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1、2桿單元 2.1引例彈簧單元 彈簧是宏觀上最簡(jiǎn)單的彈性元件。 1、一個(gè)彈簧單元的分析,2個(gè)節(jié)點(diǎn): 節(jié)點(diǎn)位移: 節(jié)點(diǎn)力: 彈簧剛度:,已知彈簧力位移關(guān)系:,彈簧力,拉伸為正, 彈簧伸長(zhǎng),考慮彈簧的特性和平衡關(guān)系有:,寫成矩陣形式:,矩陣符號(hào)形式:,彈簧單元?jiǎng)偠确匠?上式中:,單元節(jié)點(diǎn)力向量,單元節(jié)點(diǎn)位移向量,彈簧單元的剛度矩陣,剛度方程討論: 1) 有什么特點(diǎn)? 2) 中元素代表什么含義? 3)上面方程可以求解嗎?為什么?,2、彈簧系統(tǒng),各單元的特性分別為:,單元1: 單元2:,按兩種方法裝配系統(tǒng)特性: 方法1: 分別考慮節(jié)點(diǎn)1,2,3的力平衡條件(節(jié)點(diǎn)力與節(jié)點(diǎn)外載荷的平衡):,把單元特性代入,

2、得到:,上面方程寫成矩陣形式:,或 (彈簧系統(tǒng)的平衡方程), 彈簧系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)總剛度矩陣, 系統(tǒng)節(jié)點(diǎn)載荷列陣,討論:(1) 有那些特點(diǎn)和性質(zhì)? (2)上述方程能求解嗎?, 系統(tǒng)節(jié)點(diǎn)位移列陣,方法2: 將單元?jiǎng)偠确匠虜U(kuò)大到整體規(guī)模:,將上面的矩陣方程疊加,得到:,代入前面節(jié)點(diǎn)平衡條件,得系統(tǒng)節(jié)點(diǎn)平衡方程:,3)給定載荷和約束條件下的求解 設(shè)邊界條件為:,則節(jié)點(diǎn)平衡方程為:,該方程展開后分為2個(gè)部分:,未知量為2個(gè)節(jié)點(diǎn)位移: 一個(gè)支反力:,解上面方程得:,3、舉例:彈簧系統(tǒng),已知條件:,求:(a) 系統(tǒng)總剛度矩陣 (b) 節(jié)點(diǎn)2,3的位移 (c) 節(jié)點(diǎn)1、4的反力 (d) 彈簧2中的力,解: (a)

3、 各單元的剛度矩陣為:,應(yīng)用前面的疊加方法,直接得到彈簧系統(tǒng)的總剛度矩陣:,或,總剛度矩陣特征:對(duì)稱,奇異、帶狀、稀疏,由前面的做法,可得到彈簧系統(tǒng)的節(jié)點(diǎn)平衡方程:,(b):先施加位移邊界條件 將 帶入平衡方程后,第2,3方程為:,求解得:,(c):由第1,4個(gè)方程求得支反力,(d):彈簧2內(nèi)力,(拉力),4、練習(xí)題,對(duì)圖示彈簧系統(tǒng),求其總剛度矩陣 解,要點(diǎn)回顧,1、彈簧單元?jiǎng)偠确匠痰慕?彈簧變形平衡,2、彈簧系統(tǒng)的集成 1)列節(jié)點(diǎn)平衡方程法,單元特性,系統(tǒng)節(jié)點(diǎn)平衡條件,系統(tǒng)平衡方程,2)單元方程擴(kuò)大相加法,相加,系統(tǒng)節(jié)點(diǎn)平衡條件,單元特性,系統(tǒng)平衡方程,2.2 桿單元,一、一維等截面桿單元

4、及其剛度矩陣,L 桿長(zhǎng) A 截面積 E 彈性模量,考慮一個(gè)2節(jié)點(diǎn)一維等截面桿單元:,(一)直接法導(dǎo)出單元特性 桿單元伸長(zhǎng)量:,應(yīng)變位移關(guān)系:,應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系:,桿單元位移 桿單元應(yīng)變 桿單元應(yīng)力,應(yīng)變:,應(yīng)力:,桿內(nèi)力:,則桿的軸向剛度:,軸向拉壓變形模式下,該桿單元的行為與彈簧單元相同, 因此桿單元的剛度矩陣為:,比照彈簧元的剛度方程,寫出桿單元的剛度方程為:,(二)公式法導(dǎo)出桿單元特性,假設(shè)單元上近似位移函數(shù)位移模式 一個(gè)單元上的位移假設(shè)為簡(jiǎn)單多項(xiàng)式函數(shù)。有限元中用插值法通過(guò)節(jié)點(diǎn)位移(待定參數(shù))定義單元位移函數(shù)。 對(duì)桿單元,引入局部坐標(biāo):,則單元近似位移函數(shù)(線性位移模式):,定義2個(gè)節(jié)點(diǎn)的

