保險精算期末復習題

1、 1 保險精算學課程期末復習題保險精算學課程期末復習題 一、一、名詞解析名詞解析： 永續(xù)年金【Cf:教材 P26】 永續(xù)年金：是收付期限沒有限制、每隔一個時間間隔永遠連續(xù)收付得年金。 期末付永續(xù)年金的現值： 1 lim n n aa i 期首付永續(xù)年金的現值： 1 lim n n aa d 死亡力【Cf:教材 P54】 死亡力：達到 x 歲的人中，在一瞬間里死亡的人所占的比率，記為 x ( )( ) ln ( ) ( )1( ) x sxfx s x s xF x 人壽保險【Cf:教材 P77】 人壽保險： （1）狹義的人壽保險是以被保險人在保障期是否死亡作為保險標的【保險賠付條 件】的一種保

2、險。 （2）廣義的人壽保險是以被保險人的壽命作為保險標的的一種保險。它包括以保障期內被 保險人死亡為標的的狹義壽險，也包括以保障期內被保險人生存為標的的生存保險和兩全保險。 定期壽險：以死亡為給付保險金條件，且保險期限為固定年限的人壽保險。 終身壽險：保險人對被保險人在投保后任何時刻發(fā)生的保險責任范圍內的死亡均給付保險金 的險種。 純生存保險：以被保險人投保后在規(guī)定期期滿時仍然生存為保險金支付條件的險種。 兩全保險：定期壽險和純生存保險的合險。 躉繳凈保費【Cf:教材 P82】 躉繳凈保費： 在保單生效日， 被保險人一次性繳付的、 恰好覆蓋保險人將來賠付風險的費用。 生存年金【Cf:教材 P9

3、5】 生存年金:以被保險人存活為條件，間隔相等的時期（年、半年、季、月）支付一次保險金 的保險類型。如果被保險人在規(guī)定的時期內存活，則發(fā)生年金的收付，否則，不發(fā)生收付。 二、簡答題二、簡答題： 2 1. 人壽保險精算的原理的內容【Cf:教材 P3】 保險的基本原理是將眾多投保人的保費集中到承保人處, 當風險發(fā)生后, 由承保人承擔損 失。它的理論基礎是概率論和大數定律。 投保人通過付出少量且固定的保費, 將大量的不確定的損失轉移到承保人或保險公司身上； 承保人利用保費收入一方面保證賠償的正常進行, 另一方面, 通過分析與計算來合理調配 資金, 提高保險基金的投資效益, 最終使投保人和承保人都有所

4、收獲。 2債劵定價原理的內容及四種常用債劵價格計算公式。 【Cf:教材 P38-39】 債劵定價原理：債券的理論價格就是債劵未來息票收入的現值與到期償還值的現值之和。 債券定價的基本公式： n n PrFaCv 債券定價的溢價公式：1 () n PCgi a 債券定價的基價公式：() n PGCG v 債券定價的Makeham公式：() g PCKK i 3壽險現值的遞推公式及其直觀解釋【Cf:教材 P92】 壽險現值的遞推公式： 1xxxx Avqvp A 直觀解釋：( )x的單位金額終身壽險在第一年末的價值等于( )x在第一年死亡的情況下 1 單 位的賠付額與生存滿一年的情況下凈躉繳保費

5、1x A 之和。 4生存年金與壽險的關系【Cf:教材 P107-109】 生存年金與壽險是兩種不同的保險，它們的精算現值都依賴于被保險人的死亡年齡。 (1)終身壽險和期初付終身年金：1 xx daA (2)終身壽險和期末付終身年金：1 xxx iaiAA (3)定期壽險和定期年金： : 1 x nx n daA (4)死亡時賠付壽險和連續(xù)年金：1 xx aA ； : 1 xxnn aA (5)其它關系式： xxx Avaa ； 1 :x nx nx n Avaa 三、選擇題三、選擇題 3 1某人 1999 年初借款 3 萬元，按每年計息 3 次的年名義利率 6%投資 5 年的累積值為（ B ）

6、萬 元。 A 7.19 B 4.04 C 3.31 D 5.23 【復利： 3 5 0.06 3(1)4.04 3 ；單利： 0.06 3(1 3 5)3.9 3 】 2甲向銀行借款 1 萬元，每年計息 2 次的名義利率為 6%，甲第二年末還款 4000 元，則此次還款 后所余本金部分為（ A ）元。 A 7225 B 7213 C 7136 D 6987 【 2 2 0.06 10000(1)40007225.09 2 】 3某人壽保險的死亡給付受益人為三個子女，給付形式為永續(xù)年金，前兩個孩子第 1 到 n 年每 年末平分所領取的年金，n 年后所有的年金只支付給第三個孩子，若三個孩子所領取的

7、年金現值 相等，那么v ( A ) A. 1 1 3 n B. 1 3n C. 1 3 n D.3n 【 1 2 nn aaa 】 4延期 5 年連續(xù)變化的年金共付款 6 年，在時刻 t 時的年付款率為 2 1t ，t 時刻的利息強度 為 1 1 t ，該年金的現值為（ B ） A.52 B.54 C.56 D.58 【 11 5|6 5 ( ) xt ab v t dt ， 2 (1) t bt， 0 111 ( ) ( )1 t tdt v t a tt e 】 5. 如果 22 1100 x xx ，0100 x，求 0 l=10 000 時，在該生命表中 1 歲到 4 歲之間的 死亡人

