第三章 桿單元.ppt

1、2桿單元 2.1引例彈簧單元 彈簧是宏觀上最簡(jiǎn)單的彈性元件。 1、一個(gè)彈簧單元的分析,2個(gè)節(jié)點(diǎn)： 節(jié)點(diǎn)位移： 節(jié)點(diǎn)力： 彈簧剛度：,已知彈簧力位移關(guān)系：,彈簧力，拉伸為正, 彈簧伸長(zhǎng),考慮彈簧的特性和平衡關(guān)系有：,寫成矩陣形式：,矩陣符號(hào)形式：,彈簧單元?jiǎng)偠确匠?上式中：,單元節(jié)點(diǎn)力向量,單元節(jié)點(diǎn)位移向量,彈簧單元的剛度矩陣,剛度方程討論： 1） 有什么特點(diǎn)？ 2） 中元素代表什么含義？ 3）上面方程可以求解嗎？為什么？,2、彈簧系統(tǒng),各單元的特性分別為：,單元1： 單元2：,按兩種方法裝配系統(tǒng)特性： 方法1： 分別考慮節(jié)點(diǎn)1，2，3的力平衡條件（節(jié)點(diǎn)力與節(jié)點(diǎn)外載荷的平衡）：,把單元特性代入，

2、得到：,上面方程寫成矩陣形式：,或 （彈簧系統(tǒng)的平衡方程）, 彈簧系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)總剛度矩陣, 系統(tǒng)節(jié)點(diǎn)載荷列陣,討論：（1） 有那些特點(diǎn)和性質(zhì)？ （2）上述方程能求解嗎？, 系統(tǒng)節(jié)點(diǎn)位移列陣,方法2： 將單元?jiǎng)偠确匠虜U(kuò)大到整體規(guī)模：,將上面的矩陣方程疊加，得到：,代入前面節(jié)點(diǎn)平衡條件，得系統(tǒng)節(jié)點(diǎn)平衡方程：,3）給定載荷和約束條件下的求解 設(shè)邊界條件為：,則節(jié)點(diǎn)平衡方程為：,該方程展開后分為2個(gè)部分：,未知量為2個(gè)節(jié)點(diǎn)位移： 一個(gè)支反力：,解上面方程得：,3、舉例：彈簧系統(tǒng),已知條件：,求：（a） 系統(tǒng)總剛度矩陣 （b） 節(jié)點(diǎn)2，3的位移 （c） 節(jié)點(diǎn)1、4的反力 （d） 彈簧2中的力,解： （a）

3、 各單元的剛度矩陣為：,應(yīng)用前面的疊加方法，直接得到彈簧系統(tǒng)的總剛度矩陣：,或,總剛度矩陣特征：對(duì)稱，奇異、帶狀、稀疏,由前面的做法，可得到彈簧系統(tǒng)的節(jié)點(diǎn)平衡方程：,（b）：先施加位移邊界條件 將 帶入平衡方程后，第2，3方程為：,求解得：,（c)：由第1，4個(gè)方程求得支反力,(d)：彈簧2內(nèi)力,（拉力）,4、練習(xí)題,對(duì)圖示彈簧系統(tǒng)，求其總剛度矩陣 解,要點(diǎn)回顧,1、彈簧單元?jiǎng)偠确匠痰慕?彈簧變形平衡,2、彈簧系統(tǒng)的集成 1）列節(jié)點(diǎn)平衡方程法,單元特性,系統(tǒng)節(jié)點(diǎn)平衡條件,系統(tǒng)平衡方程,2）單元方程擴(kuò)大相加法,相加,系統(tǒng)節(jié)點(diǎn)平衡條件,單元特性,系統(tǒng)平衡方程,2.2 桿單元,一、一維等截面桿單元

4、及其剛度矩陣,L 桿長(zhǎng) A 截面積 E 彈性模量,考慮一個(gè)2節(jié)點(diǎn)一維等截面桿單元：,（一）直接法導(dǎo)出單元特性 桿單元伸長(zhǎng)量：,應(yīng)變位移關(guān)系：,應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系：,桿單元位移 桿單元應(yīng)變 桿單元應(yīng)力,應(yīng)變：,應(yīng)力：,桿內(nèi)力：,則桿的軸向剛度：,軸向拉壓變形模式下，該桿單元的行為與彈簧單元相同， 因此桿單元的剛度矩陣為：,比照彈簧元的剛度方程，寫出桿單元的剛度方程為：,（二）公式法導(dǎo)出桿單元特性,假設(shè)單元上近似位移函數(shù)位移模式 一個(gè)單元上的位移假設(shè)為簡(jiǎn)單多項(xiàng)式函數(shù)。有限元中用插值法通過(guò)節(jié)點(diǎn)位移（待定參數(shù)）定義單元位移函數(shù)。 對(duì)桿單元，引入局部坐標(biāo)：,則單元近似位移函數(shù)（線性位移模式）：,定義2個(gè)節(jié)點(diǎn)的

