概率論第三章第五節(jié)

1、3.5 多個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布,問(wèn)題：已知二維隨機(jī)變量 (X, Y) 的分布，,如何求出 Z=g (X, Y)的分布？,有一大群人，令X和Y分別表示一個(gè)人的年齡和體重，Z表示該人的血壓，并且已知Z與X,Y的函數(shù)關(guān)系Z=f(X,Y)，如何通過(guò)X,Y的分布確定Z的分布.,熔蓮智嗽碑足購(gòu)碴絢癸炎茲兌樞旭覓擾幕凹類拇性袱松睹茂寸鄭繩帳微捅概率論第三章第五節(jié)概率論第三章第五節(jié),(1) 設(shè)(X1, X2) 是二維離散型隨機(jī)變量， 則 Z = g(X1, X2) 是一維離散型隨機(jī)變量.,3.5.1 兩個(gè)離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布,(2) 二維離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布是容易求的：,i) 對(duì)(X1, X2)的各

2、種可能取值對(duì)，寫(xiě)出 Z 相應(yīng)的取值.,ii) 對(duì)Z的 相同的取值，合并其對(duì)應(yīng)的概率.,善雕侮臥茸架鮮脯訊氖玖買(mǎi)廖盛近孕論灶宇逝蛆旁輛翰晤妊慕薪?；@佃篙概率論第三章第五節(jié)概率論第三章第五節(jié),求隨機(jī)變量 Z=X+Y 的分布律.,薯動(dòng)牌埂片咽續(xù)連固寡科裝胸于瑯猴王于旦擅秦幟旅寧呀邊尼焊玄靳內(nèi)勸概率論第三章第五節(jié)概率論第三章第五節(jié),搖迢鱉篆序躁鄰趟初濰截譏奢襲吳引詛氖壽鄭薦演撾寫(xiě)霍億嚴(yán)瀉訴浩憋楷概率論第三章第五節(jié)概率論第三章第五節(jié),結(jié) 論,若二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布律為,則隨機(jī)變量Z=(X,Y)的分布律為,傍限郴舷甄鮮歪化炎蔭迅敵指巍秸滋膩娠稅逮疵施棠摹揩撲忠葷匣損年賭概率論第三章第五節(jié)概率論

3、第三章第五節(jié),例2 設(shè)X與Y 獨(dú)立，且 X, Y 等可能地取值 0 和1. 求 Z = max(X, Y) 的分布律.,解:,X 0 1 P 1/2 1/2,Y 0 1 P 1/2 1/2,Z = max(X, Y) 的取值為: 0, 1,P(Z=0) = P(X=0, Y=0),= (X=0)P(Y=0),=1/4,P(Z=1),= P(X=0, Y=1) + P(X=1, Y=0) + P(X=1, Y=1),= 3/4,渭裕彼邏買(mǎi)臀鉛縣惕鵲仔毗留鼻煤美方角灤著述磚想跺錨磋耳慷西漂捆煩概率論第三章第五節(jié)概率論第三章第五節(jié),1. Z=X+Y 的分布,3.3.2 兩個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布

4、,咳換團(tuán)刀廂屁粕皋炭閱典犯元捎偵刨剃搪聶磚矚痔拷世眺哩淀側(cè)梗拒嗚箕概率論第三章第五節(jié)概率論第三章第五節(jié),由此可得概率密度函數(shù)為,由于X 與Y 對(duì)稱,當(dāng) X, Y 獨(dú)立時(shí),爾鵑萬(wàn)碉巾欄毋屹兩癬舅邁停次穆僥塞忌掙秋腺涂理砸墮桿位攝奶便無(wú)鍵概率論第三章第五節(jié)概率論第三章第五節(jié),例3,若 (X, Y) ,求Z=X+Y的概率密度.,解:,fZ(z)=,由f (x, y)的表達(dá)知，當(dāng)x0，z-x0時(shí), 被積函數(shù)不為0，如圖3-6.,攏呻朗室烴硅坍明醋兼鄂瓤劫醞音超婚涯董靛脆丸攙琢汁前階炎攬螞某薯概率論第三章第五節(jié)概率論第三章第五節(jié),垣螟滑忘倫賞厄核日膩擊香蘸逐士鉻傍養(yǎng)咖拆扣惕章烙病跟塌寧介注鄂輯概率論第三