5、插值函數(shù)(形函數(shù)):,矩陣形式:,單元應(yīng)變:,單元應(yīng)變矩陣,單元應(yīng)力:,下面應(yīng)用彈性體虛位移原理導(dǎo)出單元?jiǎng)偠确匠獭?虛位移原理(虛功原理) 彈性體受力平衡時(shí),若發(fā)生虛位移,則外力虛功等于彈性體內(nèi)的虛應(yīng)變能。,對(duì)于桿單元,定義虛位移如下:,節(jié)點(diǎn)虛位移:,單元虛位移分布:,節(jié)點(diǎn)力(外力)虛功:,單元虛應(yīng)變能:,則單元虛應(yīng)變:,對(duì)桿單元應(yīng)用虛位移原理,得:,考慮到 的任意性,立刻得到:,這就是剛度矩陣的一般形式,可推廣到其他類型的單元。,桿單元?jiǎng)偠染仃?對(duì)于上面的桿單元:,與前面直接法得到的公式相同!,(三)關(guān)于桿單元的討論 1)在單元坐標(biāo)系下,每個(gè)節(jié)點(diǎn)一個(gè)未知位移分量 一個(gè)自由度,單元共有2個(gè)自由

6、度。 2)單元?jiǎng)偠染仃囋氐奈锢硪饬x: 剛度方程中令: 則: 所以,單元?jiǎng)偠染仃嚨牡趇(i=1,2)列元素表示當(dāng)維持單元的第i個(gè)自由度位移為,其它自由度位移為時(shí),施加在單元上的節(jié)點(diǎn)力分量。(也可以用此方法直接導(dǎo)出桿單元的剛度矩陣元素,試練習(xí)) )單元?jiǎng)偠染仃噷?duì)稱、奇異、主對(duì)角元素恒正。,單元?jiǎng)偠确匠?(四)舉例 例1 求圖示段桿中的應(yīng)力。,解:分個(gè)桿單元,單元之間在節(jié)點(diǎn)鉸接。剛度矩陣分別為:,參考前面彈簧系統(tǒng)的方法,裝配桿系統(tǒng)的有限元方程(平衡方程)如下:,引入邊界位移約束和載荷: 方程化為:,上述方程組中刪除第,個(gè)方程,得到: 解得:,位移解:,單元1應(yīng)力:,單元2應(yīng)力:,提示: 1)本例中

7、單元應(yīng)力的計(jì)算采用了材料力學(xué)中的方法,與采用有限元單元應(yīng)力公式 的結(jié)果相同。 2)對(duì)錐形桿,單元截面積用平均值。 3)求應(yīng)力之前需要求出節(jié)點(diǎn)位移有限元位移法。,例2:,已知:,求:桿兩端的支反力,解,二、二維空間中的桿單元 (平面桁架單元),(一)2-D空間中桿單元,1-D空間桿單元 2- D空間桿單元,坐標(biāo)變換,原來(lái)1-D空間中的桿坐標(biāo)系作為局部坐標(biāo)系,向量的坐標(biāo)變換:,向量的坐標(biāo)變換矩陣為:,顯然是正交陣,即:,單元節(jié)點(diǎn)位移向量的變換式如下:,或,單元節(jié)點(diǎn)力的變換為:,剛度矩陣的坐標(biāo)變換,局部坐標(biāo)系下桿單元的剛度方程為:,擴(kuò)充到4自由度形式:,寫成矩陣符號(hào)形式:,利用前面的向量坐標(biāo)變換式,得:,考慮到變換矩陣的正交性,得:,則,總體坐標(biāo)系中的單元?jiǎng)偠染仃嚍椋?用單元?jiǎng)偠染仃囇b配結(jié)構(gòu)(系統(tǒng))剛度矩陣的方法與1-D情況相同。,單元應(yīng)力:,即:,(二)例題,平面桁架由2根相同的桿組成(E,A,L)。求: 1)節(jié)點(diǎn)2位移 2)每根桿應(yīng)力,

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