8、數為（ B ） 。 A.2073.92 B.2081.61 C.2356.74 D.2107.56 【 02 1100 ( )() 100001 x tdtx s xe x ， 2 0 100 ( )() 1 x x ll s x x 】 6. 已知 20 歲的生存人數為 1 000 人，21 歲的生存人數為 998 人，22 歲的生存人數為 992 人， 則 |20 1 q為（ C ） 。 A. 0.008 B. 0.007 C. 0.006 D. 0.005 4 【 2122 |20 1 20 ll q l 】 7某人在 40 歲投保的終身死亡險，在死亡后立即給付 1 元保險金。其中，給定

9、110 x lx， 0110 x。利息力 =0.05。Z 表示保險人給付額的現值，則密度0.8 Z f等于（ D ） A. 0.24 B. 0.27 C. 0.33 D. 0.36 【 T Zv， (40)1 ( ) (40)70 T st ft s ， ln ( )1() ln T ZT z FzP ZzP vzF v 】 8已知 76 7.8a， 76 0.06vq，0.03i ，則 77 a（ C ） A. 7.1 B. 7.3 C. 7.5 D. 7.7 【 1 1 xxx avp a ，1 xx pq 】 四四、證明題、證明題 1. 當1n時，證明： ( )( )nn ddii 【證

10、明】引理 1（Bernoulli 不等式） ：當1x ，1時，有(1)1xx 引理 2: 當0 x 時，有1 x ex 由 ( )( ) ( ) 1(1)1()1 nn nn dd dnd nn ，得 ( )n dd 由 ( )( ) ( ) 1(1)11 nn nn ii ini nn ，得 ( )n ii 由 ( ) 1 1(1) 1 n n d ed in ，知 ( ) 11 n n d e nn ，故 ( )n d 由 ( ) 1(1) n n i ei n ，知 ( ) 11 n n i e nn ，故 ( )n i 2. 證明等式： （1） |n m mnm avaa ； （2）(

11、1)n nn sia （3） (1)m m nmn ssis ； （4） () n m nmn svss 5 【證明】 （1）| 11 m nmmm n m n vvvv a ii | 11 mn mm mn vv vava ii （2） (1)11 (1)(1) nn nn nn iv siia ii （3） (1)1(1)(1)(1)1 m nm nmm m n iiii s ii (1)1(1)1 (1)(1) nm mm nm ii iiss ii （4） (1)1(1)(1) (1) m nmn nm n iii s iii (1)1(1)1 () mn nn mn ii vvss

12、ii 3. 證明： 1 1 xxx avp a 【證明】注意到 x x x N a D ， x xx Dvl和 1xxx NND ，有 11 1 1 11 111 xxxx xxx x xxx NlND vp avpv Dlvl 1 xx x x ND a D 五、五、計算題計算題 1. 李華 1994 年 1 月 1 日從銀行借款 1000 元，假設年利率為 12% （1）1994 年 5 月 20 日時，他需還銀行多少錢（以單利計算）？ （2）1996 年 1 月 1 日時，他需還銀行多少錢（以復利計算）？ （3）幾年后需還款 1500 元（以單、復利計算）？ 【解】 （1） 12% 10

13、00(1 139)1045.70 365 （元） （2） 2 1000(1 0.12)1254.4（元） （3）按單利計：由1000(112%)1500n ，得4.17n （年） 6 按復利計：由1000(1 12%)1500 n ，得3.58n （年） 2. 某人在 2008 年 7 月 22 日貸款 4000 元，如果利息力是 14%，在復利下，試求解以下問題： （1）年利率i； （2）貸款額在 2013 年 7 月 22 日的價值； （3）名義利率 (12) i 【解】 （1）由1ei ，知 0.14 110.1503iee （2）貸款額在 2013 年 7 月 22 日的價值為 550

14、.7 4000(1)400040008055.01iee （元） （3）由公式： () (1)1 m m i i m ，知 10.14 (12) 121212 12(1)112(1)12(1)0.1408iiee 3債券的面值為 1000 元，年息票率為 5%，期限為 6 年，到期按面值償還，投資者要求的年收益 率為 5.5%，試計算債券購買價格。 【解】由題設，由 F=C=1000 r=g=0.05 i=0.055 n=6 n n PrFaCv () n rFrF Cv ii 6 0.05 10000.05 10001 (1000) ()975.02 0.0550.0551.055 （元）

15、4.利用下面得生命表 年齡 60 61 62 63 6464 生存人數生存人數 1000 990 970 940 900 計算： （1）2 60 p （2）60 歲的人在 6163 歲之間死亡的概率 【解】 （1） 62 260 60 970 0.97 1000 l p l 7 （2）因在 6163 歲之間死亡 50 人，故所求概率為 261 1|260 60 50 0.05 1000 d q l 。 5某男在 40 歲時買了保險額為 20 000 元的終身壽險，死亡年年末賠付，假設他的生存函數可 以表示1000(1) 105 x x l ，10%i ，求這一保單的精算現值。 【解】見教材 P

16、83，例 5.4 思考：若賠付在死亡時，又如何計算？ 6假設張某 50 歲時購買的是保額為 100000 元的終身壽險，死亡年年末賠付。已知 1000(1) 105 x x l ，預定利率為 0.08，求該保單的躉繳凈保費。 【解】由題設，有 50 50 50 55 55 t t lt p l ， 501 50 50 1 1 55 t t t l q lt ，故該保單的躉繳凈保費為 54 (1) 505050 0 1000001000001.08 t tt t Apq 54 (1) 0 551 1000001.08 5555 t t t t = 55 1 1 () 1000001 1.08 22397.48 1 551.08 1 1.08 （元） 7設生存函數為 1 100 x s x (0100 x)，年利率0.10i ，保險金額為 1 元，計算：躉 繳純保費 1 30:10A的值。 【解】由( )1 100 x s x ，知 ()1 ( )100 txx t s xt p s xx 故 1010 1 3030 30:10 00 11 0.092 1.170 t t tt Avpdtdt 8.