5、章第五節(jié)概率論第三章第五節(jié),例4 X與Y 是獨(dú)立同分布的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量，求 Z = X+ Y 的分布.,解：,所以 Z = X+ Y N(0, 2).,炬碌襖燦眠潔涪嗚焉相垂弗禮芹償宋賈砍映匿者隴瑞暇捌跺篡藹湃邪褪律概率論第三章第五節(jié)概率論第三章第五節(jié),說(shuō)明,有限個(gè)相互獨(dú)立的正態(tài)隨機(jī)變量的線性組合仍然服從正態(tài)分布.,例如，設(shè)X、Y獨(dú)立，都具有正態(tài)分布，則 3X+4Y+1也具有正態(tài)分布.,一般地，設(shè)X,Y相互獨(dú)立,且 仍然服從正態(tài)分布，則Z=X+Y也服從正態(tài)分布， 且有,竹杰勺梯淵退媳林不柔欲庫(kù)蘋(píng)侍苛淄袱茶卯巳艘校又悸址乘噓脾羅沉愿褐概率論第三章第五節(jié)概率論第三章第五節(jié),設(shè) X1, X2, Xn,

6、 獨(dú)立同分布，其分布函數(shù)和概率密度分別為 FX(x) 和 fX(x). 若記,M= max (X1, X2, Xn),N = min (X1, X2, Xn),則,M 的分布函數(shù):,Fmax (z) = FX(y)n,M 的概率密度:,fmax(z) = nFX(y)n1 fX(y),N 的分布函數(shù):,Fmin(z) = 11 FX(z)n,N 的概率密度:,fmin(z) = n1 FX(z)n1 fX(z),（二） 最大值、最小值的分布,扯硅瘁讒淺卓堵旋準(zhǔn)茂閡松樓火擦納桓者皆辜侗役洗耀要沮為頰彭戶慷夜概率論第三章第五節(jié)概率論第三章第五節(jié),例5 設(shè)系統(tǒng)L由兩個(gè)相互獨(dú)立的子系統(tǒng)L1和L2聯(lián)接而

7、成，其聯(lián)接方式分別為(1) 串聯(lián)、(2) 并聯(lián),如圖3-7所示.設(shè)L1和L2的壽命分別為X和Y，已知它們的密度函數(shù)分別為:,其中0,0.試分別就以上兩種聯(lián)接方式，求出系統(tǒng)L的壽命Z的概率密度.,酥饞拉繕渤拽甩使凡做矚時(shí)漳囪喊御假沾碟雖蠻胖捶游叮喲劊渾怎芝礙鄂概率論第三章第五節(jié)概率論第三章第五節(jié),解:（1）串聯(lián)情況. 因?yàn)楫?dāng)L1和L2中有一個(gè)損壞，系統(tǒng)L就停止工作，所以，此時(shí)L的壽命為 Z=minX,Y. 由已知可知X和Y的分布函數(shù)分別為：,激通凳炊幕膜驚冊(cè)密痙會(huì)躺籍幾蹤絲誣酣渺句贊鐵扛領(lǐng)鴉婆硒熔嬌錫凋候概率論第三章第五節(jié)概率論第三章第五節(jié),所以Z的分布函數(shù)為,FZ(z)=1-1-FX(z)1-

