t24 4 t4 t 因?yàn)?t 4，當(dāng)且僅當(dāng) t2，即 k時(shí)等號(hào)成立，且滿足 4 t 7 2 0. 所以，當(dāng)OPQ 的面積最大時(shí)，l 的方程為 yx2 或 yx2. 7 2 7 2 2已知橢圓1(ab0)經(jīng)過(guò)點(diǎn) M(，1)，離心率為. x2 a2 y2 b2 6 2 2 (1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 (2)已知點(diǎn) P(， 0)， 若 A， B 為已知橢圓上兩動(dòng)點(diǎn)， 且滿足6 PA PB 2，試問(wèn)直線 AB 是否恒過(guò)定點(diǎn)？若恒過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)給出證明，

10、并求 出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過(guò)，請(qǐng)說(shuō)明理由 解：(1)由題意得 ， c a 2 2 因?yàn)闄E圓經(jīng)過(guò)點(diǎn) M(，1)，所以1.6 6 a2 1 b2 又 a2b2c2， 由，解得 a28，b2c24. 所以橢圓方程為 1. x2 8 y2 4 (2)當(dāng)直線 AB 與 x 軸不垂直時(shí)，設(shè)直線的方程為 ykxm，代 入 1，消去 y 整理得(2k21)x24kmx2m280. x2 8 y2 4 由 0，得 8k24m20，(*) 設(shè) A(x1，y1)，B(x2，y2)，則 x1x2，x1x2. 4km 2k21 2m28 2k21 所以(x1)(x2)y1y2 PA PB 66 (x1)(x2)(kx1m)(kx2m)66 (k21)x1x2(km)(x1x2)6m22，6 得(k21)x1x2(km)(x1x2)8m20，6 (k21)(km)8m20， 2m28 2k21 6 4km 2k21 整理得(m2k)20，從而 mk，且滿足(*)，32 2 6 3 所以直線 A