5、插值函數(shù)（形函數(shù)）：,矩陣形式：,單元應(yīng)變：,單元應(yīng)變矩陣,單元應(yīng)力：,下面應(yīng)用彈性體虛位移原理導(dǎo)出單元?jiǎng)偠确匠獭?虛位移原理（虛功原理） 彈性體受力平衡時(shí)，若發(fā)生虛位移，則外力虛功等于彈性體內(nèi)的虛應(yīng)變能。,對(duì)于桿單元，定義虛位移如下：,節(jié)點(diǎn)虛位移：,單元虛位移分布：,節(jié)點(diǎn)力（外力）虛功：,單元虛應(yīng)變能：,則單元虛應(yīng)變：,對(duì)桿單元應(yīng)用虛位移原理，得：,考慮到 的任意性，立刻得到：,這就是剛度矩陣的一般形式，可推廣到其他類型的單元。,桿單元?jiǎng)偠染仃?對(duì)于上面的桿單元：,與前面直接法得到的公式相同！,（三）關(guān)于桿單元的討論 1）在單元坐標(biāo)系下，每個(gè)節(jié)點(diǎn)一個(gè)未知位移分量 一個(gè)自由度，單元共有2個(gè)自由

6、度。 2）單元?jiǎng)偠染仃囋氐奈锢硪饬x： 剛度方程中令： 則： 所以，單元?jiǎng)偠染仃嚨牡趇（i=1,2)列元素表示當(dāng)維持單元的第i個(gè)自由度位移為，其它自由度位移為時(shí)，施加在單元上的節(jié)點(diǎn)力分量。（也可以用此方法直接導(dǎo)出桿單元的剛度矩陣元素，試練習(xí)） ）單元?jiǎng)偠染仃噷?duì)稱、奇異、主對(duì)角元素恒正。,單元?jiǎng)偠确匠?（四）舉例 例1 求圖示段桿中的應(yīng)力。,解：分個(gè)桿單元，單元之間在節(jié)點(diǎn)鉸接。剛度矩陣分別為：,參考前面彈簧系統(tǒng)的方法，裝配桿系統(tǒng)的有限元方程（平衡方程）如下：,引入邊界位移約束和載荷： 方程化為：,上述方程組中刪除第，個(gè)方程，得到： 解得：,位移解：,單元1應(yīng)力：,單元2應(yīng)力：,提示： 1）本例中

7、單元應(yīng)力的計(jì)算采用了材料力學(xué)中的方法,與采用有限元單元應(yīng)力公式 的結(jié)果相同。 2）對(duì)錐形桿，單元截面積用平均值。 3）求應(yīng)力之前需要求出節(jié)點(diǎn)位移有限元位移法。,例2：,已知：,求：桿兩端的支反力,解,二、二維空間中的桿單元 （平面桁架單元）,（一）2-D空間中桿單元,1-D空間桿單元 2- D空間桿單元,坐標(biāo)變換,原來(lái)1-D空間中的桿坐標(biāo)系作為局部坐標(biāo)系,向量的坐標(biāo)變換：,向量的坐標(biāo)變換矩陣為：,顯然是正交陣，即：,單元節(jié)點(diǎn)位移向量的變換式如下：,或,單元節(jié)點(diǎn)力的變換為：,剛度矩陣的坐標(biāo)變換,局部坐標(biāo)系下桿單元的剛度方程為：,擴(kuò)充到4自由度形式：,寫成矩陣符號(hào)形式：,利用前面的向量坐標(biāo)變換式，得：,考慮到變換矩陣的正交性，得：,則，總體坐標(biāo)系中的單元?jiǎng)偠染仃嚍椋?用單元?jiǎng)偠染仃囇b配結(jié)構(gòu)（系統(tǒng)）剛度矩陣的方法與1-D情況相同。,單元應(yīng)力：,即：,（二）例題,平面桁架由2根相同的桿組成（E，A，L）。求： 1）節(jié)點(diǎn)2位移 2）每根桿應(yīng)力,