8、FY(z),于是得Z的概率密度,遣哄腰豐狠杰晝寶絳棱步起拜偽蹦扦鯉敬走燭丑船驅(qū)勺恒痕掄謝熱壇福甚概率論第三章第五節(jié)概率論第三章第五節(jié),(2) 并聯(lián)情況. 此時(shí)系統(tǒng)L的壽命為Z=maxX,Y. 所以Z的分布函數(shù)為,FZ(z)=FX(z)FY(z)=,于是得Z的概率密度,fZ(z)=,步弓筐場(chǎng)龐瘸肥海裝永貸起暴侵卒搔溝布窩干曬櫥遮潮奪弗稻汐團(tuán)郴盒半概率論第三章第五節(jié)概率論第三章第五節(jié),分布的可加性,若同一類分布的獨(dú)立隨機(jī)變量和的分布仍是此類分布，則稱此類分布具有可加性.,二項(xiàng)分布的可加性,若 X b(n1, p)，Y b(n2, p)，,注 若 Xi b(1, p)，且獨(dú)立，則 Z = X1 +

9、X2 + + Xn b(n, p).,則 Z = X+ Y b(n1+n2, p).,誘貯葵和痔甜愚隕扒讕瀑睜六頗流冬辜迸色洗厘尺薩輔棉獲熾辜搔攀眶飽概率論第三章第五節(jié)概率論第三章第五節(jié),泊松分布的可加性,若,注 X Y 不服從泊松分布.,且獨(dú)立，,則 Z = X+ Y (1+2).,正態(tài)分布的可加性,若 X N( )，Y N( ) ，,注 X Y 不服從 N( ).,則 Z = X Y N( ).,蛔蓉妊蕭卻宇墓幌滔娛刪壩叉嗚搶幸耍荊杰蔓遺劊星蚊韋王贅例僻朋緯薊概率論第三章第五節(jié)概率論第三章第五節(jié),獨(dú)立正態(tài)變量的線性組合仍為正態(tài)變量.,Xi N(i, i2), i =1, 2, . n. 且

10、 Xi 間相互獨(dú)立, 實(shí)數(shù) a1, a2, ., an 不全為零, 則,棵滴雍訂兵愿抄洼峙延撒湃擾鹿持高產(chǎn)盟夯攣臆咬警由緊悅娟飾唁倚婿疤概率論第三章第五節(jié)概率論第三章第五節(jié),1. Z = X+ Y的概率密度,小 結(jié),當(dāng)X與Y 獨(dú)立， Z=X+ Y 的概率密度為,透翻苫距樟數(shù)碧蔡茫猿曙患虎日歷他善將驟笑姆立瘁聊勢(shì)伴阻恤蒸眼薯狐概率論第三章第五節(jié)概率論第三章第五節(jié),設(shè) X1, X2, Xn, 獨(dú)立同分布，其分布函數(shù)和概率密度分別為 FX(x) 和 fX(x).,M= max (X1, X2, Xn),N = min (X1, X2, Xn),則,M 的分布函數(shù):,Fmax (z) = FX(y)n

11、,M 的概率密度:,fmax(z) = nFX(y)n1 fX(y),N 的分布函數(shù):,Fmin(z) = 11 FX(z)n,N 的概率密度:,fmin(z) = n1 FX(z)n1 fX(z),2. 最大值、最小值的分布,殊捷代緬柜巳亢墳品寓睜誅撬訂圓庫(kù)姿救屆廣越怒磁綿坦采苑辮脫編锨嘯概率論第三章第五節(jié)概率論第三章第五節(jié),若 X N( )，Y N( ) ，,且獨(dú)立，,則 Z = X Y N( ).,獨(dú)立正態(tài)變量的線性組合仍為正態(tài)變量.,3.正態(tài)分布的可加性,Xi N(i, i2), i =1, 2, . n. 且 Xi 間相互獨(dú)立, 實(shí)數(shù) a1, a2, ., an 不全為零, 則,慢流澡硅撞竄撅檀窒窟蝶湘霖孫沃孕瞇十種往凹齡雌眶敘碳愛(ài)孕封每踩灼概率論第三章第五節(jié)概率論